Introduktion till vetenskapliga ber¨ akningar II. Ovning 2, ht 2009 ¨
1. F¨or att l¨osa glesa ekvationssystem Ax = b, kan man anv¨anda t.ex. Gauss–Seidels iterativa metod, d¨ar man utg˚ar fr˚an en approximativ l¨osningsvektor xxx(0), och ber¨aknar nya approximationer xxx(k) till l¨osningsvektorn xxx ur formeln
x(k)i = −Pi−1
j=1Aijx(k)j −Pn
j=i+1Aijx(k−1)j + bi
Aii , i = 1, 2. . . . , n,
d¨ar Aii 6= 0. Skriv ett MATLAB–program som l¨oser ett ekvationssystem enligt den- na metod. Programmet avslutas t.ex. d˚a skillnaden mellan tv˚a p˚a varandra f¨oljande l¨osningsvektorer ¨ar tillr¨ackligt liten. Testa programmet t.ex. p˚a systemet
6 −1 0 0
−1 6 −1 0
0 −1 6 −1
0 0 −1 6
x1 x2
x3 x4
=
1 1 1 1
, utg˚aende fr˚an x0 = [0;0;0;0].
2. F¨ors¨ok l¨osa systemet
1 2 3 1 2 4 2 2 5
x1 x2 x3
=
6 7 9
med funktionerna gauss, ltri och utri, som beskrevs i f¨orel¨asningen. Varf¨or lyckas inte Gauss-elimineringen? Kasta om de tv˚a sista raderna i koefficientmatrisen, samt i kolumnvektorn i h¨ogra membrum, och visa, att r¨att svar (kontrollera med A\b) erh˚alles. F¨ors¨ok f¨orb¨attra programmet genom pivotering, dvs upps¨ok elementet med det st¨orsta absoluta v¨ardet i A(k:n,k) (observera, att k-1 m˚aste adderas f¨or att f˚a r¨att index). Om detta element ¨ar Aqk, s˚a kastar du sedan om den k:te och q:te raden i matrisen, och ocks˚a q och k i en indexvektor, som initialiseras med piv =1:n. Uppdateringen utf¨ors endast om Akk6= 0.
Minns ocks˚a att kasta om raderna i vektorn b med piv.
3. ˚Ar 1840 till¨ampade H¨allstr¨om harmonisk analys p˚a medeltemperaturen f¨or Hel- singfors med hj¨alp av funktionen yi = a0+ a1sin
xi· π 6 + b1
+ a2sin xi ·π
3 + b2 +a3sin
xi· π 2 + b3
och fann a=[3.704 11.783 0.777 0.467], b=[244.717 82.95 288.983] (b uttryckt i grader). Reproducera resultatet genom att linearisera funk- tionen med additionsteoremet (sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β) och till¨ampa minsta kvadratmetoden, d˚a x=0.5:11.5 (dvs mitten av m˚anaden) och de uppm¨atta temperaturerna (i◦C) ¨ar y=[-8.07 -6.25 -4.76 0.74 7.51 13.61 16.01 14.58 10.46 5.61 -0.12 -4.87]
4. Millikan best¨amde elektronens laddning e ˚ar 1910 genom att studera laddade olje- droppar i luft. Han fann ett samband mellan laddningen q och f¨orh˚allandet mellan medelv¨agl¨angden l och droppens radie a: q = e(1 + A · l/a)3/2. Storheten y = q2/3 beror allts˚a linj¨art av x = l/a. Ber¨akna e med minsta kvadratmetoden f¨or f¨oljande data (x,y): (0.0980, 67.05), (0.0883, 66.70), (0.0483, 64.73), (0.0325, 63.85), (0.0278, 63.51), (0.0211, 63.38) (enheten f¨or y = 10−8 e.s.e = 3.333 · 10−18C).
