UPPSALA UNIVERSITET L ¨ASANVISNING 3
MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ordin¨ara differentialekvationer Civilingenj¨orsutbildning
L ¨ASANVISNINGAR till G. Simmons -
Diffetential Equations with applications and Historical Notes Kapitel 10
Viktiga ting att t¨anka p˚a vid genoml¨asning av detta kapitel ¨ar
- vad ¨ar egentligen l¨osningen till ett system (av tv˚a ekvationer med tv˚a obekanta), s¨arskilt n¨ar det g¨aller geometrisk beskrivning?
- Sambandet mellan system och ekvationer av h¨ogre ordning (beskrivs ¨overst p˚a sid.
418). Observera ocks˚a att vi f˚ar identifikation mellan Wronskianen f¨or systemet och Wronskianen i tidigare mening f¨or ekvationen av h¨ogre ordning (se ex. 4, sid.
426).
- L¨osandet av linj¨ara system med konstanta koefficienter, som kan ske p˚a tv˚a s¨att:
dels via egenv¨ardesmetoden (beskriven i avsnitt 56, dock utan anv¨andande av de- terminanter m.m.), dels via ¨overs¨attning till en andra ordningens ekvation (denna metod ¨ar att f¨oredra i fallet med multipelrot till karakteristiska ekvationen, och ¨ar omn¨amnd i boken: ex. 7, sid. 427).
Utg˚ar: Avsnitt 57 (l¨as dock g¨arna igenom det som ett exempel p˚a konstruktion och analys av en viktig och l˚angt ifr˚an trivial modell).
Rekommenderade problem:
54: 1.
55: 4, 5, 8.
56: 1 a), b), c), d).
Kompletterande problem:
1. L¨os systemet
˙x(t) = 4x(t) − y(t)
˙y(t) = x(t) + 2y(t) + t d¨ar x(0) = y(0) = 0.
2. Best¨am den allm¨anna l¨osningen till systemet:
˙x = 3x − 4y + et
˙y = x − y + et.
