Numerick´ a simulace

(1)

TECHNICK ´ A UNIVERZITA V LIBERCI

Fakulta strojn´ı

H A B I L I T A ˇ C N ´I P R ´ A C E

Numerick´ a simulace

magnetohydrodynamick´ ych dˇ ej˚ u v metalurgii a v technologick´ ych

procesech

Ing. Karel Fraˇ na, Ph.D.

14.11.2006 Liberec

(2)

Prohlaˇsuji t´ımto, ˇze jsem zde pˇredloˇzenou práci vypracoval samostatnˇe a ˇze jsem uvedl veˇskerou literaturu a podklady, ze kterých jsem v rámci této práce ˇcerpal. Vˇetˇsina obrázk˚u vznikla v programu Tecplot a výsledný dokument je vysázen v programu LÂTEX.

Nemám závaˇzný d˚uvod proti uˇzit´ı tohoto d´ıla ve smyslu § 60 Zákona ˇc.121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisej´ıc´ıch s právem autorským a o zmˇenˇe nˇekterých zákon˚u (autorský zákon).

V Liberci dne 14.11.2006 ...

Karel Fraˇna

(3)

Abstrakt

Tato práce je zamˇeˇrena na numerickou studii stlaˇcitelného a isotermn´ıho proudˇen´ı ge- nerovaného rotuj´ıc´ım a translaˇcn´ım magnetickým polem ve válcové nádobˇe s elektricky izolovanými stˇenami. Matematický model je definován Navier-Stokesovými rovnicemi a vliv magnetického pole na vodivé tekutiny je vyjádˇren pomoc´ı extern´ıch sil. V pˇr´ıpadˇe n´ızké indukce a n´ızké frekvence lze uváˇzit pro výpoˇcet pouze ˇcasovˇe pr˚umˇerovanou ˇcást magnetických sil, které jsou definovány pomoc´ı analytického vztahu. Samotné výpoˇcty jsou uskuteˇcnˇeny nejenom pomoc´ı vlastn´ıho výpoˇcetn´ıho programu zaloˇzeného na me- todˇe koneˇcných prvk˚u, ale také komerˇcn´ım programem Fluent.

Pˇredloˇzená habilitaˇcn´ı práce je rozdˇelena do 3 oblast´ı. Prvn´ı ˇcást obsahuje definici ˇreˇseného problému a numerické výsledky proudˇen´ı generovaného translaˇcn´ım magne- tickým polem. Druhá ˇcást se zabývá analýzou lineárn´ıch nestabilit proudˇen´ı gene- rovaného rotuj´ıc´ım a translaˇcn´ım magnetickým polem. Pro oba typy magnetického pole jsou definovány kritické hodnoty kriteriáln´ıch ˇc´ısel (napˇr. Taylorova ˇc´ısla), kri- tické módy a kritické frekvence oscilac´ı kinetické energie proudu pro pomˇer výˇsky a pr˚umˇeru nádoby jedna. Z´ıskané výsledky jsou v dobré shodˇe s výsledky Grantse a Ger- betha. Nav´ıc provedená analýza odhalila nové detaily o vzniku lineárn´ıch nestabilit v toc´ıch generovaných rotuj´ıc´ım magnetickým polem. V posledn´ı ˇcásti práce je provedena studie turbulentn´ıho proudˇen´ıˇreˇseného pomoc´ı dvourovnicových turbulentn´ıch model˚u k −ε Standard a k −ω SST s konceptem lineárn´ı v´ırové viskozity a výsledky studie jsou vyhodnoceny porovnán´ım s 3d DNS studi´ı. Jak ukazuje tato studie, turbulentn´ı model k − ω SST je vhodný pro modelován´ı proudˇen´ı generovaného rotuj´ıc´ım magnetickým polem pro stˇredn´ı hodnoty Taylorova ˇc´ısla.

(4)

Abstract

The objective of this work is focused on the numerical study of the incompressible and isothermal flows driven by a travelling and a rotating magnetic field in a cylin- drical container with electrically insulated walls. The mathematical model is defined by the Navier-Stokes equations and the effect of the magnetic field on the electrically conducted fluids in included into external body force. Under assumptions of the low- frequency and low-induction conditions, the axisymmetric time-averaged part of the magnetic body force is only relevant and it is defined by the analytical form. The com- putation is carried out using self-developed code base on the finite element method and commercial code Fluent.

Our work is divided into three parts. The first part contains the problem formu- lation and numerical results of the flows driven by the travelling magnetic field. The second part deals with the linear stability analysis performed on the flow driven by the travelling and rotating magnetic fields. For both magnetic fields, the critical value of the leading parameter such as Taylor number etc., the critical mode and frequency of energy oscillations are detected for the aspect ratio one (ratio between the height and diameter of the cylinder). These results correspond well with the published results from Grants and Gerbeth. Furthermore, this analysis revealed new details about the onset of the linear instability formation in RMF flows. Finally, in the last part, the study of the turbulent flows solved using two-equations turbulent models k − ε Standard and k − ω SST with the linear eddy viscosity concept is evaluated by the comparison with 3d direct numerical simulation. As a result that k − ω SST model is the appropriate turbulent model for RMF flows at moderate Taylor numbers.

(5)

Obsah

Abstrakt . . . III Abstract . . . IV Seznam pouˇzit´ych symbol˚u a zkratek . . . VII

1 Uvod´ 1

1.1 Magnetohydrodynamika v metalurgii a v technologick´ych procesech . . 2

1.2 Hlavn´ı c´ıle pˇredloˇzen´e pr´ace . . . 3

1.3 Pouˇzit´y v´ypoˇcetn´ı software . . . 5

1.4 Numerick´a simulace . . . 6

2 Proudˇen´ı vyvolané magnetickým polem 7 2.1 Matematický model pro nestlaˇcitelné proudˇen´ı . . . 7

2.2 Z´akladn´ı rovnice magnetohydrodynamiky . . . 10

2.3 Základn´ı rovnice a vztahy pro malé hodnoty magnetického Reynoldsova ˇc´ısla . . . 12

2.4 Rotuj´ıc´ı magnetick´e pole . . . 14

2.4.1 Matematick´y model RMP . . . 15

2.5 Translaˇcn´ı magnetick´e pole (TMP) . . . 16

2.5.1 Souˇcasn´y stav znalost´ı v oblasti aplikac´ı TMP . . . 17

2.5.2 Matematick´y model TMP . . . 18

2.5.3 Verifikace matematick´eho modelu TMP . . . 20

2.5.4 Výsledky numerické simulace proudˇen´ı vyvolaného TMP . . . . 22

V

(6)

Obsah VI

3 Line´arn´ı a neline´arn´ı nestability v proudˇen´ı 24

3.1 Teorie line´arn´ıch nestabilit . . . 25

3.2 Dosavadn´ı znalosti a publikace . . . 28

3.3 Popis numerick´eho testu line´arn´ıch nestabilit . . . 30

3.4 Proudˇen´ı vyvolan´e rotuj´ıc´ım magnetick´ym polem . . . 31

3.4.1 Velikost n´adoby Z=1 . . . 32

3.5 Proudˇen´ı vyvolané úˇcinkem translaˇcn´ıho magnetického pole . . . 35

3.5.1 Velikost n´adoby Z=1 . . . 35

3.5.2 Velikost n´adoby Z=0.5 . . . 39

3.5.3 Test hustoty s´ıtˇe . . . 42

4 Simulace turbulentn´ıho proudˇen´ı 44 4.1 Pˇredchoz´ı studie a jejich z´avˇery . . . 45

4.2 Teorie turbulentn´ıch model˚u . . . 46

4.3 Proudˇen´ı vyvolan´e rotuj´ıc´ım magnetick´ym polem . . . 51

4.3.1 Definice bezrozmˇern´ych veliˇcin . . . 51

4.3.2 V´ypoˇcetn´ı s´ıt’ . . . 51

4.3.3 Casovˇe stˇredovan´e rychlostn´ı pole . . . .ˇ 52 4.3.4 Reynoldsovo napˇet´ı . . . 56

4.3.5 Turbulentn´ı kinetick´a energie . . . 59

4.3.6 Glob´aln´ı zhodnocen´ı model˚u . . . 60

5 Z´avˇer 61

Pouˇzit´a literatura 62

Vybran´e vlastn´ı publikace 66

Grafick´a pˇr´ıloha 70

6 Publikace v zahraniˇcn´ıch ˇcasopisech 78

(7)

Seznam pouˇzit´ych symbol˚u a zkratek VII

Seznam pouˇ zit´ ych symbol˚ u a zkratek

Oznaˇcen´ı

A,A₀,a elektrický potenciál magnetického pole a_m vlnové ˇc´ıslo magnetického pole

a₁,a₂ polomˇery

f, F vektor extern´ıch sil

f_L vektor Lorentzov´ych sil

fx, fy, fz sloˇzky extern´ı s´ıly v kart´ezsk´ych souˇradnic´ıch

fϕ, fr, fz sloˇzky extern´ı s´ıly v cylindrickém souˇradném systému

∆Q n´ar˚ust vzruch˚u

u vektor rychlostn´ıho pole

e₀,e_r kinetická energie proudˇen´ı ustáleného a ruˇsivého pole

E kinetick´a energie proudˇen´ı

u_r vektor rychlostn´ıho pole dodateˇcného ruˇsivého pole u₀ vektor rychlostn´ıho pole ustáleného stacionárn´ıho ˇreˇsen´ı u, v, w sloˇzky rychlosti v kartézských souˇradn´ıc´ıch

∆U n´ar˚ust vzruch˚u u rychlostn´ıho pole

u_ϕ, u_r, u_z sloˇzky rychlosti v cylindrick´ych souˇradnic´ıch

p tlak

p_r tlakové pole dodateˇcného ruˇsivého pole p0 tlakové pole ustáleného stacionárn´ıho ˇreˇsen´ı

∆P n´ar˚ust vzruch˚u u tlakov´eho pole

S tenzor deformaˇcn´ıho napˇet´ı

t ˇcas

m cel´e pozitivn´ı ˇc´ıslo, m´od

i, j, k jednotkový vektor pro kartézské souˇradnice

k vlnov´e ˇc´ıslo

k⁰ turbulentn´ı kinetick´a energie

x,y,z kartézský souˇradný systém ϕ,r,z cylindrický souˇradný systém

l d´elka

B celkov´a indukce magnetick´eho pole

B0 indukce magnetick´eho pole bez vlivu fluktuace

b indukce magnetick´eho pole indukovan´eho vodivou tekutinou

B0 absolutn´ı hodnota magnetick´e indukce

(8)

Seznam pouˇzit´ych symbol˚u a zkratek VIII

h souˇradnice ve smˇeru v´yˇsky

H výˇska válcové nádoby

J_k Besselova funkce k-t´eho ˇr´adu

J,J₀,j hustota indukovan´eho elektrick´eho proudu

R polomˇer válcové nádoby

Z pomˇer v´yˇsky a pr˚umˇeru n´adoby

e_ϕ,e_r,e_z jednotkov´e vektory cylindrick´ych souˇradnic

t ˇcas

J Besselova funkce

< u⁰_iu⁰_j > Reynoldsovo napˇet´ı

Reck´e oznaˇcen´ı ˇ

τ tenzor napˇet´ı

Γ okraj oblasti, okrajov´a podm´ınka

ξ bezrozmˇern´e amplitudy oscilac´ı

λ koˇren ˇreˇsen´ı Besselovy funkce

λ_i kritick´a frekvence oscilac´ı

ν kinetick´a viskozita

µ dynamick´a viskozita

µ_m magnetick´a permeabilita

ρ hustota

σ elektrick´a vodivost

δr,δi amplituda oscilac´ı, reálná a imaginárn´ı ˇcást ε¹,ε² velmi malá zmˇena, odchylka

ε turbulentn´ı disipace

φ elektrick´y potenci´al

ω úhlová frekvence, specifická turbulentn´ı disipace Ω₁,Ω₂ úhlové rychlosti

Ω v´ypoˇcetn´ı oblast

dΩ v´ypoˇcetn´ı podoblast

∂

∂x parci´aln´ı derivace

D

Dx tot´aln´ı derivace

(9)

Seznam pouˇzit´ych symbol˚u a zkratek IX

Seznam index˚ u

Xcr kritick´y

X^∗ bezrozmˇern´y

Xⁿ,X⁽ⁿ⁺¹⁾ okamˇzitý, nový ˇcasový krok

X_m magnetick´y

X_min minim´aln´ı

X_max maxim´aln´ı

X⁰ fluktuace

X, < X > ˇcasovˇe stˇredovaná hodnota, ˇcasové pr˚umˇerován´ı i, r imaginárn´ı, reálná ˇcást

Matematick´e symboly

· jednoduch´y skal´arn´ı souˇcin

∇ Nabla oper´ator

Seznam bezrozmˇern´ych kriteri´aln´ıch ˇc´ısel

Rm magnetick´e Reynoldsovo ˇc´ıslo

Re Reynoldsovo ˇc´ıslo

F kriteri´aln´ı ˇc´ıslo translaˇcn´ıho magnetick´eho pole

T_m magnetick´e Taylorovo ˇc´ıslo

Seznam zkratek

2d dvojdimenzion´aln´ı

3d tˇr´ıdimenzion´aln´ı

CPU Central Processing Unit - procesor stanice

DNS Direct Numerical Simulation

URANS Unsteady Reynolds Averaged Navier Stokes

MHD Magnetohydrodynamics

k-ω SST turbulentn´ı model k-ω, Shear Stress Transport k-ε Standard turbulentn´ı model k-ε Standard

UDF User Defined Function

RMP rotuj´ıc´ı magnetick´e pole

(10)

Seznam pouˇzit´ych symbol˚u a zkratek X

TMP translaˇcn´ı magnetick´e pole

SGI Silicon Graphics Incorporated

(11)

Kapitola 1 Uvod ´

Magnetohydrodynamika (MHD) se zabývá jevy spojenými s elektricky vodivými ma- teriály v tekutém stavu, rychlostn´ım polem a magnetickým polem a jejich vzájemným ovlivnˇen´ım. Prvn´ı zájem v oblasti magnetohydrodynamiky byl zamˇeˇren na jevy v geo- fyzice a v astronomii. Pozdˇeji se zájem o poznatky z magnetohydrodynamiky rozˇsiˇruje také do oblasti plazmové fyziky a nukleárn´ı fúze. V posledn´ıch letech se do popˇred´ı dostává také zájem o magnetohydrodynamiku v oblasti materiálového inˇzenýrstv´ı.

Spoleˇcným prvkem mnoha zde zm´ınˇených obor˚u je elektrická vodivost média, která by mˇela být co nejvˇetˇs´ı, nebot’ malá elektrická vodivost razantnˇe sniˇzuje úˇcinek mag- netického pole. Jako pˇr´ıklad lze zde uvést pokusy vojenských mocnost´ı o vývoj nového pohonu pro podmoˇrské ponorky. Právˇe idea vyuˇzit´ı elektrické vodivosti slané vody k pohonu ponorek mˇela pˇrinést novou moˇznost, jak zvýˇsit rychlost tˇechto ponorek, za- mezit vznikaj´ıc´ımu hluku a zabránit vibrac´ım, coˇz mˇelo v koneˇcném d˚usledku zt´ıˇzit jejich identifikaci. Ovˇsem prvn´ı testy pˇrinesly velké zklamán´ı, nebot’ právˇe slabá vodivost slané moˇrské vody vyˇzadovala velkou intenzitu magnetického pole, coˇz se dále projevilo nejen v enormn´ım nároku na pohon, ale rovnˇeˇz v oblasti konstrukce magnet˚u.

Nav´ıc vznikaj´ıc´ı magnetické pole bylo natolik intenzivn´ı, ˇze jiˇz primitivnˇejˇs´ı pˇr´ıstroje dokázaly odhalit pozici takto pohánˇených ponorek. Z tˇechto d˚uvod˚u byla vˇetˇsina pro- jekt˚u zastavena, i kdyˇz stálý vývoj v oblasti supervodiˇc˚u by mohl jednou tuto myˇslenku oˇzivit. Jiˇz dnes se k této myˇslence opˇet vrac´ı pozornost, ovˇsem vývoj z˚ustává zat´ım jen v laboratorn´ım prostˇred´ı. Znalosti úˇcinku magnetického pole na vodivé tekutiny, moˇznost predikce proudˇen´ı, které je vyvoláno samotným magnetickým polem a studie tohoto proudˇen´ı nab´ız´ı ˇsirokou moˇznost v mnoha technických aplikac´ıch. Proud´ıc´ı tekutinu pˇredstavuje roztavený kov o vysoké teplotˇe. Vliv vysoké teploty a magnetického pole má negativn´ı dopad na pˇresnost mnoha mˇeˇr´ıc´ıch metod. Nav´ıc vytvoˇren´ı magne-

1

(12)

Magnetohydrodynamika v metalurgii a v technologick´ych procesech 2

tického pole je energeticky znaˇcnˇe nároˇcné. Tyto faktory a mnoho dalˇs´ıch znesnadˇnuj´ı realizaci experiment˚u. Jelikoˇz v souˇcasné dobˇe existuje jiˇz mnoho prac´ı z oblasti definice matematických model˚u pro problematiku magnetohydrodynamiky v klasických technických aplikac´ıch, je moˇzné vyuˇz´ıt tˇechto poznatk˚u a celou studii magneticky buzeného proudˇen´ı realizovat prostˇrednictv´ım numerické simulace.

1.1 Magnetohydrodynamika v metalurgii a v tech- nologick´ ych procesech

Na rozd´ıl od neúspˇechu v oblasti vývoje nových pohon˚u ponorek je praktické vyuˇzit´ı magnetického pole v oblasti materiálového inˇzenýrstv´ı mnohem úspˇeˇsnˇejˇs´ı. Podnˇet k hledán´ı nových technologických proces˚u v metalurgii byl vyvoláno dvˇema poˇzadavky.

Prvn´ım z nich byl poˇzadavek sn´ıˇzit energetickou nároˇcnost technologických proces˚u, která se objevila v souvislosti s energetickou kriz´ı v 70. letech. Dalˇs´ım podnˇetem byl stále rostouc´ı poˇzadavek na kvalitu materiálu z hlediska ˇcistoty a materiálové homoge- nity pˇredevˇs´ım v oblasti leteckého pr˚umyslu.

Jak ukázaly prvn´ı studie, nejd˚uleˇzitˇejˇs´ım pohybem roztaveného kovu bˇehem jeho zpracován´ı je jeho rotaˇcn´ı pohyb,který byl poprvé studován v literatuˇre Moffatt [12]. Otázkou tak bylo, jak tento pohyb vyvolat. Zkouˇsely se r˚uzné moˇznosti jako napˇr. rotaˇcn´ı pohyb nádob ˇci pouze ˇcást´ı nádob, kdy pohyb tˇechto stˇen se pˇrenáˇs´ı také na tekutinu. Z hlediska efektivnosti nebyla tato varianta pˇr´ıliˇs úspˇeˇsná, a proto se zájem up´ınal stále v´ıce na fakt, ˇze vˇetˇsina kov˚u je souˇcasnˇe velmi dobrými elek- trickými vodiˇci, a tak se nab´ızela moˇznost vyuˇz´ıt této materiálové vlastnosti. Schop- nost uvést tyto taveniny do pohybu pomoc´ı magnetického pole bez nutnosti pˇr´ımého kontaktu s tekutinou nab´ız´ı obrovské moˇznosti. Rotuj´ıc´ı a translaˇcn´ı magnetická pole naˇsla uplatnˇen´ı pˇredevˇs´ım v metalurgii v oblasti kontinuáln´ıho slévárenstv´ı a výroby oceli a rovnˇeˇz v oblasti výroby monokrystal˚u. Translaˇcn´ı magnetické pole se ˇcasto pouˇz´ıvá k transportu taveniny. Ponˇevadˇz se jedná o bezkontaktn´ı metodu, nedocház´ı k pˇr´ımému kontaktu taveniny s jinými mechanickými ˇcástmi, coˇz umoˇzˇnuje zvýˇsit ˇcistotu materiálu sn´ıˇzen´ım oxid˚u v taveninˇe. Nav´ıc vzniklý pohyb tekutiny je zpravidla pra- videlný a bez vibrac´ı, coˇz se odraz´ı ve zpˇresnˇen´ı napˇr. dávkován´ı nebo odmˇeˇrován´ı taveniny pro odléván´ı. Dalˇs´ı uplatnˇen´ı je v oblasti kontinuáln´ıho odléván´ı oceli, kdy translaˇcn´ı magnetické pole vyvolává pohyb odlévané oceli, coˇz vede k zamezen´ı ne- rovnomˇerného tuhnut´ı Spitzer [23]. Prom´ıcháván´ı tekutého kovu je dalˇs´ı alternativa pouˇzit´ı magnetického pole. Bˇehem tuhnut´ı maj´ı totiˇz slitinové materiály tendenci se

(13)

Hlavn´ı c´ıle pˇredloˇzen´e pr´ace 3

separovat od dalˇs´ıch materiál˚u zp˚usobuj´ıc´ı nehomogenitu ingotu a následkem toho se objevuje porozita v materiálu, která je formovaná obsahem bublinek plynu (napˇr. CO v oceli). Tuto porozitu lze redukovat ˇci úplnˇe odstranit pomoc´ı vhodného pohybu tekutin vyvolaného magnetickým polem Birat [17] a Takeuchi [7]. Tekutinu lze uvést do pohybu také napˇr´ıklad pomoc´ı inertn´ıho plynu argonu, coˇz patˇr´ı mezi ˇcasté tech- nické realizace, ovˇsem prom´ıcháván´ı tekutiny prostˇrednictv´ım rotuj´ıc´ıho magnetického pole je mnohem úˇcinnˇejˇs´ı (rychlejˇs´ı a pˇrisp´ıvá k lepˇs´ı homogenizaci rozloˇzen´ı teplot).

V´ıce informac´ı lze nalézt v literatuˇre Roplekar [19]. V oblasti krystalizace materiálu byl zaznamenán úspˇech rovnˇeˇz pouˇzit´ım rotuj´ıc´ıho magnetického pole. Rotaˇcn´ı pohyb tekutiny v Bridgmanovˇe procesu umoˇznil redukovat rýhován´ı ve slitinˇe germania a ga- lia, které vzniká v d˚usledku fluktuace proudˇen´ı vyvolaného pˇrirozenou konvekc´ı Dold a Benz [27]. Dosavadn´ı výklad vyuˇzit´ı magnetického pole byl omezen na nejˇcastˇejˇs´ı pˇr´ıpad generován´ı dodateˇcného proudˇen´ı pomoc´ı magnetického pole.

Ovˇsem existuje jeˇstˇe jedna významná oblast aplikace magnetického pole a to je moˇznost tlumen´ı proudˇen´ı p˚usoben´ım magnetického pole. V zahraniˇcn´ı literatuˇre je tato metoda známá pod pojmem ’Magnetic Damping’. Jak napov´ıdá název, hlavn´ım c´ılem je úplné utlumen´ı pohybu tekutiny vznikaj´ıc´ı napˇr. v d˚usledku teplotn´ıho nebo tlakového gradientu. Nejˇcastˇejˇs´ı vyuˇzit´ı je pro aplikaci Bridgmanovy techniky, která je spojená s výrobou polovodiˇcových materiál˚u a zlepˇsen´ım jejich vlastnost´ı, coˇz má významný vliv pˇredevˇs´ım v elektrotechnice. V´ıce k tomuto tématu lze nalézt napˇr. v publikaci Müller [9]. V pˇr´ıpadˇe zájmu o ˇsirˇs´ı pouˇzit´ı magnetického pole také napˇr.

pro problematiku generován´ı pohybu, technologické zpracován´ı ˇcistého kovu hlin´ıku a moˇznosti výrazného sn´ıˇzen´ı energetické nároˇcnosti tohoto procesu lze odkázat na knihu Davidson [28].

1.2 Hlavn´ı c´ıle pˇredloˇ zen´ e pr´ ace

Hlavn´ım c´ılem práce je pˇrinést nové poznatky z oblasti studie proudˇen´ı buzeného rotuj´ıc´ım (RMP) a translaˇcn´ı (TMP) se magnetickým polem. Studie 3d proudˇen´ı vy- volaného RMP (rychlostn´ı pole zobrazeno v pˇr´ıloze 5.2) je souˇcást´ı disertaˇcn´ı práce Fraˇna [21]. Zde je moˇzné nalézt nejen velmi obsáhlý pˇrehled o souˇcasných znalostech a vývoji výzkumu v této oblasti, ale rovnˇeˇz významné výsledky numerické studie. V rámci zde pˇredloˇzené práce je vˇenována pozornost studii nestabilit v proudˇen´ı vyvo- laného RMP a dále obsáhlejˇs´ı studii turbulentn´ıho proudˇen´ı, která zohledˇnuje výsledky

(14)

Hlavn´ı c´ıle pˇredloˇzen´e pr´ace 4

obsaˇzené v práci Fraˇna [21] a dále je rozv´ıj´ı. Významná ˇcást práce je ovˇsem zamˇeˇrena na proudˇen´ı vyvolané translaˇcn´ım magnetickým polem.

C´ıle této práce jsou následuj´ıc´ı:

1. Prezentace základn´ıch urˇcuj´ıc´ıch rovnic magnetohydrodynamiky, odvozen´ı zjed- noduˇsené metody definice matematického modelu pro aplikace v metalurgii a výrobn´ıch procesech. Definice základn´ıch matematických model˚u pro rotuj´ıc´ı a translaˇcn´ı magnetické pole.

2. Numerická simulace proudˇen´ı vyvolaného translaˇcn´ım magnetickým polem pro pˇr´ıpady laminárn´ıho osovˇe symetrického proudˇen´ı. Identifikace základn´ıho typu proudˇen´ı.

3. Numerická studie lineárn´ıch a nelineárn´ıch nestabilit v magneticky buzeném proudˇen´ı. Zpracován´ı souˇcasného pˇrehledu znalost´ı a vypracován´ı metody pro jejich identifikaci programem zaloˇzeným pouze na pˇresnosti druhého ˇrádu diskretizace Navier-Stokesových rovnic se vˇsemi módy proudˇen´ı. Tato studie zahrnuje následuj´ıc´ı d´ılˇc´ı c´ıle:

• Shrnout souˇcasn´y stav znalost´ı v problematice existence nestabilit a metody jejich identifikace.

• Identifikace kritické hodnoty kriteriáln´ıho ˇc´ısla a vznik a vývoj prvn´ıch ne- stabilit v proudˇen´ı. Souˇcást´ı studie je analýza vznikaj´ıc´ıch nestabilit, urˇcen´ı kritického módu (tj. módu, pˇri kterém se objevuj´ı prvotn´ı nestability) a stanoven´ı frekvence oscilac´ı energie na kritickém módu. K této studii je pouˇzit vlastn´ı výpoˇcetn´ı program.

• Porovnán´ı vlastn´ıch z´ıskaných výsledk˚u se souˇcasnými znalostmi a defi- nován´ı odchylek od výsledk˚u z´ıskaných na základˇe pˇresnˇejˇs´ıch studi´ı nestabilit (spektráln´ı metody a výpoˇcetn´ı programy speciálnˇe navrˇzené na studii lineárn´ıch nestabilit).

• Vedlejˇs´ım produktem této studie je rovnˇeˇz prokázán´ı úspˇeˇsné validace vý- poˇcetn´ıho programu a potvrzen´ı správnosti implementace nelineárn´ıho kon- vetivn´ıho ˇclenu v hybnostn´ıch Navier-Stokesových rovnic´ıch.

4. Rozbor moˇznosti numerické simulace turbulentn´ıho rotuj´ıc´ıho proudˇen´ı, problematika anizotropie Reynoldsových napˇet´ı a pˇrehled souˇcasných znalost´ı. Druhá ˇcást c´ıle zahrnuje vlastn´ı numerickou studii turbulentn´ıho proudˇen´ı simulovaného

(15)

Pouˇzit´y v´ypoˇcetn´ı software 5

pomoc´ı dvourovnicových model˚u k−ε Standard a k−ω SST. Zhodnocen´ı výsledk˚u z modelován´ı turbulence je uskuteˇcnˇeno porovnán´ım s pˇresnˇejˇs´ımi výsledky 3d DNS studie, pˇriˇcemˇz tyto výsledky byly dále z velké ˇcásti porovnány s výsledky z´ıskanými experimentálnˇe.

1.3 Pouˇ zit´ y v´ ypoˇ cetn´ı software

K numerické simulaci magnetohydrodynamického proudˇen´ı byl pouˇzit vlastn´ı výpoˇcetn´ı program a komerˇcn´ı program FLUENT. Vlastn´ı výpoˇcetn´ı program umoˇzˇnuje ˇreˇsen´ı Navier-Stokesových rovnic pro 3d problém s pˇresnost´ı diskretizace druhého ˇrádu v ˇcase i v prostoru pro strukturovanou a nestrukturovanou s´ıt’. Výpoˇcetn´ı algoritmus se skládá ze dvou krok˚u: explicitn´ı ˇreˇsen´ı rovnice hybnosti a implicitn´ı krok v ˇreˇsen´ı tlakového potenciálu. Tento výpoˇcetn´ı kód byl v minulosti testován na mnoha r˚uzných pˇr´ıpadech, obzvláˇstˇe v reˇzimu laminárn´ıho proudˇen´ı. V´ıce informac´ı k tomuto výpoˇcetn´ımu programu lze nalézt v literatuˇre Fraˇna [21].

V rámci této práce byl jiˇz zm´ınˇený výpoˇcetn´ı program rozˇs´ıˇren o nové moduly umoˇzˇnuj´ıc´ı zahrnout do výpoˇctu rovnˇeˇz studii vlivu translaˇcn´ıho magnetického pole.

Dále byly zdokonaleny procedury pro statistiku umoˇzˇnuj´ıc´ı dosáhnout lepˇs´ıch výsledk˚u pro výpoˇcet Reynoldsových napˇet´ı a turbulentn´ı kinetické energie. V neposledn´ı ˇradˇe byly do programu zahrnuty nové procedury speciálnˇe vyvinuté pro studii lineárn´ıch nestabilit.

Za úˇcelem studie turbulentn´ıho proudˇen´ı je pouˇzit rovnˇeˇz komerˇcn´ı program FLU- ENT, který v sobˇe zahrnuje celou ˇradu turbulentn´ıch model˚u. V této studii lze vyuˇz´ıt pˇredpoklad osovˇe symetrického proudˇen´ı ˇcasovˇe stˇredovaných hodnot a celý problém zjednoduˇsit na 2d pˇr´ıpad definovaný v cylindrických souˇradnic´ıch. Dosaˇzené výsledky jsou pak konfrontovány s výsledky 3d DNS studie. Vliv magnetického pole na proudˇen´ı je rovnˇeˇz zahrnut jako vlastn´ı program do výrazu pro extern´ı s´ıly pomoc´ı rozhran´ı UDF.

V pˇr´ıpadˇe zájmu lze odkázat na oficiáln´ı dokumentaci FLUENTu [1].

(16)

Numerick´a simulace 6

1.4 Numerick´ a simulace

Vˇetˇsina realizovaných výpoˇct˚u publikovaných v rámci této práce byla uskuteˇcnˇena na v´ıceprocesorových stanic´ıch s architekturou SGI. Výpoˇcet prob´ıhá paralelnˇe s vyuˇzit´ım aˇz 32 CPU na jednu výpoˇcetn´ı úlohu. K samotnému výpoˇcetn´ımu programu jsou dopro- gramovány dodateˇcné pomocné programy pro postprocesing, které obsahuj´ı nástroje pro zpracován´ı výsledk˚u (Fourierova transformace, statistické metody apod.). Tyto doplˇnuj´ıc´ı programy jsou zpravidla zaloˇzeny na sekvenciáln´ım bˇehu. Vˇsechny zde zm´ı- nˇené vlastn´ı programy byly napsány v jazyku FORTRAN 90/95.

(17)

Kapitola 2

Proudˇ en´ı vyvolan´ e magnetick´ ym polem

V rámci této kapitoly je vˇenována pozornost formulaci matematického modelu, který je zapotˇreb´ı ke stanoven´ı vlivu magnetického pole na vodivé tekutiny za pˇredpokladu relativnˇe malé intenzity magnetického pole. Souˇcást´ı této kapitoly je rovnˇeˇz prezentace základn´ıch výsledk˚u numerické studie magneticky buzených rychlostn´ıch pol´ı úˇcinkem translaˇcn´ıho magnetického pole.

2.1 Matematick´ y model pro nestlaˇ citeln´ e proudˇ en´ı

Matematický model, který popisuje chován´ı nestlaˇcitelné tekutiny, je dán Navier- Sto- kesovými rovnicemi, které obecnˇe popisuj´ı principy zachován´ı hmoty, hybnosti a popˇr.

energie. V rámci zde zkoumaných problém˚u se pˇredpokládá velmi malý rozd´ıl teplot v celém výpoˇcetn´ım objemu. D˚usledkem tˇechto malých gradient˚u teploty je pˇrirozená konvekce, ovˇsem intenzita takovéhoto proudˇen´ı je zanedbatelná v˚uˇci vzniklému proudˇen´ı od magnetického pole. Z tohoto d˚uvodu se ˇcasto u podobných studi´ı uvaˇzuje proudˇen´ı jako izotermn´ı a celý problém se tak omez´ı pouze na ˇreˇsen´ı rovnic zachován´ı kontinu- ity hmoty a hybnosti. Vektor rychlostn´ıho pole magneticky generovaného proudˇen´ı u je definován sloˇzkami (u, v, w) a vektor extern´ıch sil f je popsán sloˇzkami (f_x, f_y, f_z).

Nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı rovnic´ı je rovnice popisuj´ı zachován´ı hybnosti tekutiny, jej´ıˇz obecná definice je dána vztahem 2.1.

7

(18)

Matematick´y model pro nestlaˇciteln´e proudˇen´ı 8

ρDu Dt = ρ

µ∂u

∂t + u · ∇u

¶

= −∇p + ρf + ∇ · [τ ] (2.1)

Tuto rovnici 2.1 je moˇzné dále upravit do tvaru 2.2, jestliˇze tenzor napˇet´ı je defi- nován jako [τ ] = 2µ [S] −²₃µ∇ · u. Posledn´ı výraz na pravé stranˇe se dále neuvaˇzuje za podm´ınek nestlaˇcitelnosti tekutiny, tj. kdy ∇ · u = 0.

ρDu

Dt = −∇p + ρf + 2µ∇ · [S] (2.2)

Deformaˇcn´ı tenzor napˇet´ı oznaˇcený jako S je dále definován vztahem 2.3.

∇ · [S] = h ∂

∂x ∂

∂y ∂

∂z

i







∂u

∂x

1 2

³∂v

∂x +^∂u_∂y

´ 1 2

¡_∂w

∂x +^∂u_∂z¢

1 2

³∂u

∂y +^∂v_∂x

´ ∂v

∂y 1

2

³∂w

∂y + ^∂v_∂z

´

1 2

¡_∂u

∂z +^∂w_∂x¢ ₁

2

³∂v

∂z + ^∂w_∂y

´ ∂w

∂z





 (2.3)

Násoben´ım operátoru ∇ prvn´ı ˇrádkou napˇet’ového tenzoru S vede na jeho x-sloˇzku za pˇredpokladu nestlaˇcitelného proudˇen´ı 2.4.

(∇ · [S])_x = 1

2∇²u (2.4)

Podobnˇe lze rozepsat tento vektor do sloˇzek y a z, pˇriˇcemˇz výsledný vektor bude ve formˇe 2.5, kde i, j a k jsou jednotkové vektory ve smˇeru x, y a z.

∇ · [S] = 1 2

¡i∇²u + j∇²v + k∇²w¢

= 1

2∇²u (2.5)

Pomoc´ı vztahu 2.5 se dále výraz pro smyková napˇet´ı na pravé stranˇe rovnice 2.2 zjednoduˇs´ı na formu 2.6.

2µ∇ · [S] = µ∇²u (2.6)

(19)

Matematick´y model pro nestlaˇciteln´e proudˇen´ı 9

Tato forma zápisu smykových napˇet´ı 2.6 se pouˇzije pro výslednou rovnici pro za- chován´ı hybnosti ve tvaru tvaru 2.7.

ρDu

Dt = −∇p + ρf + µ∇²u (2.7)

Pouˇzit´ım pˇredchoz´ıho vztahu 2.7 je systém urˇcuj´ıc´ıch rovnic pro nestlaˇcitelné izotermn´ı proudˇen´ı vazké tekutiny ve sloˇzkovém zápisu definován následuj´ıc´ımi rovnicemi 2.8.

∂u

∂x +∂v

∂y + ∂w

∂z = 0 (2.8)

ρ µ∂u

∂t + u∂u

∂x + v∂u

∂y + w∂u

∂z

¶

= −∂p

∂x + ρf_x+ µ µ∂²u

∂x² +∂²u

∂y² + ∂²u

∂z²

¶

ρ µ∂v

∂t + u∂v

∂x + v∂v

∂y + w∂v

∂z

¶

= −∂p

∂y + ρf_y+ µ µ∂²v

∂x² + ∂²v

∂y² + ∂²v

∂z²

¶

ρ µ∂w

∂t + u∂w

∂x + v∂w

∂y + w∂w

∂z

¶

= −∂p

∂z + ρf_z + µ µ∂²w

∂x² +∂²w

∂y² +∂²w

∂z²

¶

Tyto definice rovnic plat´ı pro kartézský souˇradný systém, který je pouˇzit v ˇreˇsiˇci pro samotnou simulaci proudˇen´ı tekutiny bez vlivu magnetického pole. Vzhledem k tomu, ˇze zde popsaný problém je vˇzdy omezen pouze na výpoˇcetn´ı oblast tvoˇrenou válcovou nádobou, jsou Lorentzovy s´ıly zpravidla definovány v cylindrickém souˇradném systému. V takovémto pˇr´ıpadˇe je nestlaˇcitelné vazké proudˇen´ı dáno vektorem rychlosti u = (u_ϕ, u_r, u_z), pˇriˇcemˇz souˇradný systém je definován azimutáln´ımi, radiáln´ımi a axiáln´ımi smˇery ϕ, r, z.

Tento cylindrický souˇradný systém je pˇr´ımo pouˇzit napˇr. v numerické studii realizo- vané v komerˇcn´ım programu FLUENT, kde se vyuˇz´ıvá pˇredpokládaná osová symetrie proudˇen´ı a tvaru nádoby v˚uˇci vertikáln´ı ose.

1 r

∂

∂r(ru_r) + 1 r

∂u_ϕ

∂ϕ +∂u_z

∂z = 0 (2.9)

(20)

Z´akladn´ı rovnice magnetohydrodynamiky 10

ρ µ∂u_r

∂t + u_r∂u_r

∂r + u_ϕ r

∂u_r

∂ϕ + u_z∂u_r

∂z − u_ϕ² r

¶

= −∂p

∂r + µ

µ∂²u_r

∂r² + 1 r²

∂²u_r

∂ϕ² +∂²u_r

∂z² + 1 r

∂u_r

∂r − 2 r²

∂u_ϕ

∂ϕ −u_r r²

¶ + ρfr

ρ µ∂u_ϕ

∂t + ur

∂u_ϕ

∂r +u_ϕ r

∂u_ϕ

∂ϕ + uz

∂u_ϕ

∂z +u_ru_ϕ r

¶

= −1 r

∂p

∂ϕ+ µ

µ∂²u_ϕ

∂r² + 1 r²

∂²u_ϕ

∂ϕ² +∂²u_ϕ

∂z² + 1 r

∂u_ϕ

∂r + 2 r²

∂u_r

∂ϕ −u_ϕ r²

¶ + ρf_ϕ

ρ µ∂uz

∂t + u_r∂uz

∂r + uϕ

r

∂uz

∂ϕ + u_z∂uz

∂z

¶

= −∂p

∂ϕ+ µ

µ∂²u_z

∂r² + 1 r²

∂²u_z

∂ϕ² + ∂²u_z

∂z² +1 r

∂u_z

∂r

¶ + ρf_z

V pˇr´ıpadˇe vlastn´ıho výpoˇcetn´ıho programu se Lorentzovy s´ıly definované v cylin- drickém souˇradném systému pˇrevedou do kartézského souˇradného systému dle po- mocných vztah˚u definovaných v 2.10.

f_x = f_rcos (ϕ) − f_ϕsin (ϕ) , f_y = f_rsin (ϕ) + f_ϕcos (ϕ) , , f_z = f_z (2.10)

Geometrické vztahy je moˇzné nahradit délkovými rozmˇery dle závislosti cos (ϕ) = x/r a sin (ϕ) = y/r. Pro pˇr´ıpad rotuj´ıc´ıho magnetickeho pole bude silový úˇcinek v azi- mutáln´ım smˇeru rozloˇzen do sloˇzek x a y. Naopak silový úˇcinek translaˇcn´ıho magnetické pole p˚usob´ı pouze ve smˇeru z. Odvozen´ı a pˇresná definice jednotlivých Lorentzových sil pro oba typy magnetického pole lze nalézt v následuj´ıc´ıch sekc´ıch této kapitoly.

2.2 Z´ akladn´ı rovnice magnetohydrodynamiky

V této sekci jsou shrnuty základn´ı urˇcuj´ıc´ı rovnice pouˇz´ıvané v magnetohydrodynamice.

Mezi tyto základn´ı rovnice patˇr´ı Maxwell-Amperova rovnice, jej´ıˇz redukovaná forma je dána rovnic´ı 2.11.

(21)

Z´akladn´ı rovnice magnetohydrodynamiky 11

∇ × B = µ_mJ, ∇ · J = 0 (2.11)

V rovnici 2.11 oznaˇcuje B magnetickou indukci, J je hustota indukovaného proudu a µm je magnetická permeabilita materiálu. Dalˇs´ı d˚uleˇzitou rovnic´ı je tzv. Faradayova rovnice, která je definovaná vztahem 2.12.

∇ × A = −∂B

∂t , ∇ · B = 0 (2.12)

V této rovnici pˇredstavuje A tzv. elektrický potenciál, který je urˇcen ˇcasovou zmˇenou magnetického pole. Na základˇe Faradayovy rovnice lze tak spoˇc´ıtat tento elek- trický potenciál, který je pak zapotˇreb´ı pro ˇreˇsen´ı Ohmovy rovnice definované vztahem 2.13.

J = σ (A + u × B) , F = J × B (2.13)

Pomoc´ı vztahu 2.13 (vlevo) se urˇc´ı hustota indukovaného proudu J, která je dána nejen magnetickým polem prostˇrednictv´ım elektrického potenciálu A, ale i samotným magneticky buzeným proudˇen´ım zastoupeným výrazem u × B. Vztah 2.13 (vpravo) pak definuje tzv. Lorentzovy s´ıly, které vyjadˇruj´ı silový úˇcinek magnetického pole na vodivou tekutinu.

∂B

∂t = ∇ × (u × B) + 1

µ_mσ∇²B (2.14)

Problém definice matematického modelu v MHD je dán skuteˇcnost´ı, ˇze magnetické pole vyvolává proudˇen´ı tekutiny, které pak zpˇetnˇe ovlivˇnuje p˚uvodn´ı magnetické pole.

Tato závislost je dána rovnic´ı 2.14 odvozené na základˇe vztah˚u 2.12 a 2.13. Ve vztahu 2.14 oznaˇcuje σ elektrickou vodivost materiálu. Jak ukáˇze dalˇs´ı kapitola, ve vˇetˇsinˇe numerických studi´ı proudˇen´ı v metalurgii lze provést výrazné zjednoduˇsen´ı takto kom- plikovaného spojen´ı pohybu tekutiny a magnetického pole prostˇrednictv´ım Maxwellovy rovnice.

(22)

Základn´ı rovnice a vztahy pro malé hodnoty magnetického Reynoldsova ˇc´ısla 12

2.3 Z´ akladn´ı rovnice a vztahy pro mal´ e hodnoty magnetick´ eho Reynoldsova ˇ c´ısla

Základn´ı rovnic´ı magnetohydrodynamiky je tzv. Maxwellova rovnice, prostˇrednictv´ım které se ˇreˇs´ı vztah mezi magnetickým polem a pohybem vodivé tekutiny a obrácenˇe.

Reˇsen´ı Maxwellovy rovnice je relativnˇe sloˇzité, ovˇsem jak se dá dále prokázat, v bˇeˇznýchˇ technických aplikac´ıch lze nutnost ˇreˇsen´ı Maxwellovy rovnice obej´ıt. Teorii, která to umoˇzˇnuje, se ˇr´ıká MHD aproximace pro malé hodnoty magnetického Reynoldsovo ˇc´ısla 2.15.

Rm = µmσul ¿ 1 (2.15)

Vˇetˇsina technických aplikac´ı v pr˚umyslu a v laboratorn´ıch podm´ınkách pracuje s maximáln´ımi rychlostmi magneticky buzeného proudˇen´ı u ≈ 0.001 − 0.1^m_s, magnetická permeabilita vˇetˇsiny uvaˇzovaných materiál˚u dosahuje ˇrádu 10^{−7 kg m}_s2A², elektrická vodivost je v ˇrádu 10^{6 s}_{kg m}³Â²3 a délkové rozmˇery se pohybuj´ı v rozmez´ı 0.01−0.1m. Magnetické Reynoldsovo ˇc´ıslo se pak pohybuje v rozmez´ı 10⁻³−10⁻⁶. Jak je patrné, podm´ınka velmi malé hodnoty magnetického Reynoldsova ˇc´ısla je vˇzdy dodrˇzena ve vˇetˇsinˇe technických aplikac´ı a lze proto pro tyto typické problémy odvodit zjednoduˇsený matematický model.

Nejprve pˇredpokládáme stacionárn´ı magnetické pole, které p˚usob´ı na vodivou tekutinu, která se ovˇsem nepohybuje u = 0. Za tˇechto podm´ınek oznaˇc´ıme indukci mag- netického pole B₀, elektrický potenciál A₀ a hustotu indukovaného proudu J₀. Jako druhý pˇr´ıpad se pˇredpokládá, ˇze se tekutina pohybuje a d˚usledkem tohoto pohybu docház´ı k naruˇsen´ı magnetického pole. Nové magnetické pole indukované pohybem tekutiny je velmi slabé v porovnán´ı k p˚uvodn´ımu magnetickému poli a tato tzv. fluktuace magnetického pole se oznaˇc´ı jako b, elektrický potenciál a a hustota indukovaného proudu j. Základn´ı rovnice pro oba pˇr´ıpady jsou dány vztahy 2.16 - 2.19.

∇ × A0 = 0 (2.16)

J₀ = σA₀ (2.17)

(23)

Základn´ı rovnice a vztahy pro malé hodnoty magnetického Reynoldsova ˇc´ısla 13

∇ × a = −∂b

∂t (2.18)

j = σ (a + u × B₀) (2.19)

V rovnici 2.19 se zanedbal výraz druhého ˇrádu u × b. Faradayova rovnice udává, ˇze fluktuace elektrického potenciálu je definovaná jako a ∼ ub a tak oscilace elektrického pole mohou být v rovnici 2.19 rovnˇeˇz zanedbány. Známý Ohm˚uv zákon pak bude s ohledem na zde uvedené zjednoduˇsen´ı definován vztahem 2.20.

J = J₀+ j = σ (A₀+ u × B₀) (2.20)

Elektrický potenciál A₀m˚uˇze být nahrazen gradientem elektrostatického potenciálu

−∇φ. Ohm˚uv zákon ze vztahu 2.20 lze pak pomoc´ı elektrostatického potenciálu pˇrepsat na tvar 2.21.

J = σ (−∇φ + u × B₀) (2.21)

Definice Lorentzov´ych sil na jednotku objemu jsou d´any vztahem 2.22.

F = J × B₀ (2.22)

Jak je moˇzné pozorovat ze vztahu 2.21 a 2.22, Lorentzovy s´ıly jsou nezavislé na b a v pˇr´ıpadˇe malých hodnot magnetických Reynoldsových ˇc´ısel plat´ı, ˇze vliv pohybu vodivé tekutiny nemá skoro ˇzádný vliv na magnetické pole a tud´ıˇz pouze p˚usoben´ı magnetického pole na vodivé tekutiny je jediný významný fakt MHD aproximace.

Tato skuteˇcnost má nesm´ırný význam pro sestaven´ı matematického modelu rozloˇzen´ı Lorentzových sil, pro kterou nen´ı zapotˇreb´ı poˇc´ıtat Maxwellovu rovnici. T´ım se výpoˇcet výraznˇe zjednoduˇsuje a pˇribliˇzuje se tak praktickému vyuˇzit´ı s ohledem na kapacity souˇcasných výpoˇcetn´ıch stanic. Jak bude dále prezentováno, lze vˇetˇsinu Lorentzových sil definovat pomoc´ı analytických vztah˚u, které vˇzdy vycházej´ı z rovnic definovaných výˇse.

(24)

Rotuj´ıc´ı magnetick´e pole 14

2.4 Rotuj´ıc´ı magnetick´ e pole

Problematika rotuj´ıc´ıho magnetického pole a jeho úˇcinku pro laminárn´ı stabiln´ı a turbulentn´ı nestabiln´ı proudˇen´ı v elektricky vodivé tekutinˇe bylo tématem disertaˇcn´ı práce Fraˇna [21]. V rámci následuj´ıc´ı kapitoly jsou prezentovány pouze nezbytnˇe nutné in- formace pro pochopen´ı studie provedené v rámci této publikace. V pˇr´ıpadˇe dalˇs´ıho zájmu lze odkázat právˇe na citovanou práci.

Obrázek 2.1: Schéma p˚usoben´ı rotuj´ıc´ıho magnetického pole.

Magnetické rotuj´ıc´ı pole RMP s magnetickou indukc´ı B₀ rotuje s konstantn´ı frek- venc´ı ω ve válcové nádobˇe s pr˚umˇerem R a výˇskou H. Uvnitˇr válce se nacház´ı elektricky vodivá tekutina s koeficientem elektrické vodivosti σ. Stˇeny nádoby se uvaˇzuj´ı za elek- tricky dokonale izolované. P˚usoben´ım magnetického pole se vyvolává pohyb tekutiny,

(25)

Rotuj´ıc´ı magnetick´e pole 15

jehoˇz hlavn´ı sloˇzka je v azimutáln´ım smˇeru. D˚usledkem silové nerovnováhy vzniká kromˇe hlavn´ıho rotuj´ıc´ıho azimutáln´ıho proudˇen´ı rovnˇeˇz mnohem slabˇs´ı sekundárn´ı proudˇen´ı, které p˚usob´ı ve vertikáln´ım smˇeru proti gravitaˇcn´ı s´ıle. Tento pohyb je ve skuteˇcnosti nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı, nebot’ zajiˇst’uje transport hmoty v celém objemu válce a tak pˇrisp´ıvá k vyrovnán´ı teplotn´ıch rozd´ıl˚u v rámci celého objemu. Bohuˇzel sekundárn´ı proudˇen´ı je v porovnán´ı k hlavn´ımu proudˇen´ı velmi slabé, a proto je zapotˇreb´ı pouˇz´ıt velmi silnou intenzitu magnetického pole, aby doˇslo k vybuzen´ı dostateˇcnˇe silného sekundárn´ıho proudˇen´ı. Na druhou stranu velmi silné magnetické pole vyvolá turbulentn´ı reˇzim proudˇen´ı, které pˇrináˇs´ı oscilace do rychlostn´ıho pole a zp˚usobuje napˇr.

nehomogenn´ı rozloˇzen´ı teplotn´ıho pole. Aby se pˇresnˇe vymezily podm´ınky pouˇzit´ı rotuj´ıc´ıho magnetického pole, je nutné znát kritickou hodnotu Taylorova ˇc´ısla. Tomuto konkrétn´ımu problému se vˇenuje kapitola 3, která pojednává právˇe o vzniku lineárn´ıch nestabilit v toc´ıch vyvolaných magnetickým polem.

2.4.1 Matematick´ y model RMP

Rotuj´ıc´ı magnetické pole je definováno vztahem 2.23, kde B₀ je absolutn´ı hodnota magnetické indukce, ω je frekvence rotuj´ıc´ıho magnetického pole.

B = B₀[cos(ϕ − ωt)e_r+ sin(ϕ − ωt)e_ϕ] (2.23)

Definice magnetických extern´ıch sil je odvozena od základn´ıch vztah˚u definovaných v pˇredeˇslých kapitolách, ovˇsem z praktického hlediska se pro definici tˇechto uˇz´ıvá ana- lytický vztah, jehoˇz forma je uvedena vztahem 2.24.

fL = 1

2σωB02r[1 −R r

X∞ k=1

2J1(λkr/R)cosh(λkz/R)

(λ²_k− 1)J₁(λ_k)cosh(λ_kH/2R)]eϕ (2.24)

Jk pˇredstavuje Besselovu funkci prvn´ıho typu a k-tého ˇrádu a λk je koˇren urˇcený λkJ0(λk) − J1(λk) = 0. Takto lze za urˇcitých podm´ınek (malá magnetická indukce a malá frekvence rotuj´ıc´ıho magnetického pole) definovat rozloˇzen´ı indukovaných sil, které odpov´ıdá ve skuteˇcnosti sloˇzitým rovnic´ım definovaných v rámci kapitoly ’Ma- tematický model pro malé hodnoty magnetického Reynoldsova ˇc´ısla’. Pˇresné odvozen´ı

(26)

Translaˇcn´ı magnetick´e pole (TMP) 16

zde zm´ınˇeného analytického vztahu 2.24 je moˇzné nalézt v literatuˇre Gorbatchev [10].

Tm = σωB₀²R⁴

2ρν (2.25)

Stav proudˇen´ı je popsán velikost´ı magnetického Taylorova ˇc´ısla, jehoˇz definice je dána dle vztahu 2.25.

2.5 Translaˇ cn´ı magnetick´ e pole (TMP)

Translaˇcn´ı magnetické pole (TMP) p˚usob´ı s absolutn´ı hodnotou magnetické indukce B₀, s vlnovým ˇc´ıslem a a s frekvenc´ı pohybu magnetického pole ω na vodivou tekutinu uvnitˇr nádoby. Stˇeny nádoby se uvaˇzuj´ı za elektricky dokonale izolované.

Obrázek 2.2: Schéma p˚usoben´ı translaˇcn´ıho magnetického pole.

(27)

Na obrázku 2.2 je znázornˇeno p˚usoben´ı translaˇcn´ıho magnetického pole na teku- tinu uvnitˇr válcové nádoby o polomˇeru R a koneˇcné výˇsky H s urˇcuj´ıc´ım parametrem Z = R/2H. V d˚usledku p˚usoben´ı magnetického pole na elektricky vodivý materiál (σ) vzniká ve válcové nádobˇe proudˇen´ı ve vertikáln´ım smˇeru tvoˇrené dvˇema v´ıry ve formˇe dvou anuloid˚u viz. 2.2. Výhodou TMP je moˇznost vyvolat proudˇen´ı pˇr´ımo ve smˇeru p˚usoben´ı gravitaˇcn´ı s´ıly. Oproti rotuj´ıc´ımu magnetickému poli, kdy proudˇen´ı ve smˇeru p˚usoben´ı rotace pˇredstavuje slabˇs´ı sekundárn´ı proudˇen´ı, je moˇzné pomoc´ı TMP vyvolat relativnˇe intenzivn´ı rychlostn´ı pole v tomto smˇeru. To pˇredurˇcuje pouˇz´ıt toto magnetické pole u mnoha technických aplikac´ıch spojených se stabilizac´ı proudˇen´ı napˇr. v oblasti krystalizace materiál˚u ˇci výroby monokrystalu.

2.5.1 Souˇ casn´ y stav znalost´ı v oblasti aplikac´ı TMP

Zat´ımco proudˇen´ı dané rotuj´ıc´ım magnetickým polem bylo jak experimentálnˇe, tak i numericky d˚ukladnˇe studováno, translaˇcn´ı magnetické pole se dostalo do zájmu vˇedy aˇz v posledn´ıch letech. Toto magnetické pole se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá jako elektromagne- tický generátor pro pohyb elektricky vodivých tekutin. Jedna ze základn´ıch studi´ı je 2D numerická studie matematického modelu pro translaˇcn´ı magnetické pole v aplikaci generátoru a elektromagnetické pumpy Kamiyama [22]. V rámci tématu této práce je vˇetˇs´ı pozornost vˇenována aplikaci TMP v metalurgii. V práci Ramachandrana [24] je uskuteˇcnˇena studie stabiln´ıho a nestabiln´ıho reˇzimu proudˇen´ı generovaného translaˇcn´ım magnetickým polem. Z výsledk˚u práce vyplývá podstatný závˇer a to, ˇze tento druh magnetického pole je velmi atraktivn´ı pro r˚ust krystal˚u a jejich tvar˚u.

Nav´ıc intenzita TMP ovlivˇnuje výraznˇe také zmˇeny v dynamice krystalizace. Expe- rimenty dále prokázaly, ˇze rovnˇeˇz jako u RMP i u TMP existuj´ı kritické hodnoty, pˇri jejichˇz pˇrekroˇcen´ı vzniká nestacionárn´ı pˇrechodové proudˇen´ı. V rychlostn´ım poli se zaˇc´ınaj´ı objevovat oscilace, které nejsou ˇzádouc´ı pro aplikace vyˇzaduj´ıc´ı právˇe ho- mogenn´ı prostˇred´ı. Stanoven´ı kritické hodnoty kriteriáln´ıho ˇc´ısla je tak podstatné pro vymezen´ı oblasti aplikovatelnosti translaˇcn´ıho magnetického pole. Problém pˇresné identifikace vzniku prvn´ıch lineárn´ıch nestabilit v proudˇen´ı je zpracováno v publikaci Grantse a Gerbetha [16] a Gelfgata [40]. V´ıce na toto téma lze nalézt pozdˇeji v kapitole lineárn´ı a nelineárn´ı nestability. TMP lze také úspˇeˇsnˇe pouˇz´ıt pro Bridg- manovu technologii krystalizace materiálu. Detaily studie je moˇzné nalézt v literatuˇre Yesilyurta [34], kde je problém úˇcinku translaˇcn´ıho magnetického pole ve spojen´ı s pˇrirozenou konvekc´ı zpracován numericky i experimentálnˇe.

(28)

2.5.2 Matematick´ y model TMP

Matematický model translaˇcn´ıho magnetického pole je sloˇzitˇejˇs´ı, neˇz je tomu u rotuj´ıc´ıho magnetického pole. V souˇcasné dobˇe existuje nˇekolik variant, pˇriˇcemˇz jak bude ukázáno pozdˇeji, za urˇcitých okolnost´ı a zjednoduˇsen´ı vedou vˇsechny tyto varianty k jedné spoleˇcné formulaci rozloˇzen´ı extern´ıch sil vznikaj´ıc´ıch v d˚usledku p˚usoben´ı mag- netického pole na vodivé materiály.

Pohybuj´ıc´ı se magnetické pole ve vertikáln´ım smˇeru je popsáno obecnˇe vektorovým potenciálem A ve vztahu 2.26.

A = A(r)sin(ωt − a_mz)e_ϕ (2.26)

Frekvence translaˇcn´ıho magnetického pole je oznaˇcena jako ω a a_m je v tomto pˇr´ıpadˇe vlnové ˇc´ıslo. ˇReˇsen´ı vztahu 2.26 pro pˇr´ıpad válcové nádoby koneˇcných rozmˇer˚u je stejné jako analytické ˇreˇsen´ı (2.27) rozloˇzen´ı extern´ıch sil vznikaj´ıc´ıch p˚usoben´ım magnetického pole ve vodivém materiálu.

f_ϕ = 0 (2.27)

f_r = F_tIm [J1(βr)J0(βr)]

|J₀(β)|² f_z = F_ta_m|J₁(βr)|²

|J₀(β)|²

Ve vztahu 2.27 pˇredstavuje F_t amplitudu, která je dále definovaná ve vztahu 2.28 a parametr β je definován jako β = p

a²_m+ iγ. Parametr γ je popsán vztahem γ = σωµmR², kde σ je elektrická vodivost materiálu a µm magnetická permeabilita.

F_t = A²₀

µσωR² 2ρν²

¶

(2.28)

Magnetické pole bud´ı extern´ı s´ıly ve vodivé tekutinˇe, jejichˇz sloˇzky jsou dány vztahem 2.27. Azimutáln´ı sloˇzka s´ıly je nulové hodnoty, radiáln´ı sloˇzka pˇredstavuje po- tenciál, který neovlivˇnuje rychlostn´ı pole tekutiny a tud´ıˇz ji lze pro výpoˇcet pohybu

(29)

tekutiny zanedbat. Pro námi uvaˇzovaný výpoˇcet je tak rozhoduj´ıc´ı pouze axiáln´ı sloˇzka s´ıly, kterou je moˇzné dále zjednoduˇsit. Vlnové ˇc´ıslo a_m lze definovat jako a_m= 2πR/L, kde L je vlnová délka. Z praktického hlediska je moˇzné povaˇzovat hodnotu a_m ≈ 1 a γ ≈ 1. T´ımto zp˚usobem se zjednoduˇs´ı vztah pro axiáln´ı sloˇzku z rovnice 2.27.

fz = Ftam|β|²r²

4 (2.29)

Vztah 2.29 lze jeˇstˇe dále upravit zahrnut´ım vztahu 2.28, takˇze koneˇcná forma pro extern´ı s´ıly buzené magnetickým translaˇcn´ım polem je definována vztahem 2.30.

f_L = B₀²σωa_m

8 r²e_z (2.30)

Ve vztahu 2.30 oznaˇcuje B₀ absolutn´ı magnetickou indukci. Jak dále ukazuje vztah 2.30, je rozloˇzen´ı extern´ıch sil dáno kvadratickou zmˇenou radiáln´ı vzdálenosti. Toto ana- lytické ˇreˇsen´ı bylo pouˇzito v prac´ıch Grantse a Gerbetha [16]. V práci Gelfgata [40]. Ramachandran [24] byla zveˇrejnˇena jiná forma analytického ˇreˇsen´ı extern´ıch sil 2.31.

f = −e_rσu_r< B_z² > −e_zσ µ

u_z− ω am

¶

< B_r² > (2.31)

Rovnici 2.31 je moˇzné dále zjednoduˇsit za pˇredpokladu, ˇze vliv indukovaného pohybu tekutiny na magnetické pole bude zanedbatelný v˚uˇci vlivu magnetického pole na tekutinu. Tomuto pˇredpokladu odpov´ıdá vˇetˇsina technických problém˚u, které se ˇreˇs´ı.

Za pˇredpokladu uváˇzen´ı tohoto zjednoduˇsen´ı je moˇzné vztah 2.31 dále zjednoduˇsit.

f_z = σ ω

a_m < B_r² > (2.32)

Parametr < B_r² > je definov´an dle vztahu 2.33.

< B_r² >= 1

2B₀²I₁²(a_mr) (2.33)

(30)

Vztah 2.33 je nutné dále upravit za stejných podm´ınek jako v pˇredchoz´ım odvozen´ı.

Velikost vlnového ˇc´ısla je bl´ızká k 1, takˇze a_m ≈ 1. Za tˇechto podm´ınek je moˇzné formu vztahu 2.33 upravit do nové podoby, takˇze výraz pro extern´ı s´ılu 2.32 lze napsat ve tvaru 2.34.

fL = 1

8B₀²σωamr²ez (2.34)

Jak dokazuje vztah 2.34 odvozený na základˇe vztahu 2.31 je moˇzné povaˇzovat základn´ı analytický vztah autor˚u Grantse a Gerbetha [16], Gelfgata [40] a Ra- machandrana [24] za totoˇzný. Jak ale ukazuje práce Gelfgata [40], pr˚ubˇeh rozloˇzen´ı Lorentzových sil se výraznˇe zmˇen´ı, jakmile se bude pˇredpokládat, ˇze vlnové ˇc´ıslo ne- bude a ≈ 1. Pro hodnoty a À 1 je nutné pro výpoˇcet extern´ıch sil uvaˇzovat vztah 2.31.

V rámci numerické simulace proudˇen´ı s úˇcinkem p˚usoben´ı translaˇcn´ıho magne- tického pole bude pouˇzit identický vztah pro definici rozloˇzen´ı extern´ıch sil 2.30 nebo 2.34. T´ımto zp˚usobem se nab´ız´ı také moˇznost porovnat souˇcasné publikované výsledky s vlastn´ımi výsledky a tak prokázat jejich správnost. K popisu stavu proudˇen´ı ge- nerované translaˇcn´ım magnetickým polem se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá tzv. kriteriáln´ı ˇc´ıslo oznaˇcené jako F , které je definováno ve vztahu 2.35

F = σωB₀²a_mR⁵

4ρν² (2.35)

Kriteriáln´ı ˇc´ıslo F má obdobné pouˇzit´ı jako Taylorovo ˇc´ıslo, které se bˇeˇznˇe pouˇz´ıvá v souvislosti s rotuj´ıc´ım magnetickým polem. Definice kriteriáln´ıho ˇc´ısla F se formuluje na základˇe extern´ıch sil pro translaˇcn´ı magnetické pole. Tato formulace kriteriáln´ıho ˇc´ısla byla pouˇzita v literatuˇre Grantse a Gerbetha [16]

2.5.3 Verifikace matematick´ eho modelu TMP

K verifikaci matematického modelu pro TMP je moˇzné vyuˇz´ıt dosavadn´ı znalosti o vývoji maximáln´ıch hodnot radiáln´ı a axiáln´ı sloˇzky rychlosti v oblasti axisymetrického proudˇen´ı definovaného malými hodnotami kriteriáln´ıho ˇc´ısla F.

(31)

F max(u r)amax(u z)

10² 10³ 10⁴ 10⁵

10⁰ 10¹ 10² 10³

0.0035F max(u_z) max(u_r) Fluent max(u_z) Fluent max(u_r)

Obrázek 2.3: Vývoj maximáln´ıch hodnot radiáln´ı a axiáln´ı sloˇzky rychlosti.

Dle práce Grantse a Gerbetha [16] je vývoj maximáln´ıch hodnot radiáln´ı a axiáln´ı sloˇzky rychlosti definován závislost´ı 0.0035F . Obrázek 2.3 zobrazuje vývoj ma- ximáln´ıch hodnot radiáln´ı a axiáln´ı sloˇzky rychlosti magneticky buzeného proudˇen´ı, pˇriˇcemˇz jednoznaˇcnˇe ukazuje velmi dobrou shodu výsledk˚u vlastn´ıho výpoˇctu s teori´ı Grantse a Gerbetha [16]. Vzhledem k tomu, ˇze je ale moˇzné pozorovat i malé odchylky od teoretického pr˚ubˇehu zejména pro velmi malé ˇci velké hodnoty kriteriáln´ıho ˇc´ısla, byly výsledky porovnány jeˇstˇe s výpoˇctem uskuteˇcnˇeným pomoc´ı komerˇcn´ıho programu Fluent. I v pˇr´ıpadˇe výsledk˚u pomoc´ı komerˇcn´ıho programu Fluent existuj´ı patrné odchylky pr˚ubˇehu maximáln´ıch hodnot radiáln´ı a axiáln´ı sloˇzky rychlosti od teorie Grantse a Gerbetha [16] a naopak tytéˇz výsledky potvrzuj´ı velmi dobrou shodu s výpoˇctem realizovaným pomoc´ı vlastn´ıho programu. Jak ukazuj´ı samotné výpoˇcty Grantse a Gerbetha [16] teoretický pr˚ubˇeh 0.0035F odpov´ıdá pouze pˇribliˇznˇe a v pˇr´ıpadˇe jejich výpoˇct˚u existuj´ı rovnˇeˇz patrné odchylky od tohoto teoretického pr˚ubˇehu.

(32)

2.5.4 V´ ysledky numerick´ e simulace proudˇ en´ı vyvolan´ eho TMP

Pro oblast malých hodnot kriteriáln´ıho ˇc´ısla F je magneticky generované proudˇen´ı osovˇe symetrické a v proudˇen´ı nevznikaj´ı ˇzádné oscilace v rychlostn´ım poli. Z hlediska aplikace je tento klidný stav proudˇen´ı nejvýhodnˇejˇs´ı, nebot’ rovnomˇernˇe rozloˇzené rychlostn´ı pole pˇrisp´ıvá k rovnomˇernému rozloˇzen´ı teplot, coˇz se pozitivnˇe odraz´ı v procesu tuhnut´ı materiálu v technologických procesech zpracován´ı kov˚u.

R

H

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

0.9 0.84 0.78 0.72 0.66 0.6 0.54 0.48 0.42 0.36 0.3 0.24 0.18 0.12 0.06 0 u* = 1

F = 1 × 10²

R

H

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

62 58 54 50 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10 6 2 u = 100

F = 1 × 10⁴

R

H

-1 -0.5 0 0.5 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

262 245.2 228.4 211.6 194.8 178 161.2 144.4 127.6 110.8 94 77.2 60.4 43.6 26.8 10 u* = 300

F = 1 × 10⁵

Obr´azek 2.4: Zn´azornˇen´ı rychlostn´ıho pole v ˇrezu r-z

(33)

Na obrázku 2.4 je ve vertikáln´ım ˇrezu r-z zobrazeno okamˇzité rychlostn´ı pole v bezdimenzionáln´ı formˇe u^∗ = uR/ν. Ponˇevadˇz je proudˇen´ı osovˇe symetrické, je hlavn´ı vertikáln´ı pohyb tekutiny zobrazen na levé stranˇe vertikáln´ıho ˇrezu nádobou pomoc´ı vektorového pole, zat´ımco na pravé stranˇe je vykresleno okamˇzité rychlostn´ı pole pomoc´ı izoˇcar (rychlostn´ı pole u dalˇs´ıch hodnot F jsou znázornˇeny v pˇr´ıloze na obr. 5.3). Z obrázk˚u dále vyplývá, ˇze se vzr˚ustaj´ıc´ı hodnotou F se mˇen´ı výraznˇe rozloˇzen´ı rychlosti.

V pˇr´ıpadˇe velmi malých hodnot F (≈ 1 × 10²) vzniká v proudˇen´ı dominantn´ı v´ır, jehoˇz stˇred se nacház´ı v polovinˇe polomˇeru a výˇsky nádoby. Tento stˇred v´ır˚u se postupnˇe posouvá smˇerem ke dnu nádoby s t´ım, jak se zvyˇsuje intenzita magnetického pole.

Dále docház´ı k r˚ustu intenzity rychlostn´ıho pole, pˇriˇcemˇz pˇri vyˇsˇs´ıch hodnotách F se jiˇz vytváˇr´ı tenká mezn´ı vrstva na dnu a na vertikáln´ı stˇenˇe do 1/3H. Jak je dále patrné z obrázku 2.4, v pˇr´ıpadˇe vyˇsˇs´ı hodnoty F je intenzita proudˇen´ı výraznˇe vyˇsˇs´ı v oblasti od dna do 1/3 výˇsky nádoby, kde existuje velmi silný v´ır, který napomáhá zes´ılen´ı transportu hmoty. Na druhou stranu ovˇsem docház´ı k zeslaben´ı úˇcinku proudˇen´ı ve zbylé ˇcásti nádoby, coˇz se prakticky projev´ı zhorˇsen´ım intenzity prom´ıcháván´ı tekutiny a t´ım i docház´ı k nerovnomˇernému rozloˇzen´ı teplotn´ıho pole. V pˇr´ıpadˇe tuhnut´ı ma- teriálu se m˚uˇze oˇcekávat, ˇze vzniklá struktura materiálu bude nehomogenn´ı obzvláˇstˇe v horn´ı ˇcásti nádoby.