M
M
SF1676,
Institutio
Tisdag Skrivtid Examin För go tre frågo som har nedan. D möjligh Del II (respekt Hjälpm Handbo OBS: F som är l
Modul 1.
Vi betra a) Bestä b) Rita e c) (1p) existens Modul 2. I d
a) Funk ) 2 (x 2 Bestäm
tentamen 15
onen för mate
SF
15 aug 2017 d: 8:00-13:0 nator: Kristiaodkänt (bety or. För att b r godkänd m Den som ha het att komp I är avsedd tive B, C, D medel: Det e ook av Råde För full poän
lätta att följ
aktar differe äm alla kriti ekvationens Visa att exa s- och entyd
denna uppg ktionen y 2 (
2y5 x ekvationen
5 aug 2017
ematik, KTH
F1676, Dif
700
an Bjerklöv yg E) krävs bli godkänd modul från k ar två godkä plettera.
för högre b D) krävs 3 g enda hjälpm e och Weste ng krävs ful a. Markera
entialekvatio iska punkter s fasporträtt
akt en lösni dighetssatse
ift är a), b)
2
x är en 5 )
2 y y ns allmänna
fferential T
v
tre godkän på modulen kontrollskriv ända module betyg. Varje
odkända mo medlet vid te
ergren.
llständiga, ty dina svar ty
onen y y r och deras t
ing till ovan en.
och c) obe lösning till 0 , x lösning.
Sida 1 av 4
ekvatione Tentamen
nda moduler n krävs rätt vning behöv er, från kon e uppgift i d oduler samt entamen är f ydligt prese ydligt. Samt
Del I
2
3 2y
y stabilitet
nstående DE
eroende av v l differentia
. 2
er med til n
r från del I.
svar på min ver inte gör ntrollskrivni
del II ger ma t 15 (respek formelsamli
enterade och tliga svar sk
E går genom
varandra.
alekvationen
llämpning
Varje modu nst två av de ra motsvaran ng eller ten
aximalt 4 po ktive 11, 7, 3
ingen BETA
h väl motive ka vara på r
m punkten (2
n
gar
uluppgift be essa frågor.
ande modulu ntamen, har
oäng. För be 3) poäng på A: Mathema
erade lösnin reell form.
2,3). Tips: A estår av
Den uppgift
etyg A å del II.
atics
ngar
Använd
SF1676, tentamen 15 aug 2017
Sida 2 av 4
b) Den allmänna lösningen till ekvationssystemet
y x y
y x x
2 2
ges av x2CDe3t, yCDe3t. Bestäm den allmänna lösningen till systemet
. 1 2
1 2
y x y
y x x
c) Vi betraktar systemet
. 3y x y
y x x
För vilka värden på parametern är kritiska punkten (0,0) en instabil spiral?
Modul 3. I denna uppgift är a), b) och c) oberoende av varandra.
a) Använd Laplacetransformer för att lösa följande differentialekvation
2 ) 0 ( , 24 )
( 2 ) ( 3 ) (
0
t y t
y x dx yy
t
.
(Noll poäng om man inte använder Laplacetransformer utan en annan lösningsmetod.) b) Låt
2 0
, 1
0 2
, ) 3
( t
t t
f , f(t4) f(t).
Bestäm Fourierserien till f(t).
c) Bestäm alla produktlösningar u(x,t) X(x)Y(t) till ekvationen
2 2 2
2 ( , )
4 1 ) , (
t t x u x
t x u
.
SF1676, tentamen 15 aug 2017
Sida 3 av 4
Del II
4. Lös följande ( Bernoullis) differentialekvation
( )
32 1 4
) ) (
(
y x
x x x y
y , y(1)3.
5. I denna uppgift är a) , b) och c) oberoende av varandra.
a) (1p) Härled (bevisa) med hjälp av definitionen att Laplacetransformen av funktionen eat
t
f( ) är
a s s
F 1 )
( .
b) (1p) Bestäm Laplacetransformen av funktionen
. 2
0,
2 1 3t,
1 , 0 )
(
t t t t
f
c) (2p) Använd Laplacetransformer för att lösa följande integralekvation
6 ) ( )
(
0
t
t y t dy , y(0)0.
6. Bestäm alla kritiska punkter och deras typ för följande autonoma system
. 2 2
4
2 2
2
y dt x
dy
y y dt x
dx
7. Lös randvärdesproblemet
t t x u x
t x u
( , ) ( , )
3 2
2
, 0 x4, t0 (ekv1) med följande villkor:
V1: 0
0
xx
u för alla t0 , V2: 0
4
x x
u för alla t0
V3: u(x,0)2x, 0 x4.
SF1676, tentamen 15 aug 2017
Sida 4 av 4
8. Bestäm en kurva K som ges av y f(x)och som uppfyller följande två villkor:
v1) Kurvan går genom punkten (2,0)
v2) För varje punkt P(x,f(x)) på kurvan K gäller |PO||TO|, där T är
skärningspunkten mellan y-axeln och kurvans tangent i punkten P (och O(0,0)).
(Med andra ord: Avståndet från P till origo är lika med avståndet från T till origo. Se figuren nedan.)
|
|
|
|PO TO
Tips: Bestäm en differential ekvation med en obekant f(x), ( eller y(x)) . Ange därefter ekvationen på formen ( )
x G y
y och använd substitutionen x z . y
Lycka till.
