y xy  cos(3)( )()(  x  SF F1676, Dif fferentialT ekvationeTentamen er med tiln llämpning gar

M

M

SF1676, 

Institutio

Måndag Skrivtid Examin För go tre frågo som har nedan. D möjligh Del II (respekt Hjälpm Handbo OBS: F som är l

Modul 1. I d a) Bestä

b) Bestä ) 0

( 

y

c) Best som upp Modul 2. I d

a) Funk

Bestäm

tentamen 29

onen för mate

SF

odkänt (bety or. För att b r godkänd m Den som ha het att komp I är avsedd tive B, C, D medel: Det e ook av Råde För full poän

lätta att följ

denna uppg äm kritiska äm den lösn

2 1 . täm den lös pfyller (y

denna uppg ktionen y  ekvationen

9 maj 2017 

ematik, KTH

F1676, Dif

an Bjerklöv yg E) krävs bli godkänd modul från k ar två godkä plettera.

för högre b D) krävs 3 g enda hjälpm e och Weste ng krävs ful a. Markera

ift är a), b) punkter till ning till diff

sning till dif 2 ) 0  .

ift är a), b) x är en lös

ns allmänna

fferential T

v

tre godkän på modulen kontrollskriv ända module betyg. Varje

odkända mo medlet vid te

ergren.

llständiga, ty dina svar ty

och c) obe l ekvationen ferentialekv

fferentialekv

och c) obe ning till dif

lösning.

Sida 1 av 3 

ekvatione Tentamen

nda moduler n krävs rätt vning behöv er, från kon e uppgift i d oduler samt entamen är f ydligt prese ydligt. Samt

Del I eroende av v n y y² vationen y 

vationen y

eroende av v fferentialekv

er med til n

r från del I.

svar på min ver inte gör ntrollskrivni del II ger ma t 15 (respek formelsamli enterade och tliga svar sk

varandra.

y

3 . Bestäm

2 1

6x 



cos(

3 ) ( x y 

varandra.

vationen yx

llämpning

Varje modu nst två av de ra motsvaran

ng eller ten aximalt 4 po ktive 11, 7, 3

ingen BETA h väl motive ka vara på r

m punkterna y2

 som u

) ( )

(x y x 

2  2

 y x y

gar

uluppgift be essa frågor.

ande modulu ntamen, har

oäng. För be 3) poäng på A: Mathema erade lösnin reell form.

as stabilitet.

uppfyller

) cos(

2 x    

0

y ,

estår av Den uppgift

etyg A å del II.

atics ngar

0 x .

SF1676, tentamen 29 maj 2017 

Sida 2 av 3   

b) Använd matrismetoden för att lösa följande ekvationssystem

. 3

3 y x y

y x x











c) Vi betraktar systemet

. ) 1 2 ( 1

2

y x

y

y x













För vilka värden på parametern  är kritiska punkten (0,0) en stabil nod?

Modul 3. I denna uppgift är a), b) och c) oberoende av varandra.

a) Använd Laplacetransformer för att lösa följande differentialekvation   3

) 0 ( ), 8 ( ) 2 ( ) ( 4 )

(      

 t y t U t U t y

y ,

där U(t2)och U(t8) är Heavisides stegfunktioner (unit step functions).

b) Låt













 



 t t

t t

f , 0

0 ,

) 0

( , f(t2) f(t).

Bestäm Fourierserien till f(t).

c) Bestäm alla produktlösningar u(x,t) X(x)Y(t) till ekvationen

t t x u x

t x u



 



 ( , ) ( , )

9 ₂

2

.

Del II

4. I denna uppgift är a) och b) oberoende av varandra.

a) (3p) . Differentialekvationen 2 6 0

2 



 y

y x

y x , x0 har två läsningar (behöver inte kontrolleras) y₁(x)x² och y₂(x) x^3. Använd metoden ” variation av parametrar ” för att bestämma en partikulär lösning till ekvationen

y x y x

y 2x 6 4

2 



 , x0.

SF1676, tentamen 29 maj 2017 

Sida 3 av 3   

b) (1p) Bestäm en linjär homogen differentialekvation av andra ordningen som har följande två lösningar: y₁(x)1 och y₂(x)cosx.

5. I denna uppgift är a) , b) och c) oberoende av varandra.

a) (1p) Härled (bevisa) med hjälp av definitionen att Laplacetransformen av funktionen t

t

f( )  är  1₂ ) (s s

F  .

b) (1p) Använd Laplacetransformer för att lösa följande system

. 0 ) 0 ( , 4 ) 0 (

, 3 ) ( ) ( 3

3 ) ( ) (







 

 

 

y x

t t y t x

t y t x

c) (2p) Använd Laplacetransformer för att lösa följande integralekvation

1 ) ( )

( ) (

0







 ^t ^{y t}



y ^   , y(0)0.

6. Använd substitution z(x)arcsin(y(x)) för att lösa följande begynnelsevärdesproblem:

) ( 1 )

( 1 )) ( arcsin(

) 1

( y x y² x x² y² x

x x

y       ,

2 ) 1 1 ( 

y .

7. Lös följande randvärdesproblem :

( , ) ( , ) 0

2 2 2

2 









y y x u x

y x

u , 0 x , 0 y2,

villkor 1: u(0,y)0, för 0 y2 villkor 2: u(,y)0 för alla 0 y2, villkor 3: u(x,0)0 för 0 x , villkor 4: u(x,2) f(x)3 för 0 x .

8. Bestäm en partikulärlösning till differentialekvationen y(t)4y(t) f(t) , där )f(t är följande periodiska funktion

|

| 1 )

(t t

f   ,  t, f(t2) f(t). Lycka till.