Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 19 augusti 2019 klockan 14.00- 18.00 i SB.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM234 eller FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

Skriv din kurskod p˚ a tentamensomslaget (FFM234 g¨ aller f¨ or alla studenter fr˚ an l¨ as˚ aret 17/18).

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1–3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) kan ge l¨ agre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Notation: Om inget annat anges anv¨ ands beteckningarna r, θ, ϕ f¨ or sf¨ ariska koordinater (d¨ ar θ ¨ ar vinkeln fr˚ an positiva z-axeln), medan ρ, ϕ, z betecknar cylindriska koordinater.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Ange v¨ ardet av tangentlinjeintegralen H

C

F · d~ ~ r, d¨ ar f¨ altet ~ F = F

b

y och den slutna kurvan C parametriseras enligt (x, y, z) = ˆ

b(sin t, cos t, 0), 0 ≤ t < 2π.

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2019-08-19

(b) Ber¨ akna vektorn ε

M

, d¨ ar M

¨ ar elementen i matrisen

M =





0 0 a 0 b 0 c 0 0





(c) Betrakta skal¨ arf¨ altet φ(~ r) = cos θ/r

. F¨ or vilken enhetsvektor ˆ n ¨ ar riktningsderivatan av detta f¨ alt i riktningen ˆ n i punkten (x, y, z) = (1/ √

2, 1/ √

2, 0) maximal och positiv? (Svaret kan ges i termer av Cartesiska eller sf¨ ariska basvektorer i punkten i fr˚ aga.)

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. (a) Vad blir f¨ oljande derivator p˚ a vektorf¨ altet ~ A = rˆ r:

(i) ∇ · ~ A; (ii) ∇ × ~ A; (iii) ∆ ~ A; (iv) ∇ · (∇ × ~ A); (v) ∇ × (∇ × ~ A)?

(5 po¨ ang)

(b) Para ihop de fem tv˚ adimensionella vektorf¨ alten: (i) ~ A = ˆ x; (ii) A = xˆ ~ x; (iii) ~ A = xˆ y; (iv) ~ A = rˆ r; (v) ~ A = xˆ y − y ˆ x; med visualiseringarna i figurerna (1)–(5). Ange f¨ or samtliga huruvida divergensen och rotationen (z-komponenten) ¨ ar noll, positiv eller negativ i det uppritade omr˚ adet. (5 po¨ ang)

3. Ett vektorf¨ alt ~ F har potentialen

φ = (x

+ y

+ z

)

− 3(x

+ y

+ z

).

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2019-08-19

Genom vilken sluten yta S ¨ ar fl¨ odet av vektorf¨ altet maximalt positivt?

Ber¨ akna detta maximala positiva fl¨ ode. (10 po¨ ang)

4. Betrakta v¨ armeledning genom en glasruta med materialkonstanterna λ (v¨ armeledningsf¨ orm˚ agan), c (v¨ armekapacitiviten) och ρ (densitet).

Glasrutans bredd och h¨ ojd ¨ ar betydligt st¨ orre ¨ an dess tjocklek d. H¨ arled den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen d˚ a

T (x, t = 0) = T

x(d − x) d

d¨ ar T

¨ ar en konstant (enhet: K). Glasrutan ¨ ar perfekt isolerad s˚ a att ingen v¨ arme passerar genom glasets begr¨ ansningsytor vid x = 0 och x = d.

(10 po¨ ang)

5. Skriv ett uttryck f¨ or k¨ allt¨ atheten fr˚ an en elektrisk dipol ~ µ = µˆ z i R

. H¨ arled ocks˚ a ett uttryck f¨ or den elektrostatiska potentialen f¨ or dipolf¨ altet p˚ a stora avst˚ and. (10 po¨ ang)

Ledning: Dipolmomentet µ har enheten (laddning × l¨ angd).

6. Antag att man p˚ a ytan S av en sf¨ ar med radien a och centrum i origo m¨ ater upp det elektriska f¨ altet ~ E och finner att

E (~ ~ r) = ρ

a



 x a

x + ˆ y

b

y + ˆ z c

z ˆ 

,

d¨ ar 

ρ

, b och c ¨ ar konstanter. Visa att denna information tillsammans med en av Maxwells ekvationer ¨ ar tillr¨ acklig f¨ or att best¨ amma den totala laddningen Q inuti sf¨ aren. Ber¨ akna Q.

(10 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en