Tentamen TEN1, HF1012, 31 maj 2016
Matematisk statistik Kurskod HF1012
Skrivtid: 13:15-17:15
Lärare och examinator : Armin Halilovic
Hjälpmedel: Bifogat formelhäfte ("Formler och tabeller i statistik ") och miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan ska lämnas in tillsammans med lösningar.
Poängfördelning och betygsgränser: Tentamen ger maximalt 32 poäng.
Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 30, 24, 20, 16 respektive 12 poäng.
Komplettering: 11 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
=======================================================
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.7 , P(A∩ B)=0.2 och P(A)=0.4 a) Bestäm sannolikheten P(Bc)
b) Bestäm sannolikheten P(Ac∩B) .
c) Avgör om A och B är oberoende händelser.
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. a) Bestäm konstanten k.
b) Beräkna väntevärdet E(ξ).
− ≤ ≤
= för övrigt
x x
x k
f 0
3 0
), 3 ) (
(
Sida 1 av 15
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markov kedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2. har övergångsmatrisen
P=
3 . 0 7 . 0
6 . 0 4 .
0 .
a) Systemet startar i E1. Bestäm sannolikheten att systemet är i E2 efter 2 steg.
b) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Uppgift 4. (3p) En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen
− ≤ ≤
= 0 för övrigt.
1 x 0 om ) 1 ) (
(
x
2x c f
Bestäm a) väntevärdet till X b) variansen till X c) medianen till X.
Uppgift 5. (2p) I en låda finns 50 röda 40 gröna och 10 blå kulor.
a) Vi tar 12 kulor på måfå utan återläggning. Bestäm sannolikheten att få (exakt) 5 röda, 4 gröna och 3 blå kulor.
b) Vi tar 12 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att få (exakt) 6 röda, 2 gröna och 4 blå kulor.
Du ska svara med binomialkoefficienter.
Uppgift 6. (3p) En elektronisk komponent fungerar i mer än 100 timar med sannolikheten p=0.80. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 11 sådana
komponenter, fungerar i mer än 100 timmar. ( Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A och B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra.
K4 K1
K1
K5
A K6 B
K7 K1K8
K9 K10 K11
K1 K1
K1
K2
K3
Uppgift 7. (3p) Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har gjort 5 mätningar och fått följande observationer.
Metod 1 72 76 78 76 73
Metod 2 71 74 79 73 74
Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna?
Sida 2 av 15
Uppgift 8. (3p) Vikten av en tablett är en s.v. med väntevärdet 0.75 g och standardavvikelsen 0.08 g. Beräkna sannolikheten att 100 tabletter väger högst 76 g.
Uppgift 9. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/3 . Ankomstintensiteten är λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ =5 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4 och p5.
b) Beräkna N = medelantal kunder i systemet
c) Beräkna hur många kunder i genomsnitt avvisas under en timme.
Uppgift 10. (3p)
a) Låt X vara en Poissonfördelad s.v. med parameter λ. Bevisa att väntevärdet E(X)= λ.
b) Låt Y vara en exponentialfördelad s.v. med parameter λ. Bevisa att väntevärdet E(Y)=
λ 1 .
Uppgift 11. (3p) Vi betraktar ett könät som består av två M/M/1 kösystem ( CPU och I/O) . Nya program (kunder) kommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten λ=7 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x =2 sekunder och 1
medelbetjäningstiden i I/O är x =5 sekunder . 70% av program lämnar nätet efter betjäning i 2 CPU men 30% fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. 11).
Beräkna medelantal program (kunder) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O )
Fig. 11.
Var god vänd.
I/O CPU
µ2 λ
µ1
70%
30%
Sida 3 av 15
Beteckningar och formler för ett M/M/M system:
N Medelantal kunder i systemet, N = Nq +Ns N q Medelantal kunder i kön
N s Medelantal kunder i betjänarna
x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x =E(x~)
w~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W =E(w~)
s~ Total tid i systemet för en kund; s~=x~+w~ T Medel totaltid i systemet för en kund ,
x W T = +
λ Ankomstintensitet
λeff Effektiv ankomstintensitet µ Betjäningsintensitet
ρ
Erbjuden trafik , µ ρ = λ
p k Stationära sannolikheter;
p är sannolikheten för k kunder i systemet k
Några formler för ett M/M/1 kösystem:
I ett M/M/1 kösystem är µ > (annars bildas en obegränsad kö) λ
s
q N
N
N = + , T =W +x, µ
= 1 x
ρ
−
0
= 1
p
,p
k= p
0⋅ ρ
kρ
ρ
= −
N 1
, = µ−1λ TFördelningsfunktionen för den totala tiden i systemet för en kund är t
s
t P s t e
F
~( ) = ( ~ ≤ ) = 1 −
−(µ−λ)Littles formler:
N =λeff ⋅T (I ett M/M/1 system λeff =λ, eftersom ingen kund avvisas) Nq =λeff ⋅W
Ns =λeff ⋅x
~) (s E T =
Sida 4 av 15
FACIT
=======================================================
Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.
För händelserna A och B gäller att P(A∪ B)=0.7 , P(A∩ B)=0.2 och P(A)=0.4 a) Bestäm sannolikheten P(Bc)
b) Bestäm sannolikheten P(Ac∩B) .
c) Avgör om A och B är oberoende händelser.
Lösning:
Från P(A∪ B)=0.7, P(A∩ B)=0.2 och P(A)=0.4 Lösning:
a)
Från P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) får vi 5
. 0 ) ( 2 . 0 ) ( 4 . 0 7 .
0 = +P B − ⇒P B =
Därmed P(Bc)=1−P(B)=0.5. b)
Från ovanstående diagram har vi
3 . 0 2 . 0 5 . 0 ) ( ) ( )
(A ∩B =P B −P A∩B = − = P C
c) P(A∩ B)=0.2 och P(A)⋅ BP( )=0.4⋅0.5=0.2
händelser oberoende
är och ) ( ) ( )
(A B P A P B A B
P ∩ = ⋅ ⇒
Svar: a) P(Bc)=0.5 b) P(Ac∩B)= 0.3 c) A ochBär oberoendehändelser Rättningsmall: 1p för varje del
Sida 5 av 15
Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. a) Bestäm konstanten k.
b) Beräkna väntevärdet E(ξ). Lösning:
a)
x k x k dx x k dx x f Arean
2 ) 9 3 2
( )
3 ( )
(
3
0
3
0 3 2
0
∫
∫
⇒ − = − ==
9 1 2
2
1⇒9 = ⇒ =
= k k
Arean
b) 1
3 3 2
9 ) 2 3
9( ) 2
( )
(
3
0 3 3 2
0
2 3
0
=
−
=
−
=
=
∫
xf x dx∫
x x dx x xE ξ Svar: a)
9
= 2
k , b) E(ξ)=1 Rättningsmall: 2p för a, 1p för b)
Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.
En Markov kedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2. har övergångsmatrisen
P=
3 . 0 7 . 0
6 . 0 4 .
0 .
a) Systemet startar i E1. Bestäm sannolikheten att systemet är i E2 efter 2 steg.
b) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.
Lösning:
P=
3 . 0 7 . 0
6 . 0 4 .
0 .
a) Start sannolikhetsvektor är p(0)=(1,0)
(eftersom systemet startar i tillståndet E1.)
− ≤ ≤
= för övrigt
x x
x k
f 0
3 0
), 3 ) (
(
Sida 6 av 15
Vi beräknar
) 6 . 0 , 4 . 0 3 ( . 0 7 . 0
6 . 0 4 . ) 0 0 , 1 ( ) 0 ( ) 1
( =
=
= p P
p
,
) 42 . 0 , 58 . 0 3 ( . 0 7 . 0
6 . 0 4 . ) 0 6 . 0 , 4 . 0 ( ) 1 ( ) 2
( =
=
= p P p
,
Sannolikheten för tillståndet E2 efter 2 steg är 0.42 (andra koordinaten i vektorn p(2) ).
b) Låt q=(x,y) vara en stationär sannolikhetsvektor.
Då gäller
q =P q och x+ y=1
Vi skriver q =P q på komponent form:
y y x
x y y x
x y
x + =
=
⇒ +
=
3 . 0 6 . 0
7 . 0 4 . ) 0 , 3 ( . 0 7 . 0
6 . 0 4 . ) 0 , (
och lägger till ekvationen
x+ y=1 (q är en sannolikhetsvektor) Därmed har vi systemet:
= +
=
−
= +
−
⇒
= +
= +
= +
1
0 7 . 0 6 . 0
0 7 . 0 6 . 0 1
3 . 0 6 . 0
7 . 0 4 . 0
y x
y x
y x
y x
y y x
x y x
(Andra ekvationen är ekvivalent med första.) Från första ekvationen har vi
7
y= 6xsom vi substituerar i tredje ekvationen och får
13 1 7
7 1 13 7
6 = ⇒ = ⇒ =
+ x x x
x . Därmed
13 1− = 6
= x
y
Svar: a) Sannolikheten för tillståndet E2 efter 2 steg är 0.42 b) q=(7/13, 6/13)=(0.538461, 0.461538) Rättningsmall: 1p för korrekt p(2)=(0.58,0.42)
. Totalt 2 poäng för korrekt a delen.
1p för b delen
Sida 7 av 15
Uppgift 4. (3p) En kontinuerlig stokastisk variabel X har täthetsfunktionen
− ≤ ≤
= 0 för övrigt.
1 x 0 om ) 1 ) (
(
x
2x c f
Bestäm a) väntevärdet till X b) variansen till X c) medianen till X.
a)
3 2 ) 3
1 ( )
(
1
0 1 3
0
2 1
0
c x x
c dx x c dx x f
Arean =
−
=
−
⇒
=
∫ ∫
2 1 3
3
1⇒2 = ⇒ =
= c c
Arean
8 3 4
2 2 ) 3 2(
) 3 ( )
(
1
0 4 1 2
0
3 1
0
=
−
=
−
=
=
∫
xf x dx∫
x x dx x xE ξ
b) 5
1 5 3 2 ) 3 2(
) 3 (
1
0 5 1 3
0
4 2 1
0
2 =
−
=
−
=
∫
∫
x f x dx x x dx x x= ) (ξ
Var 320
19 64
9 5 ) 1
( 2
1
0
2 − = − =
∫
x f x dx µc) Vi löser ekvationen (m.a.p. m )
5 . 3 0
2 5 3 . 0 ) 1 2( 5 3 . 0 ) (
0 3
0
2
0
=
−
⇒
=
−
⇒
=
∫
∫
x x
x t
t dt
t dt
t f
0 1 3
1 2 3
1 3 2
3 3 3
3= ⇒ − = ⇒ − − =
−
⇒ x x x x x
x .
Ekvationen är av grad 3. En numerisk lösning, som ligger mellan 0 och 1,kan vi få från grafen till funktioneny=3x−x3−1:
Vi har medianen≈0.35.
(Man kan även använda Newton-Raphsons metod för att numerisk lösa ovanstående ekv) Sida 8 av 15
Svar: a) = ≈ 8 ) 3 (ξ
E 0.375, b) = ≈
320 ) 19 (ξ
Var 0.059375 c) medianen=0.35 Rättningsmall: 1p för a, 1p för b.
c: 1p om man kommer till ekvationen 3x− x3−1=0
Uppgift 5. (2p) I en låda finns 50 röda 40 gröna och 10 blå kulor.
a) Vi tar 12 kulor på måfå utan återläggning. Bestäm sannolikheten att få (exakt) 5 röda, 4 gröna och 3 blå kulor.
b) Vi tar 12 kulor på måfå med återläggning. Bestäm sannolikheten att få (exakt) 6 röda, 2 gröna och 4 blå kulor.
Du ska svara med binomialkoefficienter.
Svar:
=
12 100
3 10 4 40 5 50
pa ,
4 2 6
10 1 5 2 2 1
! 4
! 2
! 6
!
12
⋅
= ⋅ pb
Rättningsmall: 1p för a, 1p för b
Uppgift 6. (3p) En elektronisk komponent fungerar i mer än 100 timar med sannolikheten p=0.80. Bestäm sannolikheten att nedanstående system, som består av 11 sådana
komponenter, fungerar i mer än 100 timmar. ( Vi menar att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan A och B.) Komponenter fungerar oberoende av varandra.
Lösning:
Blok 1 består av två (parallella ) och fungerar om minst en väg fungerar.
Sannolikheten för att Väg 1 fungerar är p2 . Väg 2 fungerar med sannolikheten p.
P(Ingen väg i block1 fungerar)= (1- p2 )(1-p) . P(Block 1 fungerar)= P(minst en väg fungerar)
=1- P(Ingen väg i block1 fungerar)=1-(1- p2 )(1-p)= 0.928
Sida 9 av 15
Blok 2 består av 4 (parallella ) vägar och fungerar om minst en väg fungerar.
P( Väg 1 i block 2 fungerar)= p2 , P( Väg 2 i block 2 fungerar)= p, P( Väg 3 i block 2 fungerar)= p2 , P( Väg 1 i block 2 fungerar)= p3 ,
P(Block 2 fungerar)= P(minst en väg fungerar)
=1- P(Ingen väg i block1 fungerar)=1- (1- p2 )(1-p) (1- p2 )( 1- p3 )= 0.98735104 Slutligen,
P(system fungerar) = P(Block 1 fungerar)* P(Block 2 fungerar)=
0.928*0.98735104=0.91626176512 Svar: P(system fungerar) = 0.91626176512
Rättningsmall: 1p för varje block. Allt korrekt=3p
Uppgift 7. (3p) Man vill jämföra två metoder för mätning av en vis variabel som anses normalfördelad med okänd standardavvikelse. Man har gjort 5 mätningar och fått följande observationer.
Metod 1 72 76 78 76 73
Metod 2 71 74 79 73 74
Kan man med 95 % sannolikhet påstå att det finns skillnad mellan metoderna?
Lösning:
X 72 76 78 76 73
Y 71 74 79 73 74
Z=X-Y 1 2 –1 3 –1
8 .
=0 z
σ*=
( ) 3 . 2 1.78885438 2 1
1
1
2
= =
− ∑ −
= n
i
i
z
n z
Sida 10 av 15
Eftersom n=5 har vi n-1 = 4 frihetsgrader.
025 . 0 2 / 05 . 0
%
5 = ⇒ =
= α
α dvs F(x)= 1−α/2=0.975
Från tabellen för t-fördelning med r=4 frihetsgrader får vi 776
. 2 ) 1
2(
/ − =
α n
t
Konfidensintervall är
) 02 . 3 , 42 . 1 ( ) ) 1 ( ,
) 1 ( (
*
2 /
*
2
/ − + − = −
− z t n n
n n t
z σ σ
α
α
Svar: Eftersom 0 ligger i intervallet kan man inte med 95 % konfidensgrad påstå att det finns skillnad mellan metoderna.
Rättningsmall: 1p för standarddavvikelsen, + 1p för intervallet (−1.42,3.02). Allt korrekt= 3p (-1 p om svaret inte är fullständigt)
Uppgift 8. (3p) Vikten av en tablett är en s.v. med väntevärdet 0.75 g och standardavvikelsen 0.08 g. Beräkna sannolikheten att 100 tabletter väger högst 76 g.
Lösning:
Låt ξk beteckna vikten för passageraren k.
08 . 0 ,
75 . 0 )
( = =
=E s
m ξk
Låt ξ =ξ1+ξ2 +...+ξ100.
Då gäller ξ1+ξ2 +...+ξ100 är approximativt N(100⋅m, s 100) (formelblad) d v s ξ =ξ1+ξ2+...+ξ100 är approximativt N(75,0.8).
Härav ) (1.25)
8 . 0
75 (76 ) 76
(ξ ≤ =Φ − =Φ
P = 0.8944
Rättningsmall: 1p för N(75,0.8). +1p om man kommer till Φ(1.25). (Allt korrekt=3p) Uppgift 9. (3p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/2/3 . Ankomstintensiteten är
λ =10 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är µ =5 kunder/minut.
a) Bestäm sannolikheterna p0, p1, p2, p3, p4 och p5.
b) Beräkna N = medelantal kunder i systemet
c) Beräkna hur många kunder i genomsnitt avvisas under en timme.
Lösning:
a)
Sida 11 av 15
Först p1=2 p0 , p2 =2 p0 , p3 =2 p0 p4 =2 p0, p5 =2 p0, Substitutionen i p0 +p1+p2+ p3++p4 +p5 =1
ger p0=1/11= 0.09090909091, och därmed p1=2/11= 0.1818181818, p2=0.1818181818
p3= 0.1818181818, p4=0.1818181818, p5= 0.1818181818 b) N=
∑
⋅k
pk
k =0p0+1p1+2p2 +3p3+4p4+5p5 =2.727272727
c) λspärr=
kmax
⋅p
λ =10 p⋅ 5= 1.818181818 kunder per minut.
Under en timme avvisas i genomsnitt 60*1.818181818≈ 109 kunder.
Svar a) se ovan, b) N=2.727272727 c) 109 kunder Rättningsmall: 1p för varje del
Uppgift 10. (3p)
a) Låt X vara en Poissonfördelad s.v. med parameter λ. Bevisa att väntevärdet E(X)= λ.
b) Låt Y vara en exponentialfördelad s.v. med parameter λ. Bevisa att väntevärdet E(Y)= λ 1 .
Lösning:
a) Eftersom X är Poisson-fördelad har vi λ −λ
=
=
= e
p k k X P
k
k !
)
( .
Därför
Sida 12 av 15
∑
∑
∑
∑
∞=
∞ −
=
∞ −
=
−
= −
=
=
=
1 1
0 ! ! ( 1)!
) (
k k
k k
k k
k k
k e
e k k k k e
k p
x X
E λ λ λ λ λ λ
, ( subst. k-1=j)
λ λ λ
λ λ = λ λ =
= ∞ −
=
−
∑
j e ee
j
j *
0 ! , vilket skulle bevisas.
b) Låt Y vara en exponentialfördelad s.v. med parameter λ. Täthetsfunktionen ( frekvensfunktionen) ges av
<
=
−≥
. 0 0
0 x ) om
( x
x e f
λx
λ
Väntevärdet (enligt definitionen) är
∫
∫
∞ −∞
∞
−
=
=
0
) ( )
( Y xf x dx xe dx
E λ
λxFörst beräknar vi den bestämda integralen
∫
xe−λxdxPart. int med u=λx v′=e−λx u′=λoch
λ
λ
=e−− x
v =
λ λ
λ λ
λ λ λ λx λx
x
x e
xe e dx
xe− + − =− − − −
−
∫
.Nu har vi
λ λ
λ λ λ λλ 1] 1
0 [ ] 0 0 [ )
(
0 0
=
−
−
−
=
− −
=
=
− ∞
−
∞
∫
xe− xdx xe x e xY
E (V.S.B)
Anmärkning: Notera att λ>0; därmed lim − =0
∞
→ λ
λx x
e och
1 0 lim ] ' [ lim
lim = = = =
∞
→
∞
→
−
∞
→ x x x x
x
x L H e
e
xe λ xλ λ
λ .
Rättningsmall: 2p om a eller b är korrekt. allt korrekt =3p.
Uppgift 11. (3p) Vi betraktar ett könät som består av två M/M/1 kösystem ( CPU och I/O) . Nya program (kunder) kommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten λ=7 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x =2 sekunder och 1
medelbetjäningstiden i I/O är x =5 sekunder . 70% av program lämnar nätet efter betjäning i 2 CPU men 30% fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. 11).
Sida 13 av 15
Beräkna medelantal program (kunder) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O )
Fig. 11.
Lösning:
Vi betecknar med λ1 och λ2 dem effektiva intensiteter till första (CPU) och andra (I/U) kön.
Då gäller:
1 2
2 1
30 .
0 λ
λ
λ λ λ
= +
= dvs
1 2
2 1
30 . 0 7
λ λ
λ λ
= +
= som ger λ1 =7+0.30λ1
Härav 0.70λ1 =7 dvs λ1 =10. Slutligen λ2 =0.30λ1 =3 Dessutom har vi
2 1 1
1
1 = =
µ x ( program / sec) = 30 program/min.
På samma sätt
5 1 1
2
2 = =
µ x ( program / sec) = 12 program/min.
Eftersom
3 1 30 10
1 1
1 = = =
µ
ρ λ har vi
2 1 3 / 2
3 / 1 1 1
1
1 = =
= − ρ
N ρ .
På samma sätt
4 1 12
3
2 = =
ρ och
3 1 4 / 3
4 / 1 1 2
2
2 = =
= − ρ
N ρ .
Slutligen
6 5
2
1+ =
=N N
N .
I/O CPU
µ2 λ
µ1
70%
30%
Sida 14 av 15
Svar:
6
= 5
N .
Rättningsmall: 1p för korrekta λ1 och λ2. +1p för medelantal kunder i en kö. Allt korrekt=3p.
Sida 15 av 15
