Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet

Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet

DMA

Lösning till övning 5 Flervariabelanalys

1. a) ~ F = ~ı − ~  är konstant:

x y

1

1

Observera att x~ı + y~  är

vektorn från origo till punkten (x, y).

x y

(x,y) x~ı+y~

I skissen för ~ G måste vi rita den med fotpunkt i (x, y):

x y

Vektorn y~ı − x~  erhålls genom att rotera x~ı + y~  90 ^◦ medurs (jämnför med 15.1, ex. 2).

x y

b) F ₁ = 1, F 2 = −1. Integrera dx = −dy =⇒ y = −x + c. Fältlinjerna är raka linjer med riktningskoeffizient −1.

G 1 = x, G 2 = y. Metoden börjar med dx x = dy

y . Integration ger ln |x| + C ₂ =

Z dx x =

Z dy

y = ln |y| + C ₁ =⇒ ln |y| = ln |x| + C

=⇒ |y| = e ^C |x|.

Sätt K = e ^C > 0. För K > 0 får vi linjerna y = ±Kx. Dessutom är både x- och y-axeln fältlinjerna.

H ₁ = y, H ₂ = −x.

dx

y = − dy

x =⇒ y dy = −x dx

=⇒ y ²

2 + C 1 = Z

y dy = − Z

x dx = − x ² 2 + C 2

=⇒ x ² + y ² = C.

Fältlinjerna är koncentriska cirklar med radie i (0, 0).

c) ∂F 1

∂y = 0 = ∂F 2

∂x , x − y + C är potentialer.

∂G ₁

∂y = 0 = ∂G ₂

∂x , 1

2 (x ² + y ² ) + C är potentialer.

∂H 1

∂y = 1 6= −1 = ∂H 2

∂x , det finns inga potentialer.

2. F ₁ = x, F 2 = −2y.

dx x = dx

F ₁ = dy

F ₂ = − dy

2y =⇒ ln |y| + C 1 = Z dy

y = −2 Z dx

x = −2 ln |x| + C 2

=⇒ ln |y| = −2 ln |x| + C

=⇒ |y| = e ^{ln |y|} = e ^C e ^{−2 ln |x|} = K|x| ⁻² där K = e ^C > 0.

För K > 0 är |y| = K/|x| ² en förening av fyra kurvor.

x- och y-axlerna är också fältlinjer.

x y

3. a) F ₁ = − y

x ² + y ² , ∂F 1

∂y = − (x ² + y ² ) − 2y ²

(x ² + y ² ) ² = − x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² , F ₂ = x x ² + y ² ,

∂F ₂

∂x = x ² − y ²

(x ² + y ² ) ² = − ∂F ₁

∂y . b) Vi parametriserar

C ₁ : ~ r ₁ (t) = cos(t)~ı + sin(t)~ , C ₂ : ~ r 2 (t) = cos(t)~ı − sin(t)~ , för 0 ≤ t ≤ π.

Z

C

F · d~ ~ r = Z π

0

1

cos ² (t) + sin ² (t)



(− sin(t))(− sin(t)) + cos(t) cos(t)  dt

= Z π

0

dt

= π, Z

C

F · d~ ~ r = Z π

0

1

cos ² (t) + sin ² (t)



sin(t)(− sin(t)) + cos(t)(− cos(t))  dt

= −

Z π 0

dt

= −π.