MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp, 2021-03-16 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!
Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Bertil Del A
10 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.
1. Separera 3 y2y' 6x y'. (1p)
Lösningsförslag: Separabel, 3 y2y' 6x y' 6x x 1 3 y2 y C1.
Rätt svarsalternativ: d
a Går ej b 6x x 1 3 y2 y C1
c 6x x 3 y2 y C1 d 6x x 1 3 y2 y C1 e Inget av a till d.
2.Lös differentialekvationen x y' 1 1 y'. (1p)
Lösningsförslag: Separabel, x y' 1 1 y' x 1 y' 2 y x 12 x C1 y 2ln x 1 C1. DSolve x y ' x 1 1 y ' x , y x , x
y x c1 2 log x 1
Rätt svarsalternativ: c a y2 2ln x 1 C1 b y 2ln x C1 c y 2ln x 1 C1 d y 2ln x C1 e Inget av a till d.
3. Lös differentialekvationen x 2 y' xy. (1p)
Lösningsförslag: Separabel, x 2 y' xy y y x 2x x C1 y y 1 x 22 x C1 1
2y2 x 2ln x 2 C1. DSolve x 2 y ' x x
y x
, y x , x
y x 2 c1 x 2 log x 2 ,y x 2 c1 x 2 log x 2
Rätt svarsalternativ: a a y2 2x 4ln x 2 C1 b y2 x2 2ln x 2 C1
c y2 C1x2 x d y2 x2 2ln x C1 e Inget av a till d.
4. Lös differentialekvationen x2 1 y' x y 0. (1p)
Lösningsförslag: Separabel, x2 1 y' x y 1y y x2x1 x C1 u x2 1; ux 2x x 2xu 1y y ux2xu C1
ln y 12ln u C1 ln y 12lnx2 1 C1 2C1 ln C1 2ln y ln x2 1 ln C1 y2 C1x2 1. DSolvex2 1 y ' x x y x 0, y x , x
y x c1 x2 1
Rätt svarsalternativ: d a y2 y x2 C1 b y2 2 y 12x2 C1 c 12y2 y x2 C1 d y2 C1x2 1 e Inget av a till d.
5.Bestäm integrerande faktorn xy' x3 5y. (1p)
Lösningsförslag: Efter division med x har vi en linjär (ODE), y' 5xy x2 med 5x x 5ln x lnx5 x 5.
Rätt svarsalternativ: b a x5 b x 5 c x5 d 5x e Inget av a till d.
6.Lös differentialekvationen y' y 2x. (1p)
Lösningsförslag: Linjär med 1 x x, så x xy x 2x xy 3x x C1 xy 13 3x C1 y 13 2x C1 x. DSolvey ' x y x 2 x, y x , x
y x xc1 2 x
3
Rätt svarsalternativ: e a y 13 2x C1 x b y 13 2x C1 x c y 13 x C1 x d y 12 2x C1 x e Inget av a till d.
7.Lös BVP x y' 2 y 3x 1 ODE
y 2 1 BV . (1p)
Lösningsförslag: Efter division med x får vi en linjär (ODE), y' 2xy 3 1x, och därmed är vi i välkänd terräng. Först en
2
x x 2ln x lnx2 x2, så xx2y x23 1x x2y 3x2 x x C1 x2y x3 21x2 C1 y x 12 Cx12. Till slut fixeras C1 med (BV) y 2 1: 1 2 12 C212 C1 2.
DSolve x y ' x 2 y x 3 x 1, y 2 1 , y x , x Simplify
y x 2
x2 x 1 2
Rätt svarsalternativ: a a y 2x2 x 12 b y x 2 x 21 c y 2x 1 3x 12 d y 3x 1 x 1 e Inget av a till d.
8. Ansätt en partikulärlösning till y'' 4 y ' 3 y 4x2 3. (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4r 3 0 har rötterna r1 3 och r2 1 så vi har homogena lösningen enligt
"Fall 1": yhx C1 3x C2 x. Sedan ypx Ax2 Bx C yhx .
DSolvey ' ' x 4 y ' x 3 y x 4 x2 3, y x , x Expand
y x c1 3 x c2 x 4 x2 3
32 x 9
131 27
Rätt svarsalternativ: c a ypx Ax B b ypx Ax2 B c yp x Ax2 Bx C d ypx Ax2 Bx e Inget av a till d.
9. Bestäm allmänna lösningen till y'' 4 y' x. (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4r 0 har rötterna r1 0, r2 4, så vi har homogena lösningen enligt "Fall 1":
yh x C1 C2 4x. Sedan yp x Ax B yhx ypx Ax2 Bx yh x . Insättning i (ODE): 2A 4 2Ax B x, och identi- fiering av funktionstyper ger x0: 2A 4B 0, x1: 8A 1 A 18, B 161.
DSolve y ' ' x 4 y ' x x, y x , x
y x 1
4c1 4 x c2 x2 8
x 16
Rätt svarsalternativ: b a y x 2x C1cos 2x C2sin 2x 12x b y x C1 4x C2 1
8x2 161 x c y x C1 2x C2 x 1
4x 12 d y x C1 C2x 4x 12x 14 e Inget av a till d.
10. y x 5 3x är en lösning till y'' x 2 y' x k y x 0, där k är en reell konstant. Bestäm den allmänna lösningen. (1p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 2r k 0 har rötterna r1 1 1 k och r2 1 1 k . Tydligen ska en av dem vara lika med 3. Eftersom r1 3 1 k 0 så duger bara r2 3 1 1 k k 3. Då blir r1,2 1 1 3 1 2. Så allmänna lösningen enligt “Fall 1”: y x yh x C1 x C2 3x, eftersom ypx A 0.
DSolve y '' x 2 y ' x 3 y x 0, y x , x
y x c1 3 x c2 x
Rätt svarsalternativ: b a y x C1 x C2 3x b y x C1 x C2 3x
Del B
10 poäng med fokus på modellering och Mathematica.
11.Tomtegröt som satts att svalna följer Newtons avsvalningslag.
Denna säger att om temperaturen är T t C i gröten vid tiden t, så är ändringshastigheten av T t proportionell mot skillnaden mellan temperaturen 25 C i stugan och aktuell temperatur i gröten med proportionalitetskonstanten k. Formulera och lös BVP som bestämmer T t om T 0 100 C. 1p
Lösningsförslag: Så småningom njutbar temperatur
TAvt DSolve T ' t k 25 T t , T 0 100 , T t , t Simplify
T t 25 75 k t
Rätt svarsalternativ: b
a TAvt DSolve T ' t k 25 T t , T 0 100, T t , t
b TAvt DSolve T ' t k 25 T t , T 0 100 , T t , t
c TAvt DSolve T ' t 25 k T t , T 0 100 , T t , t
d TAvt DSolve T ' t k 25 T t , T 0 100 , T t
e Inget av a till d.
12.På Ön kan det som mest finnas 1000 kaniner. Ökningen av antalet kaniner k t per tidsenhet är proportionell medΑmot det aktuella antalet kaniner och skillnaden mellan maximala antalet och det aktuella antalet. Formulera och lös BVP som bestämmer k t om k 0 2. 1p
Lösningsförslag: Visst blir det flera!
kAvt DSolve k ' t Α k t 1000 k t , k 0 2 , k t , t
k t 1000 1000 t 499 1000 t
Rätt svarsalternativ: c
a kAvt DSolve k ' t 1000 Α k t , k 0 2, k t , t
b kAvt DSolve k ' t k t 1000 Α k t , k 0 2 , k t
c kAvt DSolve k ' t Α k t 1000 k t , k 0 2 , k t , t
d kAvt DSolve k ' t Α k t 1000 k t , k 0 2, k t , t
e Inget av a till d.
13̅15.Vattnet i en musselodling har blivit förorenat med giftet PCB. En mussla tar upp 12 mg PCB om dagen och avsöndrar PCB med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd PCB i musslan med proportionalitetskonstanten 0.2 dag 1. Antag att det är m t mg PCB i musslan vid tiden t dagar och att den var helt ren från början.
13. Formulera och lös (BVP) som bestämmer m t . (1p)
Lösningsförslag: Vi har PCBökning PCBin PCBut i musslan räknat i mg under en liten tidsperiod t vid varje tidpunkt t.
mAvt DSolve m ' t 12 0.2 m t , m 0 0 , m t , t Simplify
m t 60. 60. 0.2 t
Rätt svarsalternativ: c
a mAvt DSolve m ' t 12 0.2 m t , m 0 0, m t , t
b mAvt DSolve m ' t 12 0.2 m t , m 0 0, m t , t
c mAvt DSolve m ' t 12 0.2 m t , m 0 0 , m t , t
d mAvt DSolve m ' t 0.2 12 m t , m 0 0 , m t , t
e Inget av a till d.
14. Bestäm m t då t 5 dagar. (1p)
Lösningsförslag: Det är bara att sätta in t 5 i lösningen.
mAvt . t 5 m 5 37.9272
Rätt svarsalternativ: a
a mAvt . t 5 b m t . t 5 . mAvt
c mAvt 5 d mAvt . m 5 e Inget av a till d 15. Hur länge dröjer det innan det är 30 mg PCB i en mussla? (1p)
Lösningsförslag: Ekvationen m t 30 löses med Solve.
Solve m t 30 . mAvt, t t 3.46574
Rätt svarsalternativ: c
a Solve m t 30, t . mAvt b Solve m t . mAvt 30, t
c Solve m t 30 . mAvt, t d Solve mAvt t 30, t e Inget av a till d
16̅17.En tank rymmer 1000 liter. Från början finns det 200 liter vatten med en saltkoncentration på 15 mg liter.
Man fyller nu på med rent vatten 10 liter min samtidigt som det rinner ut 4 liter min perfekt omrörd saltlösning genom en kran i botten.
16. Formulera och lös (BVP) som bestämmer koncentrationen salt c t i tanken. (1p) Lösningsförslag: Typiskt blandningsproblem då volymen inte är konstant.
cAvt DSolve D 200 10 4 t c t , t 10 0 4 c t , c 0 15 , c t , t
c t 15 000 103 3 t 1005 3
Rätt svarsalternativ: b
a cAvt DSolve 200 c ' t 4 c t , c 0 15 , c t , t
b cAvt DSolve D 200 6 t c t , t 4 c t , c 0 15 , c t , t
c cAvt DSolve D 6 t c t , t 10 1 4 c t , c 0 15 , c t , t
d cAvt DSolve 200 6 t c ' t 10 4 c t , c 0 15 , c t
e Inget av a till d.
17. Vid vilken tidpunkt blir tanken full, och vad är saltkoncentrationen då? (1p) Lösningsförslag: Först restid till full tank, sedan c t då.
cAvt . Solve 1000 200 6 t, t
c4003 5323
Rätt svarsalternativ: a a cAvt . Solve 1000 200 6 t, t b Solve 1000 6 t, t . cAvt
c Solve cAvt 1000, t d cAvt Solve 1000 200 6 t, t e Inget av a till d.
18̅20.För att följa leverfunktionen under olika behandlingar injiceras glactosyl Tc–GSA i blodet. Om B t och L t är mängden i blodet respektive levern vid tiden t så bestäms dessa av
BVP
B' t 0.06 B t 0.03 L t ODE L' t 0.06 B t 0.03 L t ODE
B 0 3, L 0 0 BV
18. Använd DSolve för att lösa (BVP). (1p)
Lösningsförslag: Det är bara att mata in (BVP) i näbbet på DSolve.
DSolve B ' t 0.06 B t 0.03 L t , L ' t 0.06 B t 0.03 L t ,
B 0 3, L 0 0 , B t , L t , t Simplify
B t 1. 2. 0.09 t, L t 2. 2. 0.09 t
Rätt svarsalternativ: d
a DSolve B ' t 0.06 B t 0.03 L t , L ' t 0.06 B t 0.03 L t , B 0 3, L 0 0 , B t , L t , t
b DSolve B ' t 0.06 B t 0.03 L t , L ' t 0.06 B t 0.03 L t , B 0 3, L 0 0, B t , L t , t
c DSolve B ' t 0.06 B t 0.03 L t , L ' t 0.06 B t 0.03 L t , B 0 3, L 0 0 , B t , L t , t
d DSolve B ' t 0.06 B t 0.03 L t , L ' t 0.06 B t 0.03 L t , B 0 3, L 0 0 , B t , L t , t
e Inget av a till d.
19. Rita B t och L t , t 0, 50 i samma graf. Välj färger på kurvorna. (1p) Lösningsförslag:
Plot Evaluate B t , L t . , t, 0, 50 , PlotStyle Red, Purple , AxesLabel t , PlotLabels B t , L t
B t L t
10 20 30 40 50 t
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Rätt svarsalternativ: e
a Plot Evaluate B t , L t , t, 0, 50 , PlotStyle Red, Blue
b Plot Evaluate B t , L t . , t, 0, 50 , PlotStyle Red, Blue c Plot Evaluate B t , L t . , t, 0, 50 , PlotStyle Red, Blue
d Plot Evaluate B t , L t . , t, 0, 50 , PlotStyle Red, Blue
e Inget av a till d.
20. Bestäm tidpunkten t då B t L t , om man från grafen ser att t 10, 20 . (1p)
Lösningsförslag: Både Solve och FindRoot går naturligtvis bra, men inte uppklädda enligt svarsalternativen. Så vi tar direkt hjälp av den funktion som faktiskt FindRoot ofta använder sig av bakom kulisserna.
Minimize B t L t 2 . , t
0., t 15.4033
Rätt svarsalternativ: d
a Solve B t L t . , t b FindRoot B t L t , t, 15 .
c Solve B t L t , t . d Minimize B t L t 2 . , t e Inget av a till d.
