Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 14 augusti 2017 klockan 14.00- 18.00 i Maskinsalarna.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1–3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) kan ge l¨ agre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Ange v¨ ardet av tangentlinjeintegralen H

C

F · d~ ~ r, d¨ ar ~ F = F

b(y ˆ x + xˆ y)/(x

+y

) och den slutna kurvan C parametriseras enligt (x, y, z) = b(cos t, sin t, 0), 0 ≤ t < 2π.

(b) Ber¨ akna R

−∞

δ(2x − π) sin xdx.

(c) Ange f¨ or vilken enhetsvektor ~ n riktningsderivatan av funktionen

φ(ˆ r) = sin

θ/r

i riktningen ~ n i punkten (x, y, z) = (1, 0, 0) ¨ ar

maximal. (Svaret kan ges i termer av Cartesiska eller sf¨ ariska

basvektorer i punkten ifr˚ aga, det spelar ingen roll, bara det framg˚ ar

vilket.)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2017-08-14

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. (a) Vad blir f¨ oljande derivator p˚ a vektorf¨ altet ~ A = rˆ r:

(i) ∇ · ~ A; (ii) ∇ × ~ A; (iii) ∆ ~ A; (iv) ∇ · (∇ × ~ A); (v) ∇ × (∇ × ~ A)?

(5 po¨ ang)

(b) Fem olika tv˚ adimensionella vektorf¨ alt visualiseras i figurerna (1)–

(5). Ange f¨ or samtliga huruvida divergensen och rotationen (z- komponenten) ¨ ar noll, positiv eller negativ. (5 po¨ ang)

3. (a) F¨ orenkla uttrycket ε

ε

(4 po¨ ang)

(b) Kroneckers delta ¨ ar en invariant tensor. Vad menas med detta?

(2 po¨ ang)

(c) Anv¨ and transformationsegenskaper f¨ or att visa att Kroneckers delta ¨ ar en invariant tensor. (4 po¨ ang)

Ledning: En tensor skall uppfylla transformationsregeln T

= L

L

T

, d¨ ar L ¨ ar transformationsmatrisen som ocks˚ a relaterar ortsvektorerna i de tv˚ a koordinatsystemen x

= L

x

.

4. Ber¨ akna integralen

Z

S

F · d ~ ~ S,

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2017-08-14

d¨ ar S ¨ ar ytan x

+ y

+ z

= a

f¨ or z > 0 och f¨ altet ges av F = ~ F

a

axˆ x + ay ˆ y + x

z
+ ˆ q

4π(x

+ y

+ z

)

(xˆ x + y ˆ y + z ˆ z) , med konstanter a, F

och q. (10 po¨ ang)

5. Temperaturf¨ ordelningen p˚ a ytan av en sf¨ ar med radien R ges av T (r = R, θ, ϕ) = T

+ T

cos θ.

Best¨ am den statiska temperaturf¨ ordelningen inuti sf¨ aren. Det finns inga v¨ armek¨ allor i omr˚ adet r < R. (10 po¨ ang)

6. Betrakta en punktladdning med laddning q i punkten z = a utanf¨ or en metallisk sf¨ ar med radien R (sf¨ arens centrum ligger i origo och a > R).

Inuti sf¨ aren och p˚ a dess rand g¨ aller φ(r ≤ R, θ, ϕ) = 0.

(a) Ge ett uttryck f¨ or den elektrostatiska potentialen l¨ angs den nega- tiva z-axeln, dvs finn φ(x = 0, y = 0, z) f¨ or z < 0. (5 po¨ ang) (b) Ber¨ akna den inducerade ytladdningen p˚ a sf¨ aren som en funktion

av vinkeln θ (fr˚ an z-axeln). (3 po¨ ang)

(c) Vad blir den totala inducerade ytladdningen p˚ a sf¨ aren (dvs inte- grerad ¨ over hela ytan)? (2 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en