Tentamen i Analys och linjär algebra (HF1008) TEN1
Datum: 31 maj 2011 Lärare: Inge Jovik
Hjälpmedel: Formelblad
(Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.)Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.
Betygsgränser: Maxpoäng = 24
För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16 ,13 respektive 10 poäng.
Komplettering:
9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) . Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR.Om komplettering blir godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F.
--- Börja varje ny uppgift på ett nytt blad
Skriv endast på en sida av papperet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
1. Bestäm z då 1 2 (2p)
2. Bestäm alla (fyra) lösningar till ekvationen 16 0
Ange minst en av lösningarna på formen (3p)
3. Bestäm argument och absolutbelopp av w då ·
(2p)
4. Lös olikheten 0 (2p)
5. För vilka reella tal p är linjerna
1, 1, 1 3, 5, 1 och 1, 1, 1 6, 10, 12
a) Parallella (1p)
b) Vinkelräta (1p)
6. Bestäm vinkeln mellan planen
2x 3y 2z 4 x 2y – z 2.
(2p) Vinkeln behöver inte beräknas numeriskt.
7. Låt tre plan vara givna genom:
: 2 1
: 2 9
: 0
a) Bestäm de värden på konstanten a som gör att de tre planen får en (3p) punkt gemensam.
b) Välj ett av dessa möjliga värden på a och bestäm (2p) för detta a den gemensamma punkten.
8. Lös matrisekvationen med avseende på . (3p) 3 2
0 1 , 4 2
0 1 , 1 1
0 2
9. Beräkna avståndet från punkten 2, 1, 2 till linjen
x, y, z 1, 1, 1 t 2, 1, 1 (3p)
Lösningsförslag till tentamen HF1008 TEN1 som gavs den 31 maj 2011
1. 1 2 Sätt 1 2
2 2 2 1 , 4
Svar:
2.
16 16 16 0,1,2,3
, , ,
För n=0 är 2 2 2
√ √
√ √
3. ·
| | 2 · arg
Svar: | | , ·
4. 0
Gör en teckentabell:
x -2 4
(4-x) ++++++++++++++++++++++++++ 0 ---
(x+2) --- 0 +++++++++++++++++++++++++
(4-x)/(x+2) --- ++++++++++++ 0 --- Tabellen visar att 0 å 2 4
Svar: 0 å 2 4
5. För vilka reella tal p är linjerna
1, 1, 1 3, 5, 1 och 1, 1, 1 6, 10, 12
a) Linjerna är parallella om och endast om
2 2 1 12
b) Linjerna är vinkelräta om och endast om linjernas skalärprodukt är lika med noll, dvs
6 · 3 10 · 5 1 · 12 0 12 80 0
6. Planens normalvektorer är 2, 3,2 1,2, 1 Uttrycket för vektorernas skalärprodukt ger då , , ° , ,
√ ·√ √
arccos
√
Svar:
arccos√
7. Villkoret att en punkt ska vara gemensam är liktydig med att ekvationssystemet har en entydig lösning. Lösningen till ekvationssystemet (x,y,z) är då den gemensamma punkten. Alltså har vi att undersöka determinanten
1 2 2 1
0 1
2
Då determinanten är skild från noll har ekvationssystemet en entydig lösning. Dvs då
2 0 ,
b Välj t ex 0 , ,
8.
Insättning ger 1 4
0 2 2 4
0 1
1 3
0 1
Svar: 1 3
0 1
9. Beräkna avståndet från punkten 2, 1, 2 till linjen
x, y, z 1, 1, 1 t 2, 1, 1
Linjens riktningsvektor: 2,1,1 Punkt på linjen: 1,1, 1
Vektorn från P till A: 1,0, 1
2 1 1
1 0 1
1,3, 1 √11
Avståndet mellan punkten A och linjen ges nu av
| | √√
