Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet

Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet

DMA

Lösning till övning 6 Flervariabelanalys

1. a) ∂F 2

∂z = sin z 6= cos(z) = ∂F 3

∂y =⇒ ~ F är inte konservativt.

b) Integrabilitetsvillkoren är uppfyllda:

∂G 1

∂y = 2x = ∂G 2

∂x , ∂G 1

∂z = 0 = ∂G 3

∂x , ∂G 2

∂z = sin(z) = ∂G 2

∂y . Eftersom det gäller på hela R ² ser vi att det finns en potential.

Första metoden:

En potential ϕ måste uppfylla ∂ϕ

∂x = 2xy =⇒ ϕ(x, y, z) = x ² y + C(y, z).

x ² − cos(z) = ∂ϕ

∂y = x ² + ∂C

∂y =⇒ C(y, z) = −y cos(z) + D(z)

=⇒ ϕ(x, y, z) = x ² y − y cos(z) + D(z).

y sin(z) = ∂ϕ

∂z = ∂

∂z



x ² y − y cos(z) + D(z) 

=⇒ ∂

∂z D(z) = 0

=⇒ D(z) konstant

=⇒ ϕ(x, y, z) = x ² y − y cos(z) + K.

Man ser direkt att dessa ϕ är potentialer.

Andra metoden:

x

y z

(ˆ x, ˆ y, ˆ z)

(ˆ x, ˆ y, 0) (ˆ x, 0, 0)

C _x

C _y

C z

För (ˆ x, ˆ y, ˆ z) ∈ R ³ betraktar vi kurvorna C _x , C _y , C _z som i figuren och C = C _x ∪ C _y ∪ C _z . Vi parametiserar

C _x : (tˆ x, 0, 0), 0 ≤ t ≤ 1, C _y : (ˆ x, tˆ y, 0), 0 ≤ t ≤ 1, C _z : (ˆ x, ˆ y, tˆ z), 0 ≤ t ≤ 1, och beräknar

Z

C

G · d~ ~ r = 0, Z

C

G · d~ ~ r = Z 1

0

 ˆ

x ² − cos(0)  ˆ

y dt = ˆ x ² y − ˆ ˆ y, Z

C

G · d~ ~ r = Z 1

0

ˆ

y sin(tˆ z)ˆ z dt = ˆ y ˆ z Z 1

0

sin(tˆ z) dt ^(?) = ˆ y ˆ z



− cos(tˆ z) ˆ z

 t=1 t=0

= ˆ y − ˆ y cos(ˆ z).

Observera att (?) bara gäller on ˆ z 6= 0. Om ˆ z = 0 gäller R

C

G · d~ ~ r = 0 = ˆ y − ˆ y cos(0). Alltså får vi

Z

C

G · d~ ~ r = Z

C

G · d~ ~ r + Z

C

G · d~ ~ r + Z

C

G · d~ ~ r = ˆ x ² y − ˆ ˆ y cos(ˆ z).

Enligt anmärkningen efter sats 1 i 15.4 gäller ϕ(ˆ x, ˆ y, ˆ z) − ϕ(0, 0, 0) = ˆ x ² y − ˆ ˆ y cos ˆ z + K för varje potential ϕ. Eftersom (ˆ x, ˆ y, ˆ z) är godtycklig, erhåller vi

ϕ(x, y, z) = x ² y − y cos z + K.

2. Om ~ F hade en potential skulle linjeintegralen ha samma värde för varje kurva i R ² \{(0, 0)} från (1, 0) till (−1, 0). 3b) visar att vi får olika värden för C ₁ och C ₂ .

3.

Z

C

(x ² − x ² y)dx + (xy ² + e ^y )dy

= Z Z

x

+y

≤1

 ∂

∂x (xy ² + e ^y ) − ∂

∂y (x ³ − x ² y)  dx dy

= Z Z

x

+y

≤1

(x ² + y ² )dx dy

= Z 1

0

r ³ dr Z 2π

0

dθ

= π

2 .