Introduktion till vetenskapliga ber¨ akningar II. Ovning 1, ht 2009 ¨
1. Ber¨akna approximationer f¨or π ur integralen π =
Z 1 0
4 1 + x2dx
med Newton–Cotes regel f¨or m = 2 : 5.
2. Ber¨akna erf(1) = 2
√π
Z 1 0
e−x2dx
med Gauss-Legendres kvadratur (m=2), och j¨amf¨or med det exakta v¨ardet.
3. Ber¨akna integralen R0.11 sin(1/x)dx numeriskt med sammansatt Simpson–kvadratur
¨over intervallet [0.1, 1]. Antalet delningspunkter varieras enligt n=10:10:100. J¨amf¨or resultatet med det som ges av de adaptiva Simpson–procedurerna quad och quadl (rita kurvan, och diskutera resultatet).
4. Ber¨akna sinusintegralen Si(x) =
Z x 0
sin t t dt
f¨or x = 1 numeriskt med sammansatt Simpson–kvadratur (pr¨ova olika antal del- ningspunkter). Observera diskontinuiteten f¨or x = 0. Det exakta resultatet med fem siffror ¨ar 0.94608. J¨amf¨or resultatet med det som ges av quad.
5. Skriv en MATLAB–funktion matpot(A,k), som ber¨aknar B = Ak, d¨ar A ¨ar en kvadratmatris och k ett positivt heltal. Behandla f¨orst det fall att k ¨ar en potens av 2, och d¨arp˚a bin¨ara expansioner (som t.ex. A13 = A8A4A).
6. Hilbert–matrisen ¨ar k¨and f¨or sin d˚aliga kondition (det(A) ¨ar i allm¨anhet myck- et liten). Du kan studera den genom f¨ors¨oka l¨osa ett ekvationssystem Hx = y d¨ar H ¨ar en Hilbert-matris med n rader och kolumner, och y (t.ex.) vektorn [1, 2, . . . , n].
V¨alj n = 4, 6, 8, 10 och ber¨akna H med den inbyggda MATLAB–funktionen hilb:
H=hilb(n). Ber¨akna x dels p˚a det vanliga s¨attet: x= A\y, dels genom att r¨akna ut inversen av Hilbert–matrisen exakt med MATLAB–funktionen invhilb. J¨amf¨or resul- tatet. F¨or att g¨ora det litet noggrannare kan du ber¨akna normen av skillnaden mellan resultatvektorerna med MATLAB–funktionen norm, och j¨amf¨ora normerna f¨or olika v¨arden av n.
