TENTAMEN. Antal timmar / Number of examination hours:

TENTAMEN

Kursnamn / Course: Kurskod / Course code:

Differentialekvationer och transformteori / Differential Equations and Transform Theory

M0052M

Antal timmar / Number of examination hours: Datum / Date:

5 2022-03-24

Tillåtna hjälpmedel / Allowed aids:

Tabellsamling bifogad till tentan / Mathematical formulas table attached to the exam

Jourhavande lärare m fullständigt telefonnr: Jourhavande lärare m fullständigt telefonnr:

Ove Edlund, 0920-491511 (Luleå+Kiruna) Eva Lövf, 0910-585340 (Skellefteå)

Betygsgränser / Grade scale: Antal uppgifter och totalpoäng:

U: 0–17, 3: 18–25, 4: 26–33, 5: 34–40 14 uppgifter, totalpoäng 40

Övriga uppgifter / Other information:

Tentamen består av tre delar:

• Del A består av 5 flervalsfrågor vardera värda 2p

• Del B består av 5 uppgifter vardera värda 2p, där endast svar krävs

• Del C består av 4 uppgifter vardera värda 5p, där fullständiga lösningar krävs.

Svaren för del A och B ska fyllas i på det svarsformulär som bifogas tentamen. Svarsformuläret ska ryckas loss och lämnas in som en sida i dina tentamenslösningar. Det är tillåtet att skicka med lösningsskisser till uppgifterna i del A och B. Dessa beaktas dock endast vid gränsfall till godkänt.

I Del C, ska fullständiga lösningar redovisas. Enbart svar ger 0 poäng.

The written exam has three parts:

• Part A has 5 multiple choice questions, 2p each

• Part B has 5 questions, 2p each, where only the answers are required.

• Part C has 4 questions, 5p each, where complete solutions are required.

Write the answers to Part A and B on the attached answer sheet. Remove the answer sheet from the exam questions and hand it in as part of your solutions. If you so choose, you can hand in solutions sketches to Part A and B. These sketches will only be reviewed if you have not passed the exam but are close to.

For Part C, hand in complete solutions to the questions. Answers alone grant 0 points.

Allmänna anvisningar

Kontrollera att du fått samtliga uppgifter.

Besvara endast en uppgift per lösningsblad. Skriv inte på baksidan.

Skriv tydligt, texta gärna och använd inte röd penna.

Tentamen M0052M 2022-03-24

English versions of the questions are found on pages 5-7.

Del A - Flervalsfrågor

1. Utryck på polär formz = −√

6 + i√ 2

3 + 3i (2 p)

(a) z = 2/3 e^−i5π/12 (b) z =√

2/3 e^−i5π/12

(c) z =√

2/3 e^i7π/12 (d) z = 2/3 e^i7π/12

(e) Inget av (a)–(d) är korrekt

2. Lös begynnelsevärdesproblemet (2 p)

x²y^′− y = 0, y(1) = 1 (a) y = e^x−1

(b) y = e^(x−1)/x

(c) y = e^1−x (d) y = e^(1−x)/x

(e) Inget av (a)–(d) är korrekt

3. Bestäm seriens summa (2 p)

∑∞ k=0

2^k+2 3^k

(a) 6 (b) 9

(c) 12 (d) 15

(e) Inget av (a)–(d) är korrekt

4. Bestäm Laplacetransformen av (2 p)

f (t) =

{ t, 0 < t < 2 0, annars (a) F (s) = 1

s² − e^−2s 1 s² (b) F (s) = 1

s² − e^−2s(2 s² + 1

s )

(c) F (s) = 1

s² − e^−2s(1 s² +2

s ) (d) F (s) = 1

s² − e^−2s(1 s² +1

s )

(e) Inget av (a)–(d) är korrekt

5. Begynnelsevärdesproblemet y^′

y² =sin(x²), y(0) = 1

ska approximeras med Eulers metod då 0 ≤ x ≤ 5genom att dela upp intervallet i 50 delintervall. Svara med vad som saknas i koden på nästa sida.

2 (7)

Tentamen M0052M 2022-03-24

n = 50; h = 5/n; x = 0:h:5;

y(1) = 1;

for k = 1:n

y(k+1) = <välj nedan>

end

(a) y(k)-h*sin(x(k)^2)/y(k)^2;

(b) y(k)-h*y(k)^2*sin(x(k)^2);

(c) y(k)+h*sin(x(k)^2)/y(k)^2;

(d) y(k)+h*y(k)^2*sin(x(k)^2);

(e) Inget av (a)–(d) är korrekt

Del B - Redovisa svaren

6. Ekvationenz³− 4z²+ z + 26 = 0har en lösningz1 = 3− 2i. Bestäm och (2 p) svara med övriga lösningar.

7. Lös begynnelsevärdesproblemet (2 p)

y^′′+ 5y^′+ 6y = 0, y(0) = 1, y^′(0) = 1

8. Bestäm konvergensradien för potensserien (2 p)

∑∞ k=0

k 4^k+ 1x^k

9. Bestäm invers Laplacetransformf (t) =L⁻¹{F (s)}till (2 p)

F (s) = s + 5 s² + 4s + 13

10. Bestäm Taylorpolynomet med grad 3 och approximationspunktx = 1, (2 p) för

f (x) =√³ x

Tentamen M0052M 2022-03-24

Del C - Redovisa fullständiga lösningar

Till denna del ska fullständiga skriftliga lösningar redovisas. Alla steg i härled- ningarna bedöms vid poängsättning.

11. Lös den komplexa andragradsekvationen (5 p)

z²+ (−3 + i) z + 4 − 3i = 0

12. Bestäm allmän lösning utan att använda Laplacetransform (5 p) y^′′+ 6y^′+ 10y = 10 x²− 8 x − 10 + 5 e^−x

13. Använd Laplacetransform för att lösa begynnelsevärdesproblemet (5 p) y^′′+ 4y^′+ 4y = e^−t, y(0) = 2, y^′(0) = 0

Lös endast en av uppgifterna nedan

14.1. Härled rekursionsformeln som beskriver koefficienternac_ki potensserie- (5 p) lösningeny =

∑∞ k=0

c_kx^ktill begynnelsevärdesproblemet

y^′′+ xy^′+ y = 0, y(0) = 2, y^′(0) =−1

14.2. Lös systemet av differentialekvationer, med begynnelsevillkor (5 p) { x^′(t) + x(t) + y(t) = 3

y^′(t) + 4 x(t) + y(t) = 2 e^−t

{ x(0) = 0 y(0) = 0

4 (7)

Exam M0052M 2022-03-24

Part A - Multiple choice questions 1. Express in polar formz = −√

6 + i√ 2

3 + 3i (2 p)

(a) z = 2/3 e^−i5π/12 (b) z =√

2/3 e^−i5π/12

(c) z =√

2/3 e^i7π/12 (d) z = 2/3 e^i7π/12

(e) None of (a)–(d) is correct

2. Solve the initial value problem (2 p)

x²y^′− y = 0, y(1) = 1 (a) y = e^x−1

(b) y = e^(x−1)/x

(c) y = e^1−x (d) y = e^(1−x)/x

(e) None of (a)–(d) is correct

3. Find the sum of the series (2 p)

∑∞ k=0

2^k+2 3^k

(a) 6 (b) 9

(c) 12 (d) 15

(e) None of (a)–(d) is correct

4. Find the Laplace transform of (2 p)

f (t) =

{ t, 0 < t < 2 0, otherwise (a) F (s) = 1

s² − e^−2s 1 s² (b) F (s) = 1

s² − e^−2s(2 s² + 1

s )

(c) F (s) = 1

s² − e^−2s(1 s² +2

s ) (d) F (s) = 1

s² − e^−2s(1 s² +1

s )

(e) None of (a)–(d) is correct

5. The initial value probelm y^′

y² =sin(x²), y(0) = 1

is to be approximated with Euler’s method for0≤ x ≤ 5by using 50 sub intervals. Answer with the part missing in the code on the next page.

Exam M0052M 2022-03-24

n = 50; h = 5/n; x = 0:h:5;

y(1) = 1;

for k = 1:n

y(k+1) = <choose below>

end

(a) y(k)-h*sin(x(k)^2)/y(k)^2;

(b) y(k)-h*y(k)^2*sin(x(k)^2);

(c) y(k)+h*sin(x(k)^2)/y(k)^2;

(d) y(k)+h*y(k)^2*sin(x(k)^2);

(e) None of (a)–(d) is correct

Part B - Only answers required

6. The equationz³− 4z²+ z + 26 = 0has one solution z1 = 3− 2i. Find (2 p) and answer with the rest of the solutions.

7. Solve the initial value problem (2 p)

y^′′+ 5y^′+ 6y = 0, y(0) = 1, y^′(0) = 1

8. Find the radius of convergence for the power series (2 p)

∑∞ k=0

k 4^k+ 1x^k

9. Find the inverse Laplace transformf (t) =L⁻¹{F (s)}of (2 p)

F (s) = s + 5 s² + 4s + 13

10. Find the Taylorpolynomial of degree 3 and approximation pointx = 1, (2 p) for

f (x) =√³ x

6 (7)

Exam M0052M 2022-03-24

Part C - Complete solutions required

Complete written solutions are required for this part. Every step of the solution process is considered for granting points.

11. Solve the complex quadratic equation (5 p)

z²+ (−3 + i) z + 4 − 3i = 0

12. Find the general solution without using Laplace transform (5 p) y^′′+ 6y^′+ 10y = 10 x²− 8 x − 10 + 5 e^−x

13. Use Laplace transform to solve the initial value problem (5 p) y^′′+ 4y^′+ 4y = e^−t, y(0) = 2, y^′(0) = 0

Solve only one of the problems below

14.1. Derive the recursion formula that describes the coefficients c_k of the (5 p) power series solutiony =

∑∞ k=0

c_kx^k to the initial value problem

y^′′+ xy^′+ y = 0, y(0) = 2, y^′(0) =−1

14.2. Solve the system of differential equations, with initial value conditions (5 p) { x^′(t) + x(t) + y(t) = 3

y^′(t) + 4 x(t) + y(t) = 2 e^−t

{ x(0) = 0 y(0) = 0