2.3 Formler. Beräkningar med formler

42 ALGEBRA

2.3 Formler

Beräkningar med formler

Exempel 1 Mats hyr ut utrustning för vindsurfing till en fast kostnad på 200 kr och en rörlig kostnad på 370 kr per timme.

Några prisexempel:

Uttrycket 200 + 370x i tabellen kan vi använda för att skriva en formel för kostnaden K kronor att hyra utrustningen i x timmar.

K = 200 + 370x

formel En formel beskriver ett samband mellan variabler.

Ofta skrivs formeln som en ekvation med en variabel i vänsterledet.

I högerledet finns ett uttryck med en eller flera variabler.

Exempel 2 Jenny cyklar mountainbike. Under 1,5 timmar höll hon medelhastigheten 28 km/h.

Vi kan beräkna sträckan s som hon cyklade med formeln s = v ∙ t

där hastigheten v = 28 km/h och tiden t = 1,5 h.

Sträckan s = v ∙ t = 28 ∙ 1,5 km = 42 km Hon cyklade 42 km.

Tid Kostnad i kronor 3 timmar 200 + 370 · 3 = 1 310 5 timmar 200 + 370 · 5 = 2 050 x timmar 200 + 370x

2301 Kostnaden K för att hyra surfutrustning i x timmar kan beräknas med formeln K = 200 + 370x.

a) Hur mycket kostar det att hyra utrustningen i 2 timmar?

b) Hur länge hyrde Hilma utrustning om hon fick betala 1 865 kr?

a) Vi sätter in x = 2 i formeln K = 200 + 370x.

K = 200 + 370 · 2 = 940 Svar: Det kostar 940 kr.

b) Vi sätter in K = 1 865 i formeln K = 200 + 370x.

1 865 = 200 + 370x 1 865 – 200 = 200 + 370x – 200 1 665 = 370x

370 1665 =

370 370x x = 4,5

Svar: Hon hyrde utrustningen i 4,5 timmar.

2302 Formeln F = mv r

2 beskriver kraften i sidled på en bil som kör i en kurva.

Sätt in kraften F = 7 800 N, bilens vikt m = 1 400 kg och hastigheten v = 25 m/s i formeln och beräkna kurvans krökningsradie r m.

F = mv r

2 och F = 7 800 N, m = 1 400 kg och v = 25 m/s ger

7 800 = 1 400 25⋅ ² r 7 800 = 875 000

r 7 800 ∙ r = 875 000 ⋅ r

r

7 800r = 875 000 r = 112,17… ≈ 110 Svar: Kurvans radie är ca 110 m.

Beräkna täljaren.

Multiplicera båda leden med r.

Dividera båda leden med 7 800.

2.3 FORMLER 43

1

2303 Du har formeln p = 3x + 8.

a) Beräkna p när x = 5.

b) Beräkna x när p = 44.

2304 Använd formeln V = B h⋅ 3

a) Beräkna V om B = 75 och h = 5.

b) Beräkna h om V = 84 och B = 28.

2305 Använd formeln s = v · t

a) Hur lång sträcka springer en löpare på en minut om hastigheten är 8 m/s?

b) Vilken medelhastighet har en bil som åker 344 km på 4 timmar?

c) Hur lång tid tar det att gå 3 000 m med hastigheten 120 m/minut?

2306 Vid nitning av två lättmetallplåtar används följande samband mellan diametern på niten, d mm, och plåtens tjocklek, t mm:

d = 1,5t + 2

a) Beräkna d om t = 6 mm.

b) Till vilken tjocklek på plåten är en nitdiameter på 8 mm lämplig?

2307 Vi kan omvandla mellan Q hk (hästkrafter) och P kW (kilowatt) med hjälp av formeln Q = P

0 736,

a) Hur många hästkrafter är 50 kW?

b) Hur många kilowatt är 100 hk?

2

2308 Sambandet mellan y °C (grader Celsius) och x °F (grader Farenheit), beskrivs med formeln

y = x  32 1 8,

Vilket tal ska stå i rutan?

a) 100 °F =

□

b) 100 °C =

□

2309 Effekten, P watt (W), i en likströmskrets med spänningen U volt (V) och resistansen R ohm (Ω) kan beräknas med formeln P = U

R

2

a) Beräkna effekten om spänningen är 12 V och resistansen är 40 Ω.

b) Beräkna resistansen om spänningen är 24 V och effekten är 90 W.

2310 Dani går i gymnasiet men arbetar ibland på helgerna och på loven.

Skatten, S kr, som han ska betala på sin årsinkomst, I kr, kan beräknas med formeln

S = 0,34(I – 20 008)

a) Hur mycket skatt ska han betala om hans årsinkomst är 30 000 kr?

b) Vilken årsinkomst hade han om han betalade 6 375 kr i skatt?

2311 Trycket, P Pascal (Pa), från ett stödben med arean A m² som belastas med massan m kg kan beräknas med formeln

P = mg

A där g = 10.

a) Vilken massa ger trycket 75 000 Pa på ett stödben med arean 0,40 m²? b) Vilken area A krävs för ett stödben

som belastas med 2 500 kg om största tillåtna tryck är P_max = 100 000 Pa?

3

2312 Vid torrt underlag kan en viss bils stopp- sträcka, s meter, beräknas med formeln s = vt + 0,081v² där v är bilens hastighet i m/s och t är reaktionstiden i sekunder hos föraren.

a) Vid ett test var stoppsträckan 100 m vid hastigheten 25 m/s.

Vilken var förarens reaktionstid?

b) Beräkna stoppsträckan om bilens hastighet är 90 km/tim och förarens reaktionstid är 1,0 s.

Skriva och tolka formler

Exempel Många företag tar betalt med en fast kostnad och en rörlig kostnad.

Det kan uttryckas med formler.

Vi skriver formler för kostnaden K kronor att anlita företagen i x timmar.

Alvins golvslip: Nytt golv:

K = 500 + 250 ∙ x K = 200 + 350 ∙ x

2313 Kostnaden, K kr, för att boka både en möteslokal och lunch för x personer beskrivs av formeln

K = 4 500 + 120x

a) Tolka talen 4 500 och 120 i formeln.

b) Beräkna K om x = 40 och förklara vad du har beräknat.

c) Beräkna värdet av uttrycket 4 500 120+ x

x om x = 25 och förklara vad det betyder i detta sammanhang.

a) Hyran för lokalen är 4 500 kr.

Lunchen kostar 120 kr per person.

b) K = 4 500 + 120x och x = 40 ger K = 3 500 + 120 ∙ 40 = 9 300

Kostnaden för lokalen och lunch för 40 personer är 9 300 kr.

c) 4 500 120+ x

x och x = 25 ger 4 500 120 25

25 = 300

Kostnaden blir 300 kr per person om man bokar lokalen och lunch för 25 personer.

Alvins golvslip

Fast kostnad: 500 kr Pris per timme: 250 kr

Nytt golv

Fast kostnad: 200 kr Pris per timme: 350 kr

46 ALGEBRA

2319 Ett taxiföretag tar 80 kr i framkörnings- avgift och sedan 95 kr för varje kilometer.

a) Vad kostar det att åka 3,2 km?

b) Skriv en formel för kostnaden, y kr, för en resa som är x km lång.

2

2320 En hantverkare kostar varje dag y kr för x timmars arbete enligt formeln y = 315 + 420 x

a) Hur mycket kostar hantverkaren om hen arbetar 8 timmar?

b) Hur många timmar arbetade hantverkaren en dag då kostnaden var 3 045 kr?

c) En annan hantverkare tar 450 kr i fast kostnad och 375 kr per timme.

Skriv en formel för kostnaden y kr att anlita denna hantverkare i x timmar.

d) Beräkna den arbetstid som ger samma kostnad för de båda hantverkarna.

2321 Olle väger p kg och Kajsa väger k kg.

Vilken av formlerna beskriver att Olle väger 12 kg mer än Kajsa?

A k = 12 p C p – k = 12 B p

k = 12 D p + 12 = k 1

2314 Skriv en formel för y om y är a) summan av 10 och x b) differensen av x och 25 c) produkten av 5 och z.

2315 Antalet anställda N i ett företag kan beskrivas med formeln

N = 22 + 3t

där t är antalet år efter starten av företaget.

a) Beräkna N om t = 4

och förklara vad du har beräknat.

b) Hur många anställda var det i företaget vid starten?

c) Hur många fler anställda blir det per år enligt formeln?

2316 Skriv en formel för y om y är a) 2 mer än x

b) dubbelt så mycket som x c) 20 % av x.

2317 Anton ska dela ut reklamblad i ett bostadsområde.

Antal blad, N, som han har kvar att dela ut efter t timmars arbete beskrivs med formeln

N = 2 500 – 200t

a) Beräkna N om t = 10 och tolka värdet.

b) Förklara vad talen i formeln betyder.

2318 En bilverkstad har en behållare med olja.

Volymen, V liter, i behållaren efter x oljebyten beskrivs med formeln V = 180 – 5x

a) Beskriv med ord vad formeln betyder.

b) Beräkna och tolka värdet på V om x = 24.

c) Sätt V = 150 i formeln och lös ekvationen.

d) Tolka ekvationens lösning.

2322 Daghemmet Blåklockan ska göra en bussutflykt till ett badhus i grann- kommunen.

Man har två bussbolag att välja mellan:

a) Vilket bussbolag är billigast om antal personer är 26?

b) Skriv en formel för kostnaden att åka med Annas bussar om antalet personer är x.

c) Använd formeln för att bestämma hur många personer man ska vara för att det ska löna sig att välja Åkes utflyktsresor.

2323 Skatten S kr som Ida ska betala på sin årsinkomst K kr beskrivs med formeln S = 0,325(K – 20 000)

Tolka talen i formeln.

2324 Skriv en formel för summan S av tre på varandra följande heltal om

a) det minsta heltalet är a b) det mellersta heltalet är a.

c) Vilka är de tre talen om summan är 99?

Annas bussar

Grundavgift 800 kr Avgift/person 25 kr

Åkes utflyktsresor

1 600 kr oberoende av antal resenärer.

2.3 FORMLER 47

3

2325 För att få tillgång till det kommunala vattnet får man i en kommun betala 1 200 kr plus 15 kr för varje förbrukad kubikmeter.

På kommunens hemsida finns två olika formler som man kan använda när man har förbrukat x m³ på ett år.

I K = 12 1200 + 15x

II K = x 1200 + 15x

Vilka kostnader beräknas med dessa två formler? Förklara.

2326 Det finns olika formler för att beräkna hur stor dos medicin ett barn behöver.

Formlerna utgår från barnets ålder.

Formel A Formel B b =

150a · v b = c + 12

c · v

a är barnets ålder i månader b är barnets medicindos i mg c är barnets ålder i år v är vuxendos i mg

a) Vid vilken ålder får barnet en lika stor dos som en vuxen om man använder formel A? Motivera.

b) Vid vilken ålder ger formel A och B lika stor dos? (NP)

Lösa ut ur formler

Formeln s = v ∙ t beskriver sambandet mellan sträckan s, hastigheten v och tiden t. Om vi skriver om formeln så att hastigheten v står ensamt i vänsterledet, kan vi säga att vi har löst ut v ur formeln.

s = v ∙ t s t = v t

t

⋅ v = s

t

Exempel Med formeln C =

F – 32 kan vi omvandla temperaturer från 1,8 Fahrenheitgrader F till Celsiusgrader C.

En amerikansk turist i Sverige har behov av att göra tvärtom, dvs. omvandla Celsiusgrader till Fahrenheitgrader.

Vi löser ut F ur formeln:

C = F – 32 1,8 C ∙ 1,8 =

F – 32 ∙ 1,81,8 1,8C = F – 32 1,8C + 32 = F – 32 + 32 1,8C + 32 = F

Formeln kan skrivas F = 1,8C + 32

2327 Lös ut m ur formlerna.

a) p = m + 2 b) h = 3 4

m

a) p = m + 2 p – 2 = m + 2 – 2 p – 2 = m

m = p – 2 lösa ut

Vi dividera båda leden med t.

Vi låter leden byta plats.

b) h = 3 4m 4 ∙ h = 4 3

4

⋅ m

4h = 3m 33m = 4

3 h m = 4

3h

Byt plats på leden så att m hamnar i vänster led.

2328 Lös ut y.

a) 2 y – 6 x = 0 b) 12 x – 4 y + 8 = 0 c) S = y 2m

a) 2 y – 6 x = 0

2 y = 6 x

y = 3 x b) 12 x – 4 y + 8 = 0 12 x + 8 = 4 y

4 y = 12 x + 8

y = 3 x + 2 c) S =

y 2m

y ∙ S = 2m y =

S 2m

Addera 6x till båda leden.

Dividera båda leden med 2.

Addera 4y till båda leden.

Dividera båda leden med 4.

Multiplicera båda leden med y.

Dividera båda leden med S.

1

2329 Skriv om formeln så att variabeln a står ensam i vänster led.

a) a + 3 = b c) 2a = b b) a – 3 = b d)

4a = 2b 2330 Lös ut x.

a) x + b = 5 c) 3x = 6 a b) x – b = 4 d) x – 2k = 0 2331 Lös ut p.

a) 10 = p – x b) x = p + 2a 2332 Formeln s = v · t beskriver sambandet

mellan sträcka s, hastighet h och tid t.

a) Lös ut tiden t ur formeln.

b) Beräkna tiden det tar springa 8,5 km med hastigheten 250 m/min.

2333

Triangelns omkrets O och area A ges av formlerna

O = a + b + c A = b h⋅

2

a) Lös ut basen b ur formlerna.

b) Beräkna basen b om a = 6,7 mm, c = 4,9 mm och omkretsen är 18,1 mm.

c) Beräkna basen b om höjden är 24,8 m och arean är 18,6 m².

a c

h b

50 ALGEBRA

2334 Ohms lag, U = R ∙ I, beskriver förhållandet mellan spänning U, ström I och resistans R i en elektrisk krets.

a) Lös ut resistansen R.

b) Beräkna resistansen R Ω om spänningen är 1,5 V (volt) och strömmen är 0,025 A (ampere).

2335 Lös ut variabeln som står inom parentes.

a) A = bh (b) c) Z = bp (p) b) A = 2πr (r) d) p =

RT (T) V 2336 Lös ut x.

a) x + y = 10 c) x – y – 7 = 0 b) x – y = 2 d) x + 2 y – 6 = 0 2337 Volymen V av en pyramid

kan beräknas med formeln V = Bh/3

där B är bottenytans area och h pyramidens höjd.

a) Lös ut h ur formeln.

b) Beräkna pyramidens höjd om volymen är 1 200 cm³ och bottenytans area är 100 cm².

2

2338 Medelvärdet M av två tal a och b beräknas M = 2

a + b

a) Skriv om formeln genom att lösa ut a.

b) Skriv av och fyll i tabellen.

2339 Lös ut y.

a) 2x – 2y – 12 = 0 b) –6 = 9x – 3y c) 10 + 5y = x

B h

a b M

3 8

–1 4

2340 Effekten hos en lågenergilampa beräknas med formeln

P = U R

2

Lös ut resistansen, R, och beräkna dess värde i ohm (Ω), om spänningen U = 220 V och effekten P = 20 W.

3

2341 Skriv ett förenklat uttryck för 2x + y med endast y som variabel om

a) 3 + x = –1 b) 6 + x = y.

2342 Lös ut x.

a) 8x + ax = 120 b) x – ax = 10 c) 4 x = 25 – ax

Upptäcka och beskriva mönster

Geometriska mönster används ofta inom formgivning, design, arkitektur och konst. I geometriska mönster finns en regel- bundenhet som ofta kan uttryckas med hjälp av matematik.

2343 Figurerna är lagda med stickor och mönstret antas fortsätta på samma sätt.

Skriv en formel för antalet stickor S i figur nummer n.

Vi visar två sätt att tänka.

Metod 1

Vi börjar med att göra en tabell.

Antalet stickor ökar med 3 från en figur till nästa.

Vi kan tänka: "Antalet stickor = 1 sticka + 3 ∙ figurens nummer".

Det ger oss formeln S = 1 + 3 n Metod 2

Utgå från en av figurerna. Figuren nedan är ritad för figur 3, n = 3.

Antalet stickor, S, kan skrivas S = 2n + (n + 1) eller S = 3n + 1 Svar: Antalet stickor, S, i figur nummer n är S = 1 + 3n.

2 3 4

1

Figur nr, n 1 2 3 4

Antal stickor, S 4 7 10 13

+3 +3 +3

1 + 3 1 + 3 · 2 1 + 3 · 3 1 + 3 · 4

Först de horisontella stickorna 2n Sedan de vertikala stickorna n + 1

2.3 FORMLER 51

1

I samtliga uppgifter antas mönstret fortsätta på samma sätt som figurerna visar.

2344

Antalet stickor, S, i figur nummer n kan beräknas med formeln S = 1 + 2n.

a) Hur många stickor är det i figur nummer 15?

b) En figur innehåller 49 stickor.

Vilket nummer har figuren?

2345

a) Skriv av och fyll i tabellen.

Figur nr 1 2 3 4 5

Antal punkter 4

b) Hur många punkter finns det i figur nr 8?

c) Vilket nummer har figuren med 15 punkter?

d) Beskriv med ord hur du får antalet punkter om du vet figurens nummer.

e) Skriv en formel för antal punkter, P, i figur nummer n.

2346

a) Rita figur nr 4.

b) Beskriv med ord hur du får antalet stickor om du vet figurens nummer.

c) Skriv en formel för antalet stickor, S, i figur nummer n.

2347

Skriv en formel för hur många små kvadrater N som finns i figur nummer n.

figur 1 figur 2 figur 3

figur 1 figur 2 figur 3 figur 4

figur 1 figur 2 figur 3

figur 1 figur 2 figur 3 figur 4

2

2348 Kvadratiska småbord, som har plats för 2 personer vid varje sida, sätts ihop till långbord enligt figuren.

a) Hur många personer får plats vid ett långbord som består av 5 småbord?

b) Hur många småbord krävs till ett lång- bord som ska rymma 40 personer?

c) Skriv en formel för antalet personer, A, som kan sitta runt ett långbord med x småbord?

2349 Rita ett mönster med punkter, stickor eller kvadrater där antal objekt, N, i figur nummer n kan beskrivas med formeln N = 2 + 5n

2350 En teater har 10 rader med stolar enligt följande mönster.

a) Hur många stolar är det i rad 5?

b) Hur många stolar är det i rad n?

3 2351

a) Hur många små rutor finns det i figur 10?

b) Skriv en formel för antalet vita rutor V i figur nummer n.

c) Skriv en formel för antalet grå rutor, A, i figur nummer n. Förklara hur du tänker.

Rad 1 Rad 2 Rad 3

figur 1 figur 2 figur 3

Upptäcka och uttrycka generella samband

Matematik handlar ofta om att hitta mönster, visa samband och dra slutsatser.

Exempel Följ instruktionerna i rutan.

Hur ser sambandet ut mellan talet du tänker på och resultatet av beräkningarna?

Vi väljer fler tal, följer instruktionerna och sammanfattar i en tabell.

Vi jämför tal och resultat i tabellen och ser att att sambandet kan beskrivas med orden "resultatet är 10 mer än talet".

Det verkar troligt att sambandet gäller för alla tal vi tänker på.

För att visa att detta är helt sant, oberoende av vilket tal vi väljer, använder vi algebra.

A Vi tänker på talet x.

B 2x C 2x + 20 D

E Vi förenklar uttrycket:

Metod 1 Metod 2

2x + 20

2 = 2(x + 10)2 = x + 10 2x + 20 2 = 2x

2 + 20

2 = x + 10 Talet x ger resultatet x + 10.

Vi har visat att resultatet alltid är 10 större än talet vi startade med.

Ett samband som gäller för alla värden kallas ett generellt samband.

För att visa att ett samband gäller räcker det inte med att vi visar det med ett enda exempel. Kan vi visa att det gäller med flera exempel, kan vi säga att det troligen gäller. Men för att visa att ett samband alltid gäller behöver vi ofta ta hjälp av algebra.

A Vi tänker på talet 4.

B 2 · 4 = 8 C 8 + 20 = 28 D 28/2 = 14 E Resultatet är 14.

A Tänk på ett tal.

B Dubbla talet.

C Lägg till 20.

D Dividera med 2.

E Skriv ditt resultat.

Tal 4 6 9 –5

Resultat 14 16 19 5

Vi kallar talet för x.

2x + 20 2

generellt samband

54 ALGEBRA

1

2353 a) Välj talet 3 och följ instruktionerna i rutan.

b) Välj några andra tal och beräkna resultatet.

c) Beskriv med ord sambandet mellan tal och resultat.

d) Visa att sambandet alltid gäller genom att starta med x.

2354 a) Välj talet 10 och följ instruktionerna i rutan.

b) Välj några andra tal och beräkna resultatet.

c) Beskriv med ord sambandet mellan tal och resultat.

d) Visa att sambandet alltid gäller.

2355

a) Beskriv med ord sambandet mellan a och b.

b) Skriv en formel för hur du kan beräkna b om du vet a, dvs. b = . . .

c) Skriv en formel för hur du kan beräkna a om du vet b, dvs. a = . . .

A Tänk på ett tal.

B Dubbla talet.

C Lägg till 1.

D Multiplicera med 5.

E Subtrahera med 5.

F Skriv ditt resultat.

A Tänk på ett tal.

B Lägg till 4.

C Multiplicera med 2.

D Subtrahera med 2 gånger det tal du tänkte på.

E Subtrahera med 5.

F Skriv ditt resultat.

a b

1 6

2 7

4 9

2352 Den ena sidan i en kvadrat ökar med 10 cm och den andra sidan minskar med 10 cm.

Ett av följande påståenden är sant:

• Arean ändras inte.

• Arean blir alltid mindre.

• Arean blir alltid större.

a) Välj en kvadrat som exempel och undersök vad som gäller för den.

b) Välj ytterligare två kvadrater och undersök vad som gäller för dem.

Vilket påstående verkar vara sant?

c) Visa med algebra vilket påstående som är sant för alla kvadrater.

a) Vi väljer en kvadrat med sidan 30 cm.

Arean = 30 cm ∙ 30 cm = 900 cm² Arean = 40 cm ∙ 20 cm = 800 cm² Svar: Arean blir mindre i detta exempel.

b) Tre exempel med mått och area före och efter förändringen visas i tabellen.

Svar: Arean blir mindre i alla tre exemplen.

c) Vi väljer en kvadrat med sidan s cm.

Arean i cm², A₁ = s ∙ s = s² Arean i cm², A₂= (s + 10)(s – 10) =

= s² – 10s + 10s – 100 = s² – 100 Slutsats: Arean blir alltid mindre. Den minskar alltid med 100 cm².

30 30

20 40

(cm)

Kvadrat Före förändringen.

Mått och area.

Efter förändringen.

Mått och area.

1 30 cm ∙ 30 cm = 900 cm² 40 cm ∙ 20 cm = 800 cm² 2 15 cm ∙ 15 cm = 225 cm² 25 cm ∙ 5 cm = 125 cm² 3 200 cm ∙ 200 cm = 40 000 cm² 210 cm ∙ 190 cm = 39 900 cm²

s s

s – 10 s + 10

2356

Figuren visar en femhörning.

Från ett av hörnen drar vi streck till alla de andra hörnen.

Vi ser att det bildas tre trianglar.

a) Undersök hur många trianglar som bildas på motsvarande sätt i en fyrhörning, sexhörning osv.

b) Skriv en formel för antalet trianglar, A, i en figur med n hörn.

2357 Vilket samband finns mellan de positiva talen a och b?

Skriv en formel på två olika sätt.

a = ….. och b = ….

a)

b)

2358 a) Välj talet 5 och följ instruktionerna i rutan.

b) Välj två andra tal och beräkna resultatet.

c) Visa med algebra att sambandet gäller för alla tal.

a 1 1,5 9 30

b 1/3 0,5 3 10

a 9 25 64 100

b 3 5 6 10

A Tänk på ett tal.

B Beräkna produkten av talet och talet plus 1.

C Beräkna summan av talet och talets kvadrat.

D Jämför resultaten av de två beräkningarna.

2.3 FORMLER 55

Tema

Trappan

En trappa består av sättsteg och plansteg.

Om sättstegets höjd är s och planstegets bredd är p, brukar följande formel användas för att en trappa ska vara godkänd.

2s + p ska vara minst 600 mm 2s + p ska vara högst 630 mm

Trappans längd = planstegens sammanlagda bredd.

Trappans höjd = sättstegens sammanlagda höjd.

Höjd

Längd

Plansteg Sättsteg

Företaget Trenco AB planerar att bygga en ny kontorsbyggnad. Byggnaden ska innehålla flera olika trappor.

Använd trappformeln för att kontrollera om trapporna följer de rekommenderade måtten.

1 Trappan i byggnadens entré ska ha fyra steg, som i figuren ovan. Sättstegen ska vara 175 mm och planstegen ska vara 270 mm.

a) Hur många sätt- och plansteg kommer trappan att ha?

b) Hur hög respektive lång blir trappan?

c) Får trappan godkända mått?

2 Trapporna i trapphus A ska följa formeln 2s + p = 600 mm.

a) Vad blir p om s = 160 mm?

b) Vad blir s om p = 220 mm?

3 Vilken är högsta tillåtna bredd på plansteget i en trappa om sättsteget är 185 mm?

4 Trappan till ett konferensrum ska vara 0,90 m hög. Den nya trappan får sättsteg som är 180 mm och plansteg som är 270 mm.

a) Hur många sättsteg kommer trappan att få?

b) Beräkna antalet plansteg och den nya trappans längd.

5 I en del av byggnaden ska en trappa med höjden 2 650 mm byggas. Utrymmet medger inte att trappan får vara längre än 2 890 mm.

Sättstegen får högst bli 200 mm för att inte vara jobbiga att gå i.

a) Hur många trappsteg behövs?

b) Välj lämpliga värden på p och s, så att 2s + p ligger mellan 600 och 630 mm.

6 I anslutning till de planerade förråds- utrymmena ska en fyrstegstrappa med samma längd och bredd byggas. Plansteget ska bli 240 mm.

a) Bestäm höjden på sättsteget.

b) Blir villkoret för godkänd trappa uppfyllt?

2

2359 Är följande påstående sant eller falskt?

Om du fördubblar sidan i en kvadrat, blir kvadratens area fyra gånger så stor.

a) Undersök påståendet för några olika kvadrater.

b) Sätt kvadratens ursprungliga sida till x och visa med algebra att din slutsats är korrekt.

2360 Stina väljer ett tal, multiplicerar det med 5 och adderar 12. Sedan drar hon bort det tal hon började med och dividerar resultatet med 4. Då upptäcker hon att det tal hon fått fram är 3 större än talet hon startade med.

Hon säger för sig själv: "Jag tror att det alltid blir så vilket tal jag än startar med."

a) Pröva några tal och visa att hon tycks ha rätt.

b) Visa med algebra att hon har rätt. (NP) 2361 Talen 6, 7 och 8 är tre på varandra följande

heltal där 7 är det mellersta talet.

Summan är 6 + 7 + 8 = 21.

a) I tabellen finns några exempel med tre på varandra följande heltal.

Fyll i de tomma rutorna.

Talen 6, 7, 8 4, 5, 6 19, 20, 21 Mellersta talet 7 5

Summan 21

b) Beskriv med ord sambandet mellan det mellersta talet och summan.

c) Ställ upp och förenkla en formel för summan, S, om det mellerst talet är a.

d) Vilka är de tre talen om summan är 99?

2362 Andreas och Lisa fick båda löneförhöjning med lika många kronor vardera.

Andreas höjning var 5 % och Lisas var 2,5 %.

Undersök med beräkningar och resonemang för vilka löner detta kan vara möjligt.

(NP)

3

2363 I bilden är en rektangel med nio datum markerad. I rektangeln är också två diagonaler utritade.

a) Beräkna summan av de tre datumen i • den ena diagonalen

• den andra diagonalen • raden i mitten • kolumnen i mitten b) Vad upptäcker du?

c) Välj en likadan rektangel på ett annat ställe i figuren. Beräkna sedan summorna i de två diagonalerna och i raden och kolumnen i mitten.

d) Låt datumet i rektangelns mitt vara x.

Visa att din upptäckt gäller för alla rektanglar.

e) Skriv en formel för summan, S, av alla datum i en likadan rektangel där datumet i rektangelns mitt är x.

2364 Figurerna visar hur antalet granar i en plantering ökar från år till år.

Det 4:e året planterades 7 nya granar (markerade med mörka punkter).

Ett år planterades x antal nya granar.

Beskriv med ett uttryck det totala antalet granar det året.

figur 1 figur 2 figur 3 figur 4

Tema Tema

58 ALGEBRA ALGEBRA 59

Hastighet – sträcka – tid

Sambandet mellan hastighet, sträcka och tid kan beskrivas med en enkel formel.

Formeln kan skrivas på tre olika sätt.

s: sträcka t: tid v: hastighet (egentligen medelhastighet) s = v ∙ t t =

vs v =

t s

Exempel 1 Vilken hastighet har Pia som kör sin motorcykel 160 km på 2,5 timmar?

sträckan s = 160 km tiden t = 2,5 h hastigheten v =

ts = 1602 5 km

h

, = 64 km/h

Exempel 2 Anton joggar med hastigheten 3 m/s i 20 minuter. Hur långt hinner han?

hastigheten v = 3 m/s

tiden t = 20 min = 20 ∙ 60 s = 1 200 s.

Vi skriver om till sekunder eftersom hastigheten är given i m/s.

sträckan s = v ∙ t = 3 m/s ∙ 1 200 s = 3 600 m = 3,6 km

s v ·t

Anton hinner 3 m varje s.

På 1 200 s blir det 3 600 m.

Exempel 3 Hur lång tid tar det att köra 5 mil om hastigheten är 20 m/s?

hastigheten v = 20 m/s sträckan s = 5 mil = 50 km = 50 000 m tiden t =

vs = 20

50000 s = 2 500 s = 2 50060 min ≈ 42 min

1 Vilken medelhastighet har

a) en bil som åker 344 km på 4 timmar b) en cyklist som kommer 5 600 m på 20 minuter

c) en sprinter som springer 100 m på 10,5 s?

2 Hur långt kommer

a) en bil på 3,5 timmar om hastigheten är 80 km/h

b) en sengångare på en timme, om den på marken har hastigheten 2,5 m/minut?

3 En gevärskula har hastigheten 500 m/s.

Hur lång tid tar det för kulan att nå en tavla på avståndet

a) 1 000 m b) 250 m c) 100 m?

4 En cyklist har hastigheten 10 m/s.

a) Hur långt hinner cyklisten på 1 timme?

b) Vad är cyklistens hastighet i km/h?

5 a) Omvandla 90 km till meter.

b) Omvandla 1 h till sekunder.

c) En bil har hastigheten 90 km/h.

Hur många meter kommer bilen på en sekund?

6 a) Hur många km/h är 1 m/s?

b) Hur många m/s är 3,6 km/h?

c) Hur många m/s är 216 km/h?

7 Beräkna tiden det tar

a) att springa 400 m med hastigheten 5 m/s b) en EPA-traktor att köra Umeå−Stockholm

(64 mil) med hastigheten 30 km/h c) ett sågverk att mata ut 3 km virke om

hastigheten är 90 m/min.

8 Ett jetplan hinner 7 900 km på 9,5 h.

a) Hur långt hinner det på 6 h?

b) Hur lång tid tar 5 800 km?

9 a) En pump klarar 90 liter/sekund.

Hur lång tid tar det att pumpa upp 4 200 liter?

b) En cirkulationspump har flödeshastigheten 80 liter/min.

Bestäm flödeshastigheten i liter/s.

10 Joel körde först 12 min med hastigheten 75 km/h och sedan 6 min med 90 km/h.

a) Hur långt körde han?

b) Vilken medelhastighet hade han?

11 En dragster kör ¼ mile (1 mile = 1 609,344 m) på 4,80 sekunder.

Beräkna medelhastigheten i

a) km/h b) mph (miles per hour).

12 Ljudets hastighet är ca 340 m/s medan ljusets hastighet är ca 300 000 km/s.

Hur lång tid tar det för ljudet respektive ljuset att nå oss från ett blixtnedslag 1 km bort?

Pia kör i genomsnitt 64 km/h.

Tema Tema

Betong

Betong består av bergmaterial, vatten och cement. Det är ett vanligt material i byggnader, broar, vägar och många andra konstruktioner.

Exempel 1 Förhållandet mellan vikten (massan) av vatten och av cement i betong kallas vattencementtalet, vct.

vct = vikten av vatten vikten av cement

Om 30 liter vatten (1 liter = 1 kg) blandas med 50 kg cement är vattencementtalet

vct = vikten av vattenvikten av cement = 30 kg50 kg = 0,60

Vattencementtalet är 0,60 och används som ett mått på betongens hållfasthet.

Med hjälp av densiteten kan man beräkna massan (vikten) om man vet volymen.

ρ = m V

Exempel 2 Kan 6,5 m³ betong fraktas till ett bygge med en betongbil som har en max lastvikt på 16 ton?

Vi beräknar vikten på betongen, som har densiteten 2 400 kg/m³. Formeln ρ = m

V kan skrivas m = ρ ∙ V

Vikten m = 2 400 ∙ 6,5 kg = 15 600 kg = 15,6 ton ≈ 16 ton

Betongen väger lite mindre än 16 ton så all betong kan fraktas i samma betongbil.

ρ är densiteten i kg ⁄m³ m är vikten i kg V är volymen i m³

Om inget annat anges är betongens densitet 2 400 kg/m³.

1 25 kg cement ska blandas med vatten.

a) Beräkna vattencementtalet om cementen blandas med 14 liter vatten.

b) Hur mycket vatten är det i betongen om vct = 0,52?

2 Till en betongplatta i ett garage går det åt 2,0 m³ betong.

Beräkna massan av betongen.

3 Edvin ska gjuta ett betonggolv med arean 23 m² och tjockleken 10 cm. Det kommer att gå åt 350 kg cement för varje kubikmeter

(

)

betong.

Kan Edvin lasta all cement på sitt släp som har max lastvikt på 750 kg?

(Volymen = Arean ∙ Tjockleken)

4 En stor betongplatta med arean 12 000 m² och tjockleken 350 mm ska gjutas.

a) Hur många kubikmeter betong ska beställas? (Volymen = Arean ∙ Tjockleken) b) Betongbilarna som ska leverera betongen

har en max lastvikt på 17 ton.

Hur många lass krävs för att frakta betongen?

5 Ett lågt värde på vct ger en högre hållfasthet på betongen.

Levi blandar betong. Ska han tillsätta mer vatten eller mer cement om han vill sänka vattencementtalet från 0,60 till 0,40?

6 Med hjälp av informationen i tabellen kan man skriva formler som förenklar beräkningen av materialåtgången för olika betongkonstruktioner.

Skriv en formel för

a) cementåtgången m_c kg om x m³ betong ska blandas

b) vattenmängden m_v kg om x m³ betong ska blandas

c) den totala massan m_tot kg, av cement, vatten, sten och grus, om V m³ betong ska blandas.

7 Brottgränsen, R_m, anger den största belastning ett material kan utsättas för innan det går sönder. Brottgränsen för ett betongrör kan beräknas med formeln:

R_m = 4

2 2

mg

D d

(  )

där

m = belastningen i kg g = 9,82 m⁄s²

D = ytterdiametern i mm d = innerdiametern i mm R_m = brottgränsen i N/mm²

Ett betongrör med ytterdiametern 1 500 mm och innerdiametern 1 300 mm tål som mest en belastning på 7,2 ton.

Vilken brottgräns har betongröret?

Mängd cement 350 kg/m³ betong Mängd vatten 210 kg/m³ betong Mängd grus 0–8 mm 1 120 kg/m³ betong Mängd sten 8–16 mm 882 kg/m³ betong

Tema Tema

62 ALGEBRA ALGEBRA 63

Ohms lag och effektlagen

Ohms lag och effektlagen är två formler som beskriver elektriska samband.

De är mycket användbara i yrkeslivet. Du kan t.ex. använda dem vid dimensionering av kabel och säkring, vid felsökning eller när du behöver beräkna värden som är svåra att mäta.

Ohms lag: U = I ∙ R Effektlagen: P = U ∙ I

Exempel 1 Med Ohms lag kan vi beräkna spänningen i en elektrisk krets med strömmen I = 3A och resistansen R = 2 Ω.

I = 3A och R = 2Ω ger U = I ∙ R = 3 ∙ 2V = 6 V Spänningen i kretsen är 6 V.

Exempel 2 Vi beräknar resistansen i den elektiska kretsen i figuren med Ohms lag.

Vi börjar med att lösa ut R.

U = I ∙ R U

I = I R I

⋅

Vi får UI = R vilket kan skrivas R = UI

I figuren avläser vi U = 24 V och I = 10 mA = 0,010 A. Det ger R = 240 010, Ω = 2 400Ω Ω = 2,4 kΩ

Resistorns resistans är 2,4 kΩ.

Trianglarna nedan används ibland som lathundar för Ohms lag och effektlagen.

Täck över det som ska räknas ut så ser du den beräkning som du ska göra.

Beteckning Enhet U = Spänning Volt (V) I = Ström Ampere (A) R = Resistans Ohm (Ω) P = Effekt Watt (W)

Vi förkortar i höger led.

U I · R

Täck t.ex. över R så ser du att R = U

I

P U · I

Täck t.ex. över I så ser du att I = P

U U = 24V

R = ?

I = 10mA

1 Använd Ohms lag för att beräkna

a) spänningen om I = 0,12 A och R = 100Ω b) strömmen om U = 24 V och R = 450Ω.

2 Använd effektlagen för att beräkna a) effekten om U = 6,3V och I = 0,8 A b) strömmen om P = 3,6W och U = 12 V.

3 Nelly behöver veta effekten på lampan som sitter i en gatlykta. Eftersom hon inte har tillgång till en mobillyft och gatlyktan är 9 m hög mäter hon istället strömmen vid stolpens nedre del och beräknar effekten med effektlagen.

Vilken effekt har lampan om Nelly mäter upp strömmen 1,82 A och spänningen är 220 V?

4 Matvey ska vid en felsökning kontrollera resistansen hos en temperaturgivare.

Han vill undvika att stänga ner maskinen och koppla ur givaren och använder istället Ohms lag.

Han har räknat ut att strömmen i kretsen är 10 mA och mäter upp spänningen över givaren till 9 V.

Vilken resistans har givaren?

5 Märkningen på en säkring anger hur mycket ström som kan flyta i en elektrisk krets utan att den överbelastas.

Hur många radiatorer med effekten 1,0kW och märkningen 230V kan installeras på en 10A-säkring?

6 En tumregel är att vid kontinuerlig belastning endast använda 80 % av maximalt strömuttag.

Spänningen över en gatlykta är 230 V och maximalt strömuttag är 10 A.

Hur många lampor på 400W kan monteras i gatlyktan?

7 En glödlampa ska kopplas till ett 24V-system.

Det finns två lampor att välja mellan, en 20W-lampa och en 40-Wlampa.

Vilken lampa har högst resistans?

8 Hur ändras resistansen i en krets om spänningen är oförändrad och strömmen ökar?

9 I en verkstad finns fyra maskiner på 4,0kW, 5,0kW, 5,5kW och 6,0kW.

Huvudsäkringarna måste minst tåla den sammanlagda ström maskinerna drar när de är igång samtidigt.

Vilken är den minsta storleken på huvud- säkringarna som kan användas om spänningen i verkstaden är 400V?

10 En lokal på 82 m² ska tillfälligt värmas upp med en byggfläkt. Effektbehovet för uppvärmningen är 55 W/m².

a) Vilken effekt ska byggfläkten ha?

b) Vilken storlek ska säkringarna ha för att tåla den ström som fläkten kräver om spänningen är 400 V?

Tema Tema

Ersättningsresistans

I en elektrisk krets kan det finnas flera resistorer. Orsaken kan t.ex. vara

◗ att det är svårt att hitta ett enda motstånd med rätt resistans

◗ att den elektriska effekten över en enskild resistor blir för hög

◗ att säkerhetsställa att de olika komponenterna i kretsen får rätt spänning.

Den totala resistansen i en krets kallas ersättningsresistansen.

Den beräknas på olika sätt beroende på hur resistorerna är kopplade.

Ersättningsresistansen, R_tot, kan beräknas med följande formler:

Seriekoppling Parallellkoppling R_tot = R₁ + R₂ + … + R_n 1

R_tot = 1 R1 + 1

R2 + … + 1 R_n

Exempel 1 Resistorerna i figuren är seriekopplade.

Vi beräknar ersättningsresistansen.

R_tot = R₁ + R₂ = 200 Ω + 300 Ω = 500 Ω Ersättningsresistansen i kretsen är 500 Ω.

Exempel 2 Resistorerna i figuren är parallellkopplade.

Vi beräknar ersättningsresistansen.

1 R_tot = 1

R1 + 1 R2

1

R_tot = 1200 + 1300 1

R_tot = 3 3

1 200

⋅

⋅ + 2 2

1 300

⋅

⋅ 1

R_tot = 3600 + 2600 1

R_tot = 5 600 = 5

6005 5 /

/ = 1 120 R_tot = 120 Ω

Ersättningsresistansen i kretsen är 120 Ω.

R = 200 Ω R = 300 Ω

R = 200 Ω R = 300 Ω

Förläng till samma nämnare.

Förkorta så att täljaren är 1.

1 Beräkna ersättningsresistansen för tre seriekopplade resistorer på 1 kΩ, 0,5 kΩ respektive 0,3 kΩ.

2 Vilken är ersättningsresistansen för tre resistorer på vardera 6 Ω som parallellkopplas?

3

Två resistorer med resistansen 10 Ω

parallellkopplas i ett 24 V-system. Till kretsen seriekopplas även en resistor på 0,1 kΩ enligt figuren ovan.

Beräkna ersättningsresistansen i kretsen.

4 Resistorerna i en elektrisk krets till kupéfläkten i en bil är seriekopplade.

Antalet resistorer som kopplas in i kretsen styrs av det läge som fläkten är inställd på.

Fler resistorer ger en större resistans och därmed ett lägre varvtal på fläkten.

När fläkten är i läge 2 verkar två resistorer med ersättningsresistansen 630 Ω. Den ena resistorn är på 160 Ω.

Vilken resistans har den andra?

5 Ersättningsresistansen i en krets med tre parallellkopplade resistorer är 5,0 Ω.

Två av resistorerna har en resistans på 12 Ω vardera.

Vilken resistans har den tredje resistorn?

6 Ökar eller minskar ersättningsresistansen om ytterligare en resistor kopplas in i en krets med resistorer som är

a) seriekopplade b) parallellkopplade?

10 Ω 10 Ω 24 V

0,1 kΩ

7

Lampor i fordon är oftast parallellkopplade.

Tre likadana extraljus är parallellkopplade och ersättningsresistansen i kretsen är 4 Ω.

Vilken resistans har ett extraljus?

8 Många resistorer har en maxeffekt på 0,25 W. Högre effekt över resistorn ger för hög värmeutveckling.

Två resistorer på 0,5 kΩ respektive 0,6 kΩ är parallellkopplade i ett 12 V-system.

Spänningen är densamma över varje resistor.

Strömmen som går genom resistorerna beror av deras storlek och måste beräknas.

a) Använd Ohms lag (U = R ∙ I) och effektlagen (P = U ∙ I) och beräkna effekten över resistorerna.

b) I vilken resistor blir det för hög värmeutveckling?

c) Resistorn med för hög värmeutveckling kan ersättas med två seriekopplade resistorer.

Strömmen genom de båda seriekopplade resistorerna är samma och till storleken lika som genom resistorn som byts ut.

Spänningen beror av motståndens storlek och måste beräknas.

Vilken storlek kan de seriekopplade resistorerna ha?

d) Vilken ersättningsresistans har kretsen?

12 V

Tema Tema

66 ALGEBRA ALGEBRA 67

Hydraulik

I ett hydrauliskt system överförs krafter och rörelser med hjälp av vätskor.

Olja används som vätska i bland annat domkrafter, olika industriella maskiner och i fordon med rörliga delar såsom grävmaskiner och lastbilar.

Vatten kan också vara en del i ett hydrauliskt system, t.ex. vattenledningar i bostäder.

Flödet i en ledning är den vätskevolym som passerar en viss yta per tidsenhet.

Flödet Q kan beräknas på två olika sätt:

Q = Vt där V är volymen som passerar ledningen på tiden t.

Q = A ∙ v där A är tvärsnittsarean på ledningen och v är vätskans hastighet.

Exempel 1 En hydraulisk cylinder med volymen 3 dm³ fylls på 0,6 sekunder.

Vi beräknar flödet in i cylindern:

Q = V t = 3

0 6 dm3

s

, = 5 dm³/s = 5 l/s (1 dm³ = 1 liter) Flödet är 5 l/s (liter per sekund) in i cylindern.

Exempel 2 Genom ett rör med arean A = 4,0 dm² rinner vatten med hastigheten v = 1,5 m/s.

Vi beräknar flödet i röret

v = 1,5 m/s = 15 dm/s

(

)

Q = A ∙ v = 4,0 dm² ∙ 15 dm/s = 60 dm³/s = 60 l/s Flödet i röret är 60 l/s.

1 a) Bestäm flödet, Q, om volymen V = 25 dm³ passerar en vattenledning på tiden t = 2,5 sekunder.

b) Bestäm flödet, Q, om en vattenledningen har tvärsnittsarean A = 0,8 dm² och vattnet har hastigheten v = 4 dm/s.

c) Bestäm tiden det tar för vattnet att passera en ledning med volymen V =84 liter om flödet är Q = 7 liter/s.

2 En hydraulisk cylinder med volymen 1,6 dm³ fylls med olja. Det tar 8,0 s.

Hur stort är flödet i

a) l/s b) l/min?

3 För att leda bort vatten från ett vattentorn används ett rör med tvärsnittsarean 0,5 m². Vattnet har hastigheten 1,0 m/s.

a) Ange flödet i m³/s.

b) Ange flödet i l/s (1 m³ = 1 000 l).

c) Hur lång tid tar det att leda bort 1 200 m³ vatten?

4

Hydraulolja strömmar in i cylindern hos en liten saxlyft med flödet 0,12 l/s.

Cylindervolymen är 3,5 dm³.

Vad har saxlyften för lyfttid från sitt lägsta läge till sitt högsta läge?

5 Om det är för lågt flöde i en vattenledning kommer partiklar och andra föroreningar att sjunka mot botten och inte följa med i flödet.

Detta kan medföra att partiklar fastnar i ledningarna.

a) För att ett sandkorn ska spolas ur en vatten- ledning med arean 0,79 dm² krävs ett flöde på 15 l/s.

Med vilken hastighet färdas sandkornet i vattenledningen?

b) Om vattenledningen har arean 0,20 dm² är vattnets hastighet 1,3 m/s.

Hur lång tid tar det för ett sandkorn att färdas genom en vattenledning med volymen 3 000 dm³?

6 När en dricksvattenledning har varit avstängd ska ett vattenprov tas för att kontrollera att vattnet är okej. Då måste ledningen spolas igenom med motsvarande tre gånger ledningens volym.

När kan vattenprovet tas från ledningen i figuren om flödet i ledningen är 1 600 l/min och spolningen startar måndag kl. 8.00?

(1 m³ = 1 000 l)

7 Deplacementet hos en hydraulpump är den volym olja som pumpen ger per varv.

En vedklyv drivs av en hydrauloljepump som har deplacementet 0,017 dm³ och varvtalet 1 430 varv/min.

a) Flödet för en hydrauloljepump beror av deplacementet och varvtalet.

Vilket är flödet för vedklyvens hydrauloljepump?

(Q = deplacementet ∙ varvtalet) b) Hur lång tid tar det att fylla vedklyvens

cylinder om cylindervolymen är 1,87 dm³? V = 334 m³ V = 719 m³

Tema Tema

Stoppsträcka

Faran upptäcks Inbromsningen påbörjas

Faran upptäcks Bilen står still

Reaktionssträcka Bromssträcka

Stoppsträcka

Stoppsträckan är den sträcka en bil hinner färdas från det att föraren upptäcker faran tills det att bilen står still. Stoppsträckan är summan av reaktionssträckan och bromssträckan.

Alla som tar körkort måste känna till dessa begrepp. Bland annat för att förstå för hur hastigheten påverkar stoppsträckans längd.

Exempel En bil färdas i 90 km/h när föraren upptäcker en älg på vägen.

Förarens reaktionstid är 1,2 s. Reaktionssträckan beräknas med formeln:

s_r = v r⋅ 3 6,

Vi beräknar reaktionssträckan i meter:

s_r = 90 1 2 3 6

⋅ ,

, = 30 Reaktionssträckan är 30 m.

När vi beräknar bromssträckan behöver vi veta friktionstalet.

Friktionstalet beror av bilens däck och väglaget. Torr asfaltsväg ger hög friktion, medan snö och is ger låg friktion.

s_b = v f

2

250 ⋅

Föraren kör på en torr asfaltsväg med friktionstalet 0,75.

Vi beräknar bromssträckan i meter.

s_b = 90 250 0 75

2

⋅ , = 43,2 ≈ 43 Bromssträckan är ca 43 m.

Stoppsträckan = Reaktionssträckan + Bromssträckan Vi beräknar bilens stoppsträcka:

Stoppsträckan = 30 m + 43 m = 73 m Stoppsträckan är 73 m.

s_r = reaktionssträckan i meter v = hastigheten i km/h r = reaktionstiden i sekunder reaktionssträcka

s_b = bromssträckan i meter v = hastigheten i km/h f = friktionstalet

bromssträcka

stoppsträcka

I uppgifterna ska du använda friktionstalen i tabellen.

1 William kör i 80 km/h på en torr asfaltsväg när han ser en stillastående bil på vägen och bromsar kraftigt. Williams reaktionstid är 0,90 sekunder.

Beräkna

a) reaktionssträckan b) bromssträckan c) stoppsträckan.

2 Isabell kör på en snöig väg i 90 km/h. Hon upptäcker ett vildsvin på vägen och bromsar.

Isabells reaktionstid är 1,0 sekund.

Beräkna

a) reaktionssträckan b) bromssträckan c) stoppsträckan.

3 En bil färdas i 100 km/h. Vilken är skillnaden i stoppsträcka om bilen färdas på en torr asfaltsväg jämfört med en blöt asfaltsväg?

Förarens reaktionstid är 0,85 s.

Väglag Friktionstal, f

Blankis 0,15

Snö 0,40

Blöt asfalt 0,50 Torr asfalt 0,75

4 Nadja har bråttom till jobbet tidigt en morgon och kör snabbt på en slingrig asfaltsväg.

Plötsligt ser hon en bil som backar ut på vägen från en garageuppfart. När hon bromsar upptäcker hon att det är blankis på vägen.

a) Beräkna stoppsträckan om hastigheten är 90 km/h och Nadjas reaktionstid är 1,2 s.

b) Vid vilken hastighet hade Nadja fått en hälften så lång reaktionssträcka?

5 Ju tröttare en förare är desto längre är reaktionstiden.

Är det sant att en fördubbling av reaktions- tiden fördubblar reaktionssträckan?

6 Hadi kör i 110 km/h på en blöt asfaltsväg och kommer ikapp en bil som kör i 80 km/h.

När avståndet är 30 m mellan bilarna ser Hadi att en ren springer ut en bit framför den andra bilen. Båda förarna tvärbromsar.

Hadi är utvilad så hans reaktionstid är endast 0,70 s. Däremot har föraren i bilen framför reaktionstiden 1,3 s.

Visa med hjälp av beräkningar att Hadi kommer att köra in i bilen framför.

7 Det är viktigt att hålla ett tillräckligt stort avstånd till bilen framför för att undvika olyckor.

Två bilar håller den konstanta hastigheten 100 km/h på en snöig väg. Båda förarna ser plötsligt ett föremål på vägen längre fram och tvärbromsar.

Vilket är det minsta avstånd en förare, med reaktionstiden 1,2 s, i den bakre bilen ska hålla för att det ska vara möjligt att undvika olycka, om föraren i den främre bilen har reaktionstiden 0,85 s?

8 Lova kör 70 km/h en sen kväll och ser plötsligt hur något rör sig i diket framför henne. Innan bilen står helt stilla har den förflyttats 57 m.

a) Vad är reaktionssträckan om Lovas reaktionstid är 0,90 s?

b) Vilket väglag kör Lova på?

ALGEBRA 71

Sant eller falskt?

70 ALGEBRA

Avgör om påståendena är sanna eller falska. Syftet är att utveckla förmågan att föra ett matematiskt resonemang. Motivera därför svaren med beräkningar och förklaringar.

Arbeta gärna i par eller grupp.

1 Uttrycken 2 + 5x och 1 + 7x har samma värde då x = 0,2.

2 Ekvationerna 5x + 9 = 24 och 3 = 15 – 4x har samma lösning.

3 Ett uttryck och en ekvation kan vara samma sak.

4 Uttrycket 2(3x + 5) – 8 + x kan förenklas till 5x + 2.

5 Uttrycket 4x² + 6x kan skrivas 2 x(x + 3).

6 x = 5 är en lösning till ekvationen

2 4

3

x − = x – 2

7 Lösningen till ekvationen x

12 = 7 000 ger svaret på frågan: 40

”Hur mycket tjänar man på 12 timmar om man tjänar 7 000 kr på 40 timmar?”

8 (x + 4)(x – 3) kan skrivas som x² – 12.

9 Formeln p = 0,12s visar att p är 12 % mer än s.

10 Formeln a = bx – c kan skrivas c = a – bx.

11 Uttrycket x x x

2+2 kan förenklas till 3x.

12 Formeln k = p

1 5, kan skrivas som p = 1,5k.

Uttryck

15 + 7x kallas för ett uttryck.

Värdet på talet x kan variera och x kallas för en variabel

Lägg märke till att 7 ∙ x skrivs 7x.

Uttryckets värde när x = 3 är 15 + 7 ∙ 3 = 15 + 21 = 36 Förenkla uttryck

Föra samman termer av samma slag 5x + 7 + x² – x + 3 = x² + 4x + 10 5x och x är variabeltermer (x-termer).

7 och 3 är konstanttermer.

Vid förenkling av ett uttryck för man samman termer av samma sort, variabeltermer för sig och konstanttermer för sig.

Ta bort parenteser

9 + (x – 3) = 9 + x – 3 = 6 + x 9 – (x – 3) = 9 – x + 3 = 12 – x Multiplicera in

5(x – 2) = 5x – 10 Faktorisera och bryta ut 14a² = 2 ∙ 7 ∙ a ∙ a 6b – 8 = 2(3b – 4) 3x² + 15x = 3x(x + 5) Förkorta

3 6

3

x + = 3 2 3

(x ) = x + 2

Multiplicera parenteser

(x + 6)(x – 4) = x² – 4x + 6x – 24 = x² + 2x – 24 Om variabeln i ett uttryck ersätts av ett tal ska uttryckets värde före och efter förenkling vara lika.

Linjära ekvationer

6x – 3 = 11 + 4x är en linjär ekvation.

Lösningen är det värde på x som gör att ekvationens vänstra led (VL) är lika med det högra ledet (HL).

1 1

Förkorta med 3

Lösning av linjära ekvationer

När man löser en linjär ekvation får man addera, subtrahera, multiplicera eller dividera båda leden med samma tal. Målet är att få variabeln fri i det ena ledet.

Exempel

6x – 3 = 11 + 4x 6x – 4x – 3= 11 + 4x – 4x 2x – 3 = 11

2x – 3 + 3 = 11 + 3 2x = 14 22x = 142 x = 7

Problemlösningen med ekvationer

◗   Skriv upp vad som är givet och kalla det som söks för x.

◗  Teckna en ekvation och lös ekvationen.

◗   Värdera resultatet. Är det rimligt?

Ska det avrundas?

◗  Skriv svar med lämplig enhet.

Formler

En formel skrivs ofta med en variabel i vänstra ledet och ett uttryck i högra ledet.

Vi löser ut h ur formeln A = b h⋅ 2 A = b h⋅

2 2 ∙ A = 2

2

⋅b h⋅ b ∙ h = 2A h = 2A

b

Upptäcka och uttrycka mönster och samband Man kan göra ett matematiskt samband troligt genom att undersöka flera enskilda exempel.

Vill man bevisa att sambandet alltid gäller behövs en generell metod. Ofta tar man hjälp av algebra.

Multiplicera båda leden med 2

Dividerar båda leden med b

Sammanfattning 2

Kan du det här?

Kan du det här?

Delkapitel ^{BEGREPP PROCEDUR}

2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer

Uttryck Variabel Förenkla Linjär ekvation Lösning

• beräkna värdet av ett uttryck

• förenkla uttryck med flera variabler och uttryck med parenteser

• tolka ett uttryck

• ställa upp ett uttryck

• lösa linjära ekvationer med en eller flera variabeltermer och med parenteser.

2.2 Mer om

algebraiska uttryck och ekvationer

Multiplicera in Bryta ut Faktorisera Förkorta

• omforma uttryck genom att

multiplicera in, faktorisera och förkorta

• multiplicera två parenteser

• multiplicera in och bryta ut vid lösning av linjära ekvationer

• lösa matematiska problem med hjälp av ekvationer.

2.3 Formler Formel

Samband

• använda, tolka och ställa upp formler

• lösa ut en variabel ur en formel

• undersöka och beskriva ett samband med ord eller en formel

• använda algebra för att visa att ett samband alltid gäller.

Testa dig själv 2

2.1 Algebraiska uttryck och ekvationer 1 Beräkna värdet av 4x – y då

a) x = 2 och y = 10 b) x = 0,6 och y = 0,5 c) x = 5 och y = –1 2 Förenkla

a) 6 + 2x – x + 3 b) 6 + 2x – (x + 3) 3 Lös ekvationerna.

a) x + 12 = 7 – x b) x

3 – 1 = 8

c) 0,24x + 1,2 = 5,4 d) 5(2x + 3) + 5 = 95 4 Multiplicera uttrycken.

a) 10x ∙ 4x b) (x – 2)(x + 8)

2.2 Mer om algebraiska uttryck och ekvationer 5 Lös ekvationen x4 – x8 = 5

6 a) Skriv en ekvation till ”40 % av x är 2 500 kr.”

b) Bestäm x genom att lösa ekvationen.

7 Tore är dubbelt så gammal som Nicklas.

Beräkna med hjälp av en ekvation Nicklas ålder om de tillsammans är 72 år.

8 Sandra arbetar som målare. Hon öppnar en ny färgburk och använder 6 liter av färgen.

Efter det är det en fjärdedel av färgen kvar i burken.

Bestäm med hjälp av en ekvation hur många liter färg det var i burken från början?

2.3 Formler

9 Hos en trafikskola är kostnaden för körkorts- undervisningen 3 400 kr och för varje kör- lektion är kostnaden 550 kr.

a) Skriv en formel för den totala kostnaden, y kr, om man deltar i undervisningen och kör x antal lektioner.

b) För Tobias blev totalkostnaden 16 600 kr.

Hur många lektioner tog han?

10 En nyfödd flickas vikt i kg efter x månader kan under första året beräknas med formeln y = 3,5 + 0,5x

a) Vilken ålder motsvarar vikten 8,0 kg enligt formeln?

b) Tolka formeln. Vad betyder 3,5 och 0,5?

11 Lös ut den variabel som står inom parentes efter formeln.

a) p = ax + s (s) b) b = 2t – a (t) c) y = 2

3ab (b)

12 Beskriv tabellen med en formel, y = …

13 Om du fördubblar sidorna i en rektangel, så blir rektangelns area fyra gånger så stor.

a) Undersök påståendet för några olika rektanglar.

b) Visa med algebra att påståendet alltid gäller.

x 1 2 3 4

y 6 7 8 9