Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 23 oktober 2017 klockan 14.00- 18.00 i Maskinsalarna.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM234 eller FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

Skriv din kurskod p˚ a tentamensomslaget (FFM234 g¨ aller fr˚ an l¨ as˚ aret 17/18, FFM232 g¨ aller f¨ or ¨ aldre studenter).

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1–3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) kan ge l¨ agre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Vad ¨ ar ytintegralen R

S F · d ~ ~ S, d¨ ar ~ F = z ˆ z och S ¨ ar enhetssf¨ aren i

¨

ovre halvplanet (x ² + y ² + z ² = 1, z > 0) och normalvektorn till S har en negativ z-komponent?

(b) Vad blir integralen R π

0 δ(2x − π/2) sin(x)dx?

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232) 2017-10-23

(c) Vad blir den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen inuti en endimen- sionell stav med l¨ angden L och en konstant v¨ armek¨ alla s i hela staven (med enhet [s] = Wm ⁻¹ ), givet v¨ armeledningsf¨ orm˚ aga λ, homogena Dirichlet randvillkor samt T (x, t = 0) = 0?

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. Ber¨ akna integralen R

S F · d ~ ~ S, d¨ ar ~ F = ^kz _a ^xˆ _x ^{x+y ˆ}

+y ^y

och S ¨ ar den del av sf¨ aren (x ² + y ² + z ² = a ² ) som ligger inom konomr˚ adet x ² + y ² ≤ z ² , z > 0 och normalvektorn till S ¨ ar upp˚ atriktad. (10 po¨ ang)

3. Det vektorf¨ alt som har den skal¨ ara potentialen φ = α (d¨ ar α ¨ ar vinkeln i cylindriska koordinater) kan (utanf¨ or z-axeln) alternativt beskrivas med en vektorpotential ~ A.

(a) Finn en s˚ adan vektorpotential med villkoret att den bara har en ρ-komponent. (6 po¨ ang)

(b) Utnyttja sedan Gaugeinvariansen f¨ or att finna en annan vektor- potential som uppfyller ~ ∇ · ~ A = 1 (utanf¨ or z-axeln). (4 po¨ ang) 4. Tr¨ oghetstensorn f¨ or n˚ agon stel kropp i ett Cartesiskt koordinatsystem

(xyz) ges av

I = I ₀





η ² 0 0

0 1 0

0 0 1 + η ²



 ,

d¨ ar η ¨ ar ett reellt tal och I ₀ ¨ ar en konstant med enheten (massa × l¨ angd ² ). Ett roterat koordinatsystem (x ⁰ y ⁰ z ⁰ ) ges av transformationen:

x ⁰ = z; y ⁰ = y; z ⁰ = −x.

Anv¨ and tensorers transformationsegenskaper f¨ or att visa vad tr¨ oghetstensorn blir i detta roterade koordinatsystem. (10 po¨ ang)

5. Skriv ett uttryck f¨ or k¨ allt¨ atheten fr˚ an en elektrisk dipol ~ µ = µˆ z i R ³ . H¨ arled ocks˚ a ett uttryck f¨ or den elektrostatiska potentialen f¨ or dipolf¨ altet p˚ a stora avst˚ and. (10 po¨ ang)

Ledning: Dipolmomentet µ har enheten (laddning × l¨ angd).

6. Betrakta det tv˚ adimensionella problemet med tv˚ a punktladdningar (+q och −q) l¨ angs y-axeln p˚ a avst˚ andet a fr˚ an varandra. Det finns inga andra k¨ allor. Potentialen φ(x, y) uppfyller Poissons ekvation i R ² . Ekvipotentialytan φ = 0 ligger p˚ a linjen y = 0.

Skissa de tv˚ a ekvipotentialkurvorna φ = ± _2π ^q ln 2 och ange specifikt vid vilka punkter som de sk¨ ar y-axeln. (10 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en