Introduktion till vetenskapliga ber¨ akningar II. Ovning 3, ht 2009 ¨
1. Antag, att funktionen f (x) ¨ar positiv inom intervallet [0, 1] och att integralfunktionen g(y) = Ry
0 f (x)dx, 0 < x ≤ 1 existerar. Skriv ett program, som l¨oser ekvationen g(y)−0.5∗g(1) = 0 med bisektionsmetoden (s¨att delta = 1.e-14). Ber¨akna integraler- na med MATLAB–funktionen quad8(fname,a,b,tol) (eller quadl) (tol=10*eps).
Till¨ampa p˚a funktionen f (x) = sin(ex).
2. En alternativ metod till Newtons metod ¨ar sekantmetoden, d¨ar derivatan approxi- meras med en differenskvot. Om xk och xk−1 ¨ar tv˚a p˚a varandra f¨oljande approxima- tioner till ett nollst¨alle x∗, s˚a approximeras derivatan med f0(xk) ≈ f (xxk)−f (xk−1)
k−xk−1 . Skriv ett program som ber¨aknar nollst¨allet f¨or en funktion enligt denna metod, och till¨ampa p˚a f (x) = tan(x/4)−1, med x = 1 och x = 2 som utg˚angsv¨arden. J¨amf¨or med Newtons metod, som beskrevs i f¨orel¨asningen.
3. Planeterna beskriver elliptiska banor runt solen, som approximativt ligger i samma plan. Ekvationerna
xM(t) = − 11.9084 + 57.9117 cos(2πt/TM) yM(t) = 56.6741 sin(2πt/TM)
xE(t) = − 2.4987 + 149.6041 cos(2πt/TE) yE(t) = 149.5832 sin(2πt/TE)
beskriver Merkurius (M) och Jordens (E) l¨agen vid en viss tidpunkt t. H¨ar anges tiden i dagar (TM = 87.97, TE = 365.25), avst˚anden i miljoner km, och solen an- tas befinna sig i origo. Skriv ett program, som ber¨aknar avst˚andet mellan planeterna p(xE − xM)2+ (yE − yM)2 som funktion av tiden. Upprita funktionen, och uppskatta visuellt det kortaste avst˚andet inom tidsintervallet [0, 1000]. V¨alj ett l¨ampligt tidsin- tervall, som innesluter det kortaste avst˚andet, och anv¨and MATLAB–funktionen fmin (eller fminbnd) f¨or att ber¨akna detta avst˚and.
4. Ber¨akna l¨osningen till differentialekvationen y0(t) = −ty + 1/y2, y(1) = 1 med Eulers metod, och rita l¨osningen inom intervallet [1, 2].
5. Antag, att y(t) =y1(t) y2(t)
. Skriv en vektorversion av Eulers metod, l¨os systemet
y0(t) =−1 4
−4 −1
y(t)
y(0) =
2
−1
och rita kurvorna i intervallet [0, 3]!
