Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234 eller FFM232)

Tid och plats: Tisdagen den 19 december 2017 klockan 08.00- 12.00 i SB.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook, Beta Mathematics Hand- book, typgodk¨ and kalkylator, lexikon samt Olle Branders formelsamling.

Examinator: Christian Forss´ en (031–772 3261).

Jourhavande l¨ arare: Christian Forss´ en (031–772 3261).

FFM234 eller FFM232: Tentamen best˚ ar av sex uppgifter som kan ge maximalt 60 po¨ ang totalt. F¨ or att bli godk¨ and med betyg 3 kr¨ avs 24 po¨ ang, f¨ or betyg 4 kr¨ avs 36 po¨ ang och f¨ or betyg 5 kr¨ avs 48 po¨ ang.

Skriv din kurskod p˚ a tentamensomslaget (FFM234 g¨ aller fr˚ an l¨ as˚ aret 17/18, FFM232 g¨ aller f¨ or ¨ aldre studenter).

R¨ attningsprinciper: Alla svar skall motiveras, inf¨ orda storheter f¨ orklaras liksom val av metoder. L¨ osningarna f¨ orv¨ antas vara v¨ alstrukturerade och begripligt presenterade. Erh˚ allna svar skall, om m¨ ojligt, analyseras m.a.p.

dimension och rimlighet. Skriv och rita tydligt! Vid tentamensr¨ attning g¨ aller f¨ oljande allm¨ anna principer:

• F¨ or full (10) po¨ ang kr¨ avs fullst¨ andigt korrekt l¨ osning.

• Mindre fel ger 1–3 po¨ angs avdrag. G¨ aller ¨ aven mindre brister i presen- tationen.

• Allvarliga fel (t.ex. dimensionsfel eller andra fel som leder till orimliga resultat) kan ge l¨ agre po¨ angavdrag om orimligheten pekas ut.

• L¨ osningar som inte g˚ ar att f¨ olja (t.ex. avsaknad av figur, ej definierade variabler, sv˚ arl¨ ast, etc) renderar po¨ angavdrag ¨ aven om svaret verkar vara korrekt.

• Allvarliga principiella fel ger fullt po¨ angavdrag.

• ¨ Aven skisserade l¨ osningar kan ge delpo¨ ang.

Lycka till!

1. Svara p˚ a f¨ oljande tre delfr˚ agor (endast svar skall ges):

(a) Vad blir divergensen av vektorf¨ altet ~ F = sin θˆ e _θ (givet i sf¨ ariska koordinater)?

(b) Best¨ am konstanten C s˚ a att distributionen h _ (x) ≡ C exp(−x ² / ² )

 ,

blir en korrekt normaliserad deltafunktion i gr¨ ansen  → 0 ⁺ .

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2017-12-19

(c) N¨ ar man anv¨ ander indexnotation f¨ or att bevisa vektoridentiteten

∇ × ( ~ ~ ∇ × ~ F ) = ~ ∇( ~ ∇ · ~ F ) − ∆ ~ F st¨ oter man p˚ a termen ∂ _m ∂ _i F _m , d¨ ar indexen i, m l¨ oper ¨ over kartesiska koordinater. Vilket/vilka av f¨ oljande p˚ ast˚ aenden st¨ ammer?

(A) ∂ _m ∂ _i F _m = ∂ _i ∂ _m F _m (B) ∂ _m ∂ _i F _m = ∂ _m F _m ∂ _i (C) ∂ m ∂ i F m = F m ∂ m ∂ i (D) ingetdera (3 po¨ ang per korrekt besvarad deluppgift, 10 po¨ ang f¨ or alla tre.) 2. Ett koordinatsystem uvz ¨ ar definerat genom

x = u ² + λv ² ; y = uv; z = z,

d¨ ar u ≥ 0. Best¨ am konstanten λ s˚ a att koordinatsystemet blir ortog- onalt och ber¨ akna systemets skalfaktorer. Visa ocks˚ a om systemet ¨ ar ett h¨ oger- eller ett v¨ anstersystem. (10 po¨ ang)

3. Ytan till en (o¨ andligt) l˚ ang cylindrisk kavitet med radien a h˚ alls vid den elektriska potentialen φ(ρ = a, α, z) = φ ₀ cos 2α, d¨ ar (ρ, α, z) ¨ ar cylindriska koordinater och d¨ ar φ ₀ > 0. Best¨ am den statiska elektiska potentialen i kaviteten och skissa n˚ agra ekvipotentialytor. Markera speciellt ekvipotentialytan f¨ or φ = 0 (om den existerar i omr˚ adet) och ange i vilka omr˚ aden som potentialen ¨ ar positiv respektive negativ.

(cylindrisk kavitet = en ih˚ alig cylinder.) (10 po¨ ang)

4. Antag att vi har ett vektorf¨ alt ~ F som ¨ ar kontinuerligt och (dubbelt) deriverbart p˚ a en volym V . Utg˚ a fr˚ an Gauss sats f¨ or att visa att Stokes sats,

Z

S

( ~ ∇ × ~ F ) · d ~ S = Z

∂S

F · d~ ~ r,

g¨ aller f¨ or alla ytor S med rand ∂S som ligger p˚ a ytan ∂V (dvs randen ligger p˚ a den yta som innesluter volymen V ). (10 po¨ ang)

5. Betrakta en kropp med volymen V . P˚ a randen till kroppen g¨ aller Neu- manns homogena randvillkor f¨ or temperaturen. Initialt g¨ aller T = T ₀ i hela kroppen. Vid tiden t = 0 sl˚ as en v¨ armek¨ alla p˚ a med v¨ armek¨ allt¨ atheten s = P δ ³ (~ r − ~ r ₀ ), d¨ ar P ¨ ar en konstant och ~ r ₀ ortsvektorn f¨ or en punkt i kroppen. Denna v¨ armek¨ alla f¨ orblir sedan p˚ aslagen. Best¨ am v¨ ardet av R

V T (~ r, t)dV f¨ or alla tider t > 0. Materialet har v¨ armeledningsf¨ orm˚ aga λ, densitet ρ och v¨ armekapacitivitet c. (10 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C. Forss´ en

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM234, FFM232) 2017-12-19

6. Betrakta Poissons ekvation ∆φ = −ρ i det endimensionella omr˚ adet {x : 0 ≤ x ≤ L} med Dirichlets homogena randvillkor. F¨ or detta problem ¨ ar Greensfunktionen

G(x, x ⁰ ) =

 1 − ^x _L

x 0 ≤ x < x ⁰ , 1 − ^x _L
x ⁰ x ⁰ ≤ x ≤ L.

Anv¨ and denna Greensfunktion f¨ or att ber¨ akna potentialen f¨ or en punk- tladdning +q i punkten L/4 (med de givna randvillkoren). Skissa denna potential. Ber¨ akna ocks˚ a det motsvarande kraftf¨ altet och skissa detta i en figur. Ge slutligen en fysikalisk tolkning av de diskontinuiteter som uppvisas i kraftf¨ altet. (10 po¨ ang)

Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C. Forss´ en