TENTAMEN 2015-Okt-26, HF1006 och HF1008 Moment:

TENTAMEN 2015-Okt-26, HF1006 och HF1008

Moment: TEN1 (Linjär algebra), 4 hp, skriftlig tentamen

Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008, Linjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1

Tid: 13.15-17.15, Plats: Campus Haninge

Lärare: Marina Arakelyan, Inge Jovik och Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: Maxpoäng = 24

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

--- Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

---

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Givet vektorerna 𝑎𝑎⃗ = (3, −1, 4), 𝑏𝑏�⃗ = (−2, 4 , −3) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑜𝑜⃗ = (1,2, −1).

Bestäm en enhetsvektor parallell med vektorn 2𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗ + 2𝑜𝑜⃗.

b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna (2, −3, 4), (1, 3, −1) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ (3, −1, 2).

Uppgift 2. (3p)

För vilka α ochβ är vektor a=(3,−1,α) vinkelrät mot vektor b =(2,β,1)om |b|=3 ?

Uppgift 3. (1p)

Beräkna arbetet som uträttas av kraften F =(1,1,1) då ett objekt förflyttas rätlinjig från punkten P till Q om P=(−1,−1,−1)ochQ=(2,1,3). (Enheter: N, m och J.)

Uppgift 4. (2p)

Bestäm avståndet mellan följande parallella plan x+2y+2z−5=0 och 0

2 2 2 + − = + y z

x .

Var god vänd.

Uppgift 5. (2p)

a) Bestäm determinanten för matrisen A = �1 2 3 2 3 4 4 5 6�.

b) Bestäm inversen till matrisen B = �cos 𝑣𝑣 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣 �.

Uppgift 6. (3p) a) (1p) Om

) 3 arg( ₌π

z vad är då arg(iz ? ) b) (2p) Givet att z₁ e⁴ⁱ

π

= och z e ^{3 i}

2 2

π

−

= bestäm ₂

2 1

) (z

z .

Uppgift 7. (3p)

Ekvationen z⁴−z³+5z²+z+10=0 har en lösning z₁=1−2i. Bestäm alla lösningar till ekvationen.

Uppgift 8. (3p)

a) (2p) För vilka värden på 𝑎𝑎 har följande ekvationssystem med avseende på x, y och z unika lösningar (alltså exakt en lösning)?







=

−

=

− +

= + +

1 2 4

3 2

z ay

z y ax

z y x

b) (1p) Lös ekvationssystemet för a=0.

Uppgift 9. (3p)

Bestäm strömmarna i₁, i ₂ och i ₃ i nedanstående nät då

R1 = 1 ohm, R2 = 2 ohm , R3 = 3 ohm , V1= 12 volt och V2= 19 volt.

R1

V1

R2

R3

V2 i1

i2

i3

A B

Lycka till.

FACIT:

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) a) Givet vektorerna 𝑎𝑎⃗ = (3, −1, 4), 𝑏𝑏�⃗ = (−2, 4 , −3) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑜𝑜⃗ = (1,2, −1).

Bestäm en enhetsvektor parallell med vektorn 2𝑎𝑎⃗ + 𝑏𝑏�⃗ + 2𝑜𝑜⃗.

b) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna (2, −3, 4), (1, 3, −1) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ (3, −1, 2).

Lösning:

a) Bestäm vektorn

𝑣𝑣⃗

⃗

⃗

⃗

Volymen | 2(6 1) 3(2 3) 4( 1 9) 15 . .

2 1 3

1 3 1

4 3 2

| = − + + + − − = ve

−

−

−

= Svar: a) ¹

3(2,2, 1) b) 15 v. e.

Rättningsmall: a) korrekt metod med mindre räknefel=1p b) korrekt metod med mindre räknefel=1p

Uppgift 2. (3p)

För vilka α ochβ är vektor a=(3,−1,α) vinkelrät mot vektor b =(2,β,1)om |b|=3 ? Lösning:

Eftersom a⊥b då gäller att skalärprodukten a• b=0

Samtidigt kan skalärprodukten beräknas som a•b=(3,−1,α)•(2,β,1)=6−β+α Alltså, 6−β+α =0 (1)

Eftersom |b|=3 då gäller att |b|= 2² +β²+1² = 5+β² Alltså, 5+β² =3 (2)

Lösning av (2) ger att β =±2 Om β =2 då (1)⇒α =−4 Om β =−2 då (1)⇒α =−8

Svar: fall 1 för α =−4och β =2 fall 2 för α =−8 och β =−2

Rättningsmall: a) Korrekt en av ekvationer 6−β+α =0 eller 5+β² =3 ger 1p.

Båda ekvationer korrekta ger 2p. Allt korrekt=3p.

Uppgift 3. (1p)

Beräkna arbetet som uträttas av kraften F =(1,1,1) då ett objekt förflyttas rätlinjig från punkten P till Q om P=(−1,−1,−1)ochQ=(2,1,3). (Enheter: N, m och J.)

Lösning:

Arbetet W =F⋅PQ, där PQ=(3,2,4) 9

) 4 , 2 , 3 ( ) 1 , 1 , 1

( ⋅ =

=

W J

Svar: 9 (J)

Rättningsmall: Rätt eller fel.

Uppgift 4. (2p)

Bestäm avståndet mellan följande parallella plan x+2y+2z−5=0 och 0

2 2 2 + − = + y z

x .

Lösning:

De två givna planen är parallella eftersom de har parallella normalvektorer, (faktisk samma normalvektor (1, 2,2) ).

Vi väljer en (vilket som helst) punkt i planet x+2y+2z−5=0, t ex punkten A=(1,1,1) och beräknar avståndet från A till det andra planet.

3 1

| 3 2 2 1

2 1 2 1 2 1

|1

|

| 2 2 2 2 2 2

1 1

1 = =

+ +

−

⋅ +

⋅ +

= ⋅ +

+

+ +

= +

C B A

D Cz By d Ax

Svar:Avståndet =1

Rättningsmall: Korrekt metod med räknefel=1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 5. (2p)

a) Bestäm determinanten för matrisen A = �1 2 3 2 3 4 4 5 6�.

b) Bestäm inversen till matrisen B = �cos 𝑣𝑣 −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣 �. Lösning:

a) det(A)= 1(18 20) 2(12 16) 3(10 12) 0 6

5 4

4 3 2

3 2 1

=

− +

−

−

−

=

b) 𝐴𝐴⁻¹= _{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2𝑥𝑥+𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠}¹ _2𝑥𝑥� 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣� = �𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣

−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑣𝑣�

Rättningsmall: a) rätt eller fel b) rätt eller fel

Uppgift 6. (3p) a) (1p) Om

) 3

arg( π

=

z vad är då arg(iz ? ) b) (2p) Givet att z₁ e⁴ⁱ

π

= och z e ^{3 i}

2 2

π

−

= bestäm ₂

2 1

) (z

z .

Lösning:

a) 6

5 3 ) 2

arg(

) arg(

)

arg( π π π

= +

= +

= i z

iz .

b) Metod 1: ^{i i i}

i i

e e

e e

e z

z ⁽₄ ⁴₃^{) (3}₁₂ ¹⁶₁₂^{) 19}₁₂

3 4 4 2 2

1

) (

π π

π π

π π π

=

=

=

= ₋ ^{+ +}

Metod 2: )

3 sin4 3

)(cos4 sin4

(cos4 )

(

3 ) (4 4) (

3 4 4 2 2

1 ^{π π} π π π π

π π

i i

e e e

e z

z ^{i i}

i i

+ +

=

=

= ₋

i i

i )

4 6 4 ( 2 4 )

6 4 ( 2 2 )

3 2 )( 1 2

2 2

( 2 + − − = − + + − −

=

Svar: a) 6 5π

b) e¹²ⁱ

19π

(eller )i

4 6 4 ( 2 4 )

6 4

(− 2 + + − − ).

Rättningsmall: a) rätt eller fel

b) Korrekt metod med mindre räknefel=1p. Allt korrekt=2p

Uppgift 7. (3p)

Ekvationen z⁴−z³+5z²+z+10=0 har en lösning z₁=1−2i. Bestäm alla lösningar till ekvationen.

Lösning:

Eftersom ekvationen har reella koefficienter och en lösning z₁ =1−2iså är z₂ =1+2i också en lösning. Vi delar polynomet z⁴ −z³+5z² +z+10 med produkten

5 2 4

) 1 ( ) 2 1 )(

2 1 ( ) )(

(z−z₁ z−z₂ = z− + i z− − i = z− ²− i² =z²− z+ . Polynomdivisionen ger

2 )

5 2 /(

) 10 5

(z⁴−z³+ z²+z+ z²− z+ =z² +z+ )

5 2

(z⁴− z³+ z²

−

) 5 2 (

10

2 3 3

z z z

z z

+

−

−

+ +

) 10 4 2 (

10 4 2

2 2

+

−

−

+

− z z

z z

0

Vi har kvar ekvationenz² + z+2=0 _{som gör}

2 7 1

3

z =− +i och

2 7 1

4

z =− −i

Svar: z₁=1−2i, z₂ =1+2i,

2 7 1

3

z = − +i och

2 7 1

4

z = − −i

Rättningsmall: Korrekt produkt (z−z₁)(z−z₂)= z²− z2 +5 _{ger 1p.}

Korrekt polynomdivision och kvoten z² + z+2 ger totalt 2 p.

Allt korrekt=3p.

Uppgift 8. (3p)

a) (2p) För vilka värden på 𝑎𝑎 har följande ekvationssystem med avseende på x, y och z unika lösningar (alltså exakt en lösning)?







=

−

=

− +

= + +

1 2 4

3 2

z ay

z y ax

z y x

b) (1p) Lös ekvationssystemet för a=0.

Lösning:

det(𝐴𝐴) = −𝑎𝑎(−2 − 𝑎𝑎) − 1(8 − 𝑎𝑎) = 𝑎𝑎²+ 3𝑎𝑎 − 8 det(𝐴𝐴) = 0 →𝑎𝑎²+ 3𝑎𝑎 − 8 = 0 → 𝑎𝑎1,2= −3

2 ±

√41 2 Svar: Ekvationssystemet har unika lösningar för alla 𝑎𝑎 ≠−³₂±^√41₂

Vi löser ekvationssystemet för a=0. Rad 3 ger då direkt att 𝑧𝑧 = −1 Rad 2 ger 𝑦𝑦 =¹₄ och rad 3 ger slutligen 𝑥𝑥 =¹⁵₈

Svar: Med valet av 𝑎𝑎 = 0 fås lösningen 𝑥𝑥 =¹⁵₈ , 𝑦𝑦 =¹₄ 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑧𝑧 = −1 Rättningsmall: a) Korrekt determinant ger 1p. Allt korrekt=2p

b) rätt eller fel.

Uppgift 9. (3p)

Bestäm strömmarna i₁, i ₂ och i ₃ i nedanstående nät då

R₁ = 1 ohm, R₂ = 2 ohm , R₃ = 3 ohm , V₁= 12 volt och V₂= 19 volt.

R1

V1

R2

R3

V2 i1

i2

i3

A B

Lösning:

Från nätet får vi följande ekvationer:







=

−

−

=

−

− +

=

0 0

2 2 3 3 2

2 2 1 1 1

3 1 2

i R i R V

i R i R V

i i i

eller







= +

= +

= +

−

 ⇔







=

−

−

=

−

− +

=

19 3 2

12 2

0

0 2 3 19

0 2 12

3 2 2 1

3 2 1

2 3

2 1

3 1 2

i i i i

i i i

i i

i i

i i i

Lösningen till systemet är i1=2 i2 =5 i₃=3 (ampere).

Svar: i1=2 i2 =5 i₃=3 (ampere).

Rättningsmall: a) Korrekt uppställning av ekvationssystem ger 1p.

Korrekt metod och en av strömmarna=2p Allt korrekt=3p.