Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 20 augusti 2018 klockan 14.00- 18.00, H¨ orsalsv¨ agen 5.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM234 eller FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

Skriv din kurskod p˚ a tentamensomslaget (FFM234 g¨ aller fr˚ an l¨ as˚ aret 17/18, FFM232 g¨ aller f¨ or ¨ aldre studenter).

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1–3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) kan ge l¨ agre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Notation: Om inget annat anges anv¨ ands beteckningarna r, θ, ϕ f¨ or sf¨ ariska koordinater (d¨ ar θ ¨ ar vinkeln fr˚ an positiva z-axeln), medan ρ, ϕ, z betecknar cylindriska koordinater.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Ange v¨ ardet av tangentlinjeintegralen H

C F · d~ ~ r, d¨ ar f¨ altet ~ F =

F 0 a(y ˆ x − xˆ y)/(x ² + y ² ) och den slutna kurvan C parametriseras

enligt (x, y, z) = b(sin t, cos t, 0), 0 ≤ t < 2π.

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2018-08-20

(b) Ber¨ akna (δ _ij δ _kl − δ _ik δ _jl )M _ij M _kl , d¨ ar M _ij ¨ ar elementen i matrisen

M =





0 0 a 0 b 0 c 0 0





(c) Ange f¨ or vilken enhetsvektor ˆ n som riktningsderivatan i riktningen ˆ

n av skal¨ arf¨ altet φ(~ r) = cos θ/r ² i punkten (x, y, z) = (0, 0, 1) ¨ ar maximal och positiv. (Svaret kan ges i termer av Cartesiska eller sf¨ ariska basvektorer i punkten i fr˚ aga.)

(3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. Betrakta ett kraftf¨ alt

F = (y ~ ² + 5)ˆ x + (2xy − 8)ˆ y.

I xy-planet m¨ arker vi ut en kvadrat med h¨ ornen O : (0, 0), A : (1, 0), B : (1, 1), C : (0, 1). Visa att kraftf¨ altet kan beskrivas med en skal¨ arpotential, och ange en s˚ adan potential explicit. Ber¨ akna sedan arbetet som utf¨ ors av kraftf¨ altet vid en f¨ orflyttning l¨ angs tre av kvadratens sidor OABC.

(10 po¨ ang)

3. Visa att gr¨ ansv¨ ardet lim _ε→0

av distributionen

h _ε (x) = exp (−x ² /ε ² ) ε √

π ,

uppfyller de definierande egenskaperna f¨ or en endimensionell deltafunk- tion. (10 po¨ ang)

4. Skriv ett uttryck f¨ or k¨ allt¨ atheten fr˚ an en elektrisk dipol ~ µ = µˆ z i R ³ . H¨ arled ocks˚ a ett uttryck f¨ or den elektrostatiska potentialen f¨ or dipolf¨ altet p˚ a stora avst˚ and. (10 po¨ ang)

Ledning: Dipolmomentet µ har enheten (laddning ×l¨ angd). (10 po¨ ang) 5. Ytan till en mycket l˚ ang cylindrisk kavitet (kan betraktas som o¨ andligt l˚ ang) med radien a h˚ alls vid den elektriska potentialen φ (ρ = a, ϕ, z) = φ ₀ sin 2ϕ, d¨ ar ρ, ϕ, z ¨ ar cylindriska koordinater. Best¨ am det statiska elektriska f¨ altet i kaviteten. Skissera ekvipotentialytor och f¨ altlinjer.

(10 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2018-08-20

6. I mitten av en sf¨ ar finns en radioaktiv k¨ alla som avger konstant v¨ arme- effekt W . K¨ allans storlek ¨ ar mycket mindre ¨ an sf¨ arens radie a. Vid ytan S g¨ aller Neumanns randvillor f¨ or temperaturf¨ altet

∂T

∂r     S

= konstant.

Finn ett uttryck f¨ or den station¨ ara temperaturf¨ ordelningen i sf¨ aren givet att temperaturen var konstant T (r < a) = 0 vid t = 0 och att materialets v¨ armekonduktivitet ¨ ar λ (notera att vi inte ¨ ar intresserade av den tidsberoende l¨ osningen som g¨ aller fram till station¨ arl¨ osningen).

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en