Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 24 oktober 2016 klockan 14.00- 18.00 i M-huset.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator samt Olle Bran- ders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Tobias Wenger (0730-381 453). Bes¨ oker ten- tamenssalen cirka kl 15 och kl 17.

FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. Till detta tillkommer eventuella bonuspo¨ ang fr˚ an inl¨ amningsuppgifter F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1-3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) ger mindre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Skissa niv˚ aytor och f¨ altlinjer f¨ or en punktk¨ alla, dvs φ = _4πr ¹ och F = ~ _4πr ¹

r. ˆ

(b) Ber¨ akna integralen R ∞

−∞ δ ⁰ (x) cos(x)dx, (notera derivatan).

(c) Teckna f¨ oljande tre uttryck med indexnotation: (i) ~a · (~b × ~c), (ii) M~a, (iii) MN, d¨ ar ~a, ~b, ~c ¨ ar vektorer och M, N ¨ ar 3 × 3 matriser.

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2016-10-24

2. Maxwells ekvationer ¨ ar

∇ · ~ ~ E = ρ

 ₀ , (1)

∇ × ~ ~ E = − ∂B

∂t , (2)

∇ · ~ ~ B = 0, (3)

∇ × ~ ~ B = µ ₀ ~ + µ ₀  ₀ ∂E

∂t . (4)

(a) Anv¨ and Faradays induktionslag, U = −dΦ/dt, f¨ or att visa Maxwells andra ekvation ~ ∇ × ~ E = − ^{∂ ~} _∂t ^B . Notera att Φ ¨ ar det magnetiska fl¨ odet genom en yta ~ S och U ¨ ar den inducerade sp¨ anningen l¨ angs randen ∂S. (5 po¨ ang)

(b) Anv¨ and Maxwells ekvationer f¨ or att visa att kontinuitetsekvatio- nen ∂ρ/∂t = − ~ ∇ · ~ ¨ ar uppfylld f¨ or ρ(~ r, t) = elektrisk laddnings- t¨ athet och ~(~ r, t) = elektrisk str¨ omt¨ athet. (5 po¨ ang)

3. Ett klot med radien R har ett litet klot med radien r ₀ urkarvad ur sig (se figur). B˚ ada kloten ¨ ar centrerade i origo. Omr˚ adet mellan radierna r ₀ och R har en konstant massdensitet ρ ₀ . Notera att gravitationsf¨ alt

¨

ar kontinuerliga (till skillnad fr˚ an elektriska f¨ alt som ju har diskonti- nuiteter vid ytladdningar). Gravitationspotentialen uppfyller Poissons ekvation (vi antar att vi anv¨ ander smarta enheter s˚ a att Newtons kon- stant G = 1)

∆Φ(r) = ρ(r). (5)

Notera att tecknet i Poissons ekvation ¨ ar motsatt mot vad man har f¨ or elektriska f¨ alt, detta beror p˚ a att tv˚ a massor attraherar varandra.

(a) Ber¨ akna gravitationsf¨ altet ~ F = − ~ ∇Φ(r). Skissa den radiella kom- ponenten F r (r) som en funktion av r. (7 po¨ ang)

(b) Om man betraktar f¨ altet i en punkt ~ r d¨ ar r = |~ r| > R s˚ a ser f¨ altet ut som f¨ altet fr˚ an en punktk¨ alla. Vilken massa (styrka) har en punktk¨ alla som producerar samma f¨ alt? (2 po¨ ang)

(c) Hur r¨ or sig en liten testmassa som placeras (utan initialhastighet) i gravitationsf¨ altet i omr˚ adet r < r ₀ ? (1 po¨ ang)

(10 po¨ ang)

Institutionen f¨ or fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2016-10-24

Figure 1: Klotet till gravitationsuppgiften.

4. Betrakta de tre vektorf¨ alten: ~ F ₁ = ρˆ e _θ , ~ F ₂ = zˆ e _z och ~ F ₃ = zˆ e _ρ .

(a) Vilket av dessa tre f¨ alt kan skrivas i termer av en vektorpotential?

(2 po¨ ang)

(b) Ange en explicit form f¨ or en vektorpotential, ~ A, som ger detta f¨ alt. (4 po¨ ang)

(c) Samma som (b) men med det extra (gauge-)villkoret att ~ ∇ · ~ A = 0 (detta kan allts˚ a vara samma vektorpotential som du redan har konstruerat). (4 po¨ ang)

5. I en mycket l˚ ang homogen cylinder med radien R kan temperatur- f¨ ordelningen skrivas T = T (ρ, θ) i cylindriska koordinater, dvs tem- peraturen kan antas vara z-oberoende. Den station¨ ara temperatur- f¨ ordelningen i cylindern uppfyller Laplaces ekvation

∆T (ρ, θ) = 0. (6)

(a) Ber¨ akna temperaturf¨ ordelning i hela cylindern givet Dirichlet randvil- lkoret T (R, θ) = T ₀ + T ₁ cos θ. (6 po¨ ang)

(a) Ber¨ akna v¨ armefl¨ odet genom den halvan av cylinderytan som beskrivs av ρ = R, −π/2 < θ < π/2 (streckade halvan i Figur 2.). Kom- mentera kort svaret och ange om v¨ armen fl¨ odar in eller ut och ange

¨

aven enheten p˚ a det ber¨ aknade v¨ armefl¨ odet. (V¨ armestr¨ omt¨ atheten ber¨ aknas med ~ q = −λ ~ ∇T (ρ, θ), d¨ ar λ ¨ ar en materialberoende kon- stant som antas vara k¨ and.) (4 po¨ ang)

Institutionen f¨ or fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232) 2016-10-24

Figure 2: Cylindern i genomsk¨ arning. Cylindern antas vara mycket l˚ ang och d¨ armed blir l¨ osningen z-oberoende.

6. Betrakta Poissons ekvation ∆φ = −ρ i det endimensionella omr˚ adet {x : 0 ≤ x ≤ L} med Dirichlets homogena randvillkor. F¨ or detta problem ¨ ar Greensfunktionen

G(x, x ⁰ ) =

 1 − ^x _L

x 0 ≤ x < x ⁰ , 1 − ^x _L
x ⁰ x ⁰ ≤ x ≤ L.

(a) Anv¨ and denna Greensfunktion f¨ or att ber¨ akna potentialen f¨ or tv˚ a punktladdningar i det givna omr˚ adet (med de givna randvillko- ren): En laddning +q i punkten L/2 + ε/2 och en laddning −q i punkten L/2 − ε/2 d¨ ar ε ¨ ar en kort str¨ acka. (6 po¨ ang)

(b) Verifiera att den givna Greensfunktionen verkligen ¨ ar korrekt. I uppgiften ing˚ ar allts˚ a att inse vad det ¨ ar som skall verifieras. ¨ Aven ett tydligt resonemang kring detta kan ge delpo¨ ang.(4 po¨ ang)

Institutionen f¨ or fysik, Chalmers Page 4 Examinator: C. Forss´ en