Matematik III M0039M, Lp

Matematik III M0039M, Lp 3 2016

Lektion 19-20

Staffan Lundberg

Lule˚a Tekniska Universitet

15 december 2015

Lekt 18

Best¨am de fyra f¨orsta nollskilda termerna i en potensserieutveckling kring x = 0 av l¨osningen till begynnelsev¨ardesproblemet

y^′+ (x + 2)y = 0, y (0) = 1.

Sva r:

=1 y x −2 +(

3/

2 2)x 1/ −(

3 3)x +.

..

Ans¨att y = X∞ k=0

ckx^k X∞

k=1

kc_kx^k−1+ x X∞ k=0

c_kx^k + 2 X∞ k=0

c_kx^k = 0 X∞

k=0

(k + 1)c_k+1x^k+ X∞ k=1

c_k−1x^k + 2 X∞ k=0

c_kx^k = 0

2c₀+ c₁+ X∞ k=1

(c_k−1+ 2c_k + (k + 1)c_k+1) x^k = 0

Ekv. system:

2c₀+ c₁ = 0 c_k+1= −2c_k+ c_k−1

k + 1 , k ≥ 1 BV:y (0) = 1 ⇔ c0= 1. Vidare: c₁= −2c0= −2.

k Koefficient 1 c₂ = −2c₁+ c₀

2 = 3

2 2 c3 = −2c₂+ c₁

3 = −1

3

Svar: y = 1 − 2x + 3 2x²−1

3x³+ . . .

Struktur

1 Lektion 19–Laplacetransformen, inledn.

2 Lektion 20–Tabellhantering och Inverstransformering

Laplacetransformen

En av de mest effektiva metoderna inom den till¨ampade matematiken ¨ar de s.k. Laplacetransformerna. Arkitekten bakom detta f¨orn¨amliga verktyg

¨ar fransmannenPierre Simon Laplace (1749-1827), kallad ”Frankrikes Newton”.

I en uppsats fr˚an 1812 presenterar Laplace en integral, som sedermera visat sig f˚a enorm betydelse i l¨osningen av vissa differentialekvationer.

Definition

Laplacetransformen F (s) = L{f (t)}av en funktion f (t), t ≥ 0, ¨ar

F (s) = Z∞

0

f (t)e^−stdt, (1)

f¨orutsatt att integralen existerar och ¨ar konvergent.

Transform=Avbildning

Transformer ¨ar ett begrepp som av- bildar funktioner p˚a andra funktio- ner. J¨amf¨or med t. ex. en differen- tialoperator, en annan avbildning.

f(t)

L ^F(s)

f(t) d/dt ^f'(t)

Laplacetransform

Differential- operator

Betrakta potensserien F (x) = X∞ n=0

a_nxⁿ. Om vi t. ex. v¨aljer an= 1

n!, kan vi t¨anka oss att 1

n! e^x, dvs. en ”heltalsfunktion” avbildas p˚a en reell funktion.

Intuitivt resonemang

Anta att x > 0. Laplacetransformen (1) kan s¨agas vara den kontinuerliga motsvarigheten till potensserien

X∞ n=0

a_nxⁿ, d¨ar vi v¨aljer ”heltalsfunktionen”

an s˚a att serien konvergerar f¨or 0 < x < 1.

X∞ n=0

anxⁿ X∞ t=0

a(t)x^t Z∞

0

f (t)x^tdt Z∞ 0

f (t)e^{(ln x)t}dt

(S¨att ln x = −s)

| {z }

0<x<1⇒0<s<∞

Z∞ 0

f (t)e^−stdt, s > 0

Anm¨ arkning

I ovanst˚aende definition (1) formuleras den s.k.enkelsidiga

Laplacetransformen. Det existerar ocks˚a en dubbelsidig L-transform, d¨ar integrationsintervallet ¨ar hela tallinjen.

Ofta r¨acker det att parametern s ∈ R+, men i ett mer detaljerat studium m˚aste vi anta att s = σ + i ω ∈ C, Re(s) ∈ R⁺.

I till¨ampade sammanhang har t dimensionen tid, vilket inneb¨ar att s har dimensionen frekvens.

F¨ or att kunna L-transformeras, duger inte vilka funktioner som helst

Vi f¨oruts¨atter att det existerar en funktionsfamilj d¨ar Laplacetransformen

¨ar definierad. Litet mer noggrant formulerat ¨an ovanst˚aende intuitiva resonemang, s¨ager vi:

L˚at S(R₊) beteckna familjen av alla styckvis kontinuerliga funktioner f : R₊7→ C med egenskapen att f inte v¨axer f¨or fort, dvs. om det finns konstanter C och a med

|f (t)| ≤ Ce^at, f¨or t ∈ R+, C , a > 0.

Man brukat s¨aga att f v¨axer h¨ogst exponentiellt (s. 3 l¨arobok (T)) om f ∈ S(R+). S˚adana funktioner passar bra att L-transformera.

Anm¨ arkning

Vi konstaterar: Integralen (1) kan konvergera ¨aven om f (t) → ∞ d˚a t → ∞, bara s ¨ar tillr¨ackligt stort och att f inte skenar iv¨ag.

Exempel f (t) = e^7t ger, insatt i (1):

ZX 0

e^7te^−stdt → 1

s − 7 d˚a X → ∞ (om s > 7) Ovning¨ Prova motsvarande resonemang med f (t) = e^et.

L-transformen ¨ ar linj¨ ar

Eftersom Laplacetransformen ¨ar en integral, g¨aller linearitetsegenskapen:

L{a f (t) + b g(t)} =

= Z∞

0

e^−st(a f (t) + b g (t)) dt = . . . = a L{f (t)} + b L{g(t)}.

Att ber¨ akna element¨ ara L-transformer med definitionen

Exempel: f (t) = 1 F¨or s > 0 ¨ar

F (s) = Z∞

0

e^−stdt = e^−st

−s

∞ 0

= . . . = 1 s.

Anm: L{K } = K

s , K ∈ R.

Exempel: f (t) = sin bt eller f (t) = cos bt

Vi transformerar den komplexv¨arda exponentialfunktionen

e^ibt = cos(bt) + i sin(bt) och identifierar d¨arefter real- och imagin¨ardelar:

F (s) = Z∞ 0

e^−ste^ibtdt = Z∞ 0

e^−t(s−ib)dt = (Tid. resultat)

= 1

s − ib = s + ib

s²+ b² = s

s²+ b² + i b s²+ b² Identifiera real- och imagin¨ardelar L{cos bt} = s

s²+ b², L{sin bt} = b s²+ b².

Alternativ: f (t) = cos bt med Eulers formel, FN s.

113

Eulers formel: cos bt = e^ibt+ e^−ibt 2 L{cos bt} = 1

2L



e^ibt + e^−ibt



=

= 1 2

 1

s − ib + 1 s + ib



=

= 1 2· 2s

s²+ b² = s s²+ b²

Exempel

Best¨am Laplacetransformen av f (t) = 2 sin(2t) + 3 cos(3t) f (t) = cosh(3t) = e^3t + e^−3t

2 f (t) = sinh(t) = e^t− e^−t

2

Exempel: f (t) = t

L˚at f (t) = t. F¨or s > 0 ¨ar

F (s) = Z∞

0

t e^−stdt =(Part. int.)= 1 s².

Exempel: f (t) = t

L˚at f (t) = t². F¨or s > 0 ¨ar

F (s) = Z∞ 0

t²e^−stdt =(Part. int.)= 2 s³.

Exempel: f (t) = t

L˚at f (t) = tⁿ, n ∈ N. F¨or s > 0 ¨ar

F (s) = Z∞ 0

tⁿe^−stdt =(Part. int.)= n!

sⁿ⁺¹. Anm

L{tⁿ} = n

sL{tⁿ⁻¹} = n(n − 1)

s² L{tⁿ⁻²} = . . .

= n(n − 1) · · · · 2 · 1

sⁿ L{1} = n!

sⁿ⁺¹

Avslutande exempel, Lekt 19

Best¨am Laplacetransformen av f (t) = t²+ 2t + 3.

F (s) = Z∞ 0

(t²+ 2t + 3) e^−stdt =

= L{t²} + 2L{t} + L{3} = (Termvis transf.)

= 2

s³ + 2 · 1 s² +3

s

Struktur

1 Lektion 19–Laplacetransformen, inledn.

2 Lektion 20–Tabellhantering och Inverstransformering

Lekt 19

Best¨am L{cos²(t) + sin²(t)} med eller utan fiffighet.

Laplacetabell

I praktiken beh¨over vi inte h˚alla p˚a och integrera fram L-transformen. Vi nyttjar ist¨allet tabeller och diverse r¨akneregler.

Exempel L˚at

f (t) = (2t + 1)²+ cos 2t − sin t, t ∈ R+. Best¨am dess Laplacetransform med tabell och r¨akneregler.

Inverstransformering

I det praktiska r¨aknandet st¨oter man ofta p˚a problemet att ˚aterskapa f (t) fr˚an dess Laplacetransform.

I mer avancerade kurser visar man att f (t) ¨ar entydigt best¨amd av F (s), dvs. om F (s) = L{f (t)} s˚a ¨ar f (t) = L⁻¹{F (s)}.

L¨agg ocks˚a m¨arke till att inverstransformen ¨ar linj¨ar:

L⁻¹{cF¹+ dF2} = c L⁻¹{F¹} + d L⁻¹{F²}.

Inverstransformering i praktiken

F¨or att inverstransformera f¨oljer vi ritualen

Partialbr˚aksuppdelning (om vi kan faktorisera n¨amnaren)/Kvadratkomplettering,

Kolla eventuell d¨ampning (tas upp under n¨asta lektion), Tabellavl¨asning.

Exempel

Best¨am en funktion f (t) med Laplacetransformen F (s) = 5s − 4

(s − 1)²

Derivator av Laplacetransformen

Sats

L˚at F (s) = L{f (t)} och antag (som vanligt) att f ¨ar styckvis kontinuerlig p˚a R₊ och v¨axer h¨ogst exponentiellt. D˚a g¨aller

L {tⁿf (t)} = (−1)ⁿdⁿF dsⁿ. Speciellt: L {t f (t)} = −F^′(s).

Bevis.

Vi visar specialfallet L {t f (t)} = −F^′(s). Vi antar (som vanligt) att f ∈ S(R⁺).

d

dsF (s) = d ds

Z∞ 0

f (t) e^−stdt =(F (s) ¨ar likf. konv.)

= Z∞ 0

d

ds f (t) e^−st
dt =

Z∞ 0

(−t) f (t) e^−stdt = −L {t f (t)} , och vi ¨ar klara. Satsen f¨oljer sedan med ett induktivt resonemang.

Avslutande exempel

Givet L {t cos(bt)} = G (s) = s²− b²

(s²+ b²)² ur tabell.

Best¨am L

t² cos(bt) .

L¨ osningsf¨ orslag

L

t² cos(bt)

= L





 t

g(t)

z }| {

(t cos(bt))







= L {tg(t)}

G^′(s) = d ds

 s²− b² (s²+ b²)²



= −2s³+ 6sb² (s²+ b²)³ . L

t² cos(bt)

= −G^′(s) = 2s³− 6sb²

(s²+ b²)³ (Enl. satsen) Alt. ¨ovning:L

t² cos(bt)

= (−1)²F^′′(s), d¨ar F (s) = L{cos(bt)}

Overkurs: Gammafunktionen ¨

L˚at r > −1 ∈ R. F¨or s > 0 har vi L{t^r} =

Z∞ 0

t^re^−stdt =(st = x, dt = dx s )=

= Z∞

0

x^r

s^r e^−x dx

s = 1

s^r+1 Z∞

0

x^re^−xdx

| {z }

Γ(r +1)

= Γ(r + 1) sⁿ⁺¹

Speciellt: Om r = n ∈ N g¨aller: Γ(n + 1) = n!

Overkurs: L˚ ¨ at r = −1/2

F¨or s > 0 har vi L{ 1

√t} = . . . = Γ(1/2)

√s = rπ

s R¨akneruta

Γ(1/2) = Z∞ 0

x^−1/2e^−xdx = (Generaliserad i 0 och ∞)

=(x = t², dx = 2tdt)= Z∞ 0

1

t e^−t22t dt = 2 Z∞

0

e^−t2dt

| {z }

=√ π/2