TENTAMEN 29 okt 2014, HF1006 och HF1008 Moment:

TENTAMEN 29 okt 2014, HF1006 och HF1008

Moment: TEN1 (Linjär algebra), 4 hp, skriftlig tentamen

Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008, Linjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1

Tid: 8.15-12.15, Plats: Campus Haninge

Lärare: Marina Arakelyan, Fredrik Bergholm, och Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: Maxpoäng = 24

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

--- Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

---

Uppgift 1.(4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Punkterna A(1,1,3) B(2,0,3) C(2,1,0) och D(0,2,0) är hörn i en pyramid.

a) Beräkna vinkeln mellan sidorna AB och AC. (1poäng) b) Beräkna arean av triangeln ABC. (1poäng)

c) Beräkna pyramidens volym (2 poäng )

Uppgift 2.(2p) För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

= + +

1 3 5

1 2

1

z y x

z y x

z y ax

A) exakt en lösning B) oändligt många lösningar C) ingen lösning?

Var god vänd.

Uppgift 3. (2p) I triangeln ABC är AB= och c BC= . Punkten a B delar sida AC i 1

förhållandet 1:3 dvs B1C=3AB1. Utryck vektorn AB som en linjär kombination av a₁ och c . (Med andra ord ange vektorn AB₁ på formen AB1= pa+qc).

Uppgift 4. (2p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )

7 , 3 , 1

=(

u och vr=(1,−1,−3).

Uppgift 5. (4p) Ett plan α har en normalvektor nr = (1,0,3) . Punkterna A = (1,0,1) och B = (1,2,1) ligger i planet α . Låt L beteckna den linje som går genom punkterna A och B.

a) Bestäm en vektor i planet α som är vinkelrät mot linjen L. (2p)

b) Bestäm en vektor i planet α som bildar 45 graders vinkel mot linjen L. (2p)

Uppgift 6. (2p) Lös matrisekvationen med avseende på X C

BX X

A = + då ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 3 2

5

A 5 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 1 1

2

B 3 och ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

1 3

2

C 1 .

Uppgift 7. (4p)

a) (1p) Bestäm realdelen av det komplexa talet ⁶ 3

2 i

i

u i +

−

= − .

b)(1p) Bestäm absolutbeloppet av det komplexa talet

i i w i

+

= − 1

) 2 3

( ²

10

.

c)( 2p) z₁= är en 2i lösning till ekvationen 3z³+z² +12z+4=0. Bestäm alla lösningar.

Uppgift 8. (2p)

a) Skriv det komplexa talet −4 2 +4i 2 på potensformen.

b) Lös ekvationen z³ =−4 2+4i 2och ange alla lösningar på potensform eller på polär form (välj själv).

Uppgift 9. (2 p) För en matris A av typen 3×3 gäller Abr br

= för varje kolonnvektor br av typen 3×1. Bevisa att

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A .

Lycka till.

LÖSNINGSFÖRSLAG OCH RÄTTNINGSMALL:

Uppgift 1.(4p) (Denna uppgift behöver du som är godkänd på KS1 inte göra.) Punkterna A(1,1,3) B(2,0,3) C(2,1,0) och D(0,2,0) är hörn i en pyramid.

a) Beräkna vinkeln mellan sidorna AB och AC. (1poäng) b) Beräkna arean av triangeln ABC. (1poäng)

c) Beräkna pyramidens volym (2 poäng )

Lösning:

a) Skalärprodukten:

AC AB

AC v AB

v AC AB AC

AB ⋅

= ⋅

⋅ ⇒

=

⋅ cos cos

10

och 2

) 3 , 0 , 1 ( och ) 0 , 1 , 1 (

=

=

−

=

−

=

AC AB

AC AB

1 ) 3 ( 0 0 ) 1 ( 1

1⋅ + − ⋅ + ⋅ − =

=

⋅ AC AB

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

= ⎛

= ⇒

= 10

arccos 5 10

5 20

cosv 1 v

Svar: _⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ 10 arccos 5

b) Triangeln ABC som spänns upp med hjälp av vektorerna AB och AC har arean

| 2|

1 AC AB

A= ×

k j i k

j i AB

AC =− − −

−

−

=

× 3 3

0 1 1

3 0 1

19

|

|AC× AB = .) . ( 2 19

1 ae

A=

Svar: 19( . .) 2

1 ae

A=

c) Pyramidens volym beräknas med hjälp av skalärtrippelprodukt:

( )

6

1 × ⋅ = − = − = − −

= AC AB AD därAC AB AD

V

6

| 1 3 1 1

0 1 1

3 0 1 6|

1 =

−

−

−

−

=

V ( . .)

2

| 1 3 6|

| 1 0 1 2

0 1 1

3 0 1

| = = ve

−

−

−

(R1*(-1)+R3) Svar: ( . .)

2 1 ve

Rättningsmall: a) Rätt cos v ger 1 poäng b) Rätt eller fel c) Korrekt metod med mindre räknefel =1p

___________________________________________________________________________

_______

Uppgift 2.(2p) För vilka värden på a har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

= + +

1 3 5

1 2

1

z y x

z y x

z y ax

A) exakt en lösning

B) oändligt många lösningar C) ingen lösning

Lösning:

Systemets determinant är D= a+3.

3 0

3

0⇒ + = ⇒ =−

= a a

D ,

Om D≠0 dvs a≠−3 har systemet exakt en lösning.

För a=−3får vi systemet

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

= + +

−

1 3 5

1 2

1 3

z y x

z y x

z y x

⇒ (Vi byter plats på ekv1 och ekv2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

−

= + +

−

= + +

1 3 5

1 3

1 2

z y x

z y x

z y x

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

e2 e1

e2 3e1 ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

= + +

2 4 7

4 4

7

1 2

z y

z y

z y x

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+ e3 e2 -

⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

= +

= + +

2 0

4 4

7

1 2

z y

z y x

⇒ Ingen lösning om a=−3.

Svar: A) Exakt en lösning om a≠−3

B) Fallet B ( dvs oändligt många lösningar) kan inte förekomma.

C) Ingen lösning om a=−3

Rättningsmall: Korrekt metod och två rätta svar ( A, B eller C) ger 1p. Allt korrekt =2p.

Uppgift 3. (2p) I triangeln ABC är AB= och c BC= . Punkten a B delar sida AC i 1

förhållandet 1:3 dvs B1C=3AB1. Utryck vektorn AB som en linjär kombination av a₁ och c . (Med andra ord ange vektorn AB₁ på formen AB1= pa+qc).

Lösning:

B

A B1 C

c ^a

( )

AB

a c BC AB AC

AC AB

AC AB

AC AB AB

AC C B AB

+

=

+

= +

=

⇒ =

=

= +

= +

4 1

4 4 1

3

1

1 1

1 1

1 1

Svar: ^{AB1 =} ₄¹

( )

Rättningsmall: 1 poäng om man inser att AB AC 4 1

1 = .

Uppgift 4. (2p) Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna )

7 , 3 , 1

=(

u och vr=(1,−1,−3). Lösning:

Arean= |ur × . vr| Först

( )

1 1

3 ,1 3 1

7 , 1 3 1

7

3 = − −

−

− −

−

= −

× v ur r

=

−

−

=

×

3 1 1

7 3 1

k j i v u

r r r

r 2 10 4 ( 2,10, 4)

1 1

3 1 3 1

7 1 3 1

7

3 =− + − = − −

+ −

− −

−

− j k i j k

ir r r r r r

Längden av vektorn ur × är vr |ur × = vr| (−2)² +10² +(−4)² = 120 Svar: Arean = 120 a.e.

Rättningsmall: 2p om allt är korrekt. 1p för korrekt vektorprodukt. 1p för korrekt metod (med mindre räknefel).

Uppgift 5. (4p) Ett plan α har en normalvektor nr = (1,0,3) . Punkterna A = (1,0,1) och B = (1,2,1) ligger i planet α . Låt L beteckna den linje som går genom punkterna A och B.

a) Bestäm en vektor i planet α som är vinkelrät mot linjen L. (2p)

b) Bestäm en vektor i planet α som bildar 45 graders vinkel mot linjen L. (2p) Lösning:

a) Vektorn u = (1,2,1)−(1,0,1)=(0,2,0) är linjens riktningsvektor.

Vi söker en vektor som ligger i planet och som är vinkelrät mot linjens riktningsvektor.

Alla vektorer som ligger i planet är vinkelräta mot nr = (1,0,3). Därför är v vinkelrät mot både nr

= (1,0,3) och u = (0,2,0).

En sådan vektor är

) 2 , 0 , 6 ( 2 2 6

0 0 1 0 0

3 1 0 2

3 0 0 2 0

3 0

1 = − + =− + = −

=

×

= i j k i k

k j i u n

v r r r r r

r r r

b) Vi normerar vektorerna u och v: Beteckna

|

| ˆ

u

u= u = (0,2,0) (0,1,0) 4

1 = ^och )

10 , 1 0 10, ( 3 ) 2 , 0 , 6 40( 1

|

|

ˆ= = − = −

v

v v .

Vinkelräta enhetsvektorerna uˆoch vˆ spänner upp en kvadrat. Därför blir vinkeln mellan diagonalen (uˆ+vˆ) och linjen som bestäms av uˆ lika med 45^o. Alltså är vektorn

10) , 1 1 10 , ( 3 10) , 1 0 10, ( 3 ) 0 , 1 , 0 ˆ (

ˆ+ = + − = −

=u v d

en vektor som bildar 45 graders vinkel mot linjen.

Anmärkning: Den andra diagonalen uˆ−vˆ bildar också en 45 graders vinkel mot linjen.

Svar a) (−6,0,2) ( eller en annan vektor parallell med (−6,0,2), till ex. (−3,0,1)⁾

b) )

10 , 1 1 10, ( −3

(eller en annan vektor som är parallell med ) 10 , 1 1 10, ( −3

)

Rättningsmall a): 2p om allt är korrekt. 1p för korrekt metod (med mindre räknefel).

Rättningsmall b): 2p om allt är korrekt. 1p för korrekt metod (med mindre räknefel).

Uppgift 6. (2p) Lös matrisekvationen med avseende på X C

BX X

A = + då ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 3 2

5

A 5 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 1 1

2

B 3 och ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

1 3

2

C 1 .

Lösning: Från AX=BX +C har vi C

BX X

A − = eller C

X B A− ) =

( (*)

Matrisen ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

− 1 2

3 B 2

A har determinanten =1 och är därmed inverterbar.

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

− ⁻

2 1

3 2 1 ) 1 (A B ¹ Från (*) har vi

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

−

= ⁻

4 5

7 7 1 3

2 1 2 1

3 ) 2

(A B ¹C

X

Svar: ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

4 5

7 X 7

Rättningsmall: 2p om allt är korrekt. 1p för korrekt ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

− ⁻

2 1

3 ) 2

(A B ¹ .

Uppgift 7. (4p)

a) (1p) Bestäm realdelen av det komplexa talet ⁶ 3

2 i

i

u i +

−

= − .

b)(1p) Bestäm absolutbeloppet av w då

i i w i

+

= − 1

) 2 3

( ²

10

.

c)( 2p) z₁= är en 2i lösning till ekvationen 3z³+z² +12z+4=0. Bestäm alla lösningar.

Lösning:

a)

=

− −

=

−

⋅

− +

− +

= − + +

⋅ +

−

= −

− +

= − 1

10 ) 7 1 ( 9 1

2 3 6 3

3 3 2 3

2

2 2 2

4

6 i

i i i i i

i i i i i i

i u i

10 10

3 10

10

7 i i

− −

− =

= −

Därmed är Re(u)=

10

−3 .

b)

2 13 1

1 ) 4 9 ( 1

| 1

|

| 2 3

|

|

| | 1

) 2 3

| (

|

|

2 10

2 10

2 10

+ = +

= ⋅ +

= − +

= −

i i i

i i w i

c) Ekvationen har reella koefficienter och z₁= är en lösning implicerar att 2i z₂ =−2iär också en lösning. Därför är polynomet 3z³ +z² +12z+4delbart med

4 )

2 )(

2 ( ) )(

(z−z₁ z−z₂ = z− i z+ i =z²+

Polynomdivision ger (3z³+z² +12z+4)/(z²+4)=3z+1. Från 3z+1=0har vi z₃ =−1/3

Svar:

a) 10

−3 , b)

2

13 c) z₁= , 2i z₂ =−2i, 3z₃=−1/

Rättningsmall: a,b rätt eller fel. c) 1 poäng om man kommer till faktorn z²+4. Uppgift 8. (2p)

a) Skriv det komplexa talet −4 2 +4i 2 på potensformen.

b) Lös ekvationen z³ =−4 2+4i 2 och ange alla (tre) lösningar på potensformen.

Lösning:

a) r= z| |= (−4 2)² +(4 2)² = 64 =8, arg(z) =

4 3π

θ = ( rita grafen) Därmed blir

i

e

i ⁴

3

8 2 4 2 4

π

= +

−

b) Från z e⁴ⁱ

3

3 8

π

= ^{har vi 64 3 ) , 0,1,2}

2 4 / (3

3 =

= e ⁺ k

z ⁱ

kπ π

dvs

2 , 1 , 0 ,

2

2 4 / (3

=

= e

k

z

kπ π

Svar:

a) e⁴ⁱ

3

8

π

b) 2 ^{3 )} , 0,1,2

2 4 / (3

=

= e ⁺ k

z ⁱ

kπ π

eller

2 , 1 , 0 ,

3 ) 2 4 / sin(3 3 )

2 4 / cos(3

2 ⎥⎦⎤ =

⎢⎣⎡ + + +

= k k

k i

z π π π π

Rättningsmall: 1 poäng för varje del.

Uppgift 9. (2 p) För en matris A av typen 3×3 gäller Abr br

= för varje kolonnvektor br av typen 3×1. Bevisa att

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A .

Lösning:

Låt

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

k h g

f e d

c b a

A .

Eftersom Abr br

= gäller för varje kolonnvektor br

( av typen 1×3), är relationen uppfylld för följande tre speciella fall

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= 0 0 1 br

,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= 0 1 0 br

och

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= 1 0 0 br

Därför

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⇒

0 0 1 0

0 1 0 0 1

g d a

k h g

f e d

c b a b b Ar r

dvs a=1,d =0,g=0. På samma sätt

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⇒

0 1 0 0

1 0 0 1 0

h e b

k h g

f e d

c b a b b Ar r

dvs b=0,e=1,h=0, och

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= ⇒

1 0 0 1

0 0 1 0 0

k f c

k h g

f e d

c b a b b Ar r

dvs c=0,f =0,k =1,

Därmed blir

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A vilket skulle bevisas.

Rättningsmall: Rätt eller fel.