. Ekvationer ax=b i Zm.

Sida 1 av 6

Räkning i Z

. Inverterbarhet i Z

. Ekvationer ax=b i Zm.

Räkning i Zm. När vi räknar endast med principala rester vid heltalsdivision med m, dvs med tal 0,1,2,….(m–1),säger vi att vi räknar i Zm.

Här anger vi en additionstabell och en multiplikationstabell för räkning i Z5 och Z6

--- Z5 addition Z5 multiplikation

+ ∙

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4

2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3

3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2

4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

--- Z6 addition Z6 multiplikation

+ 0 1 2 3 4 5 ∙ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0

1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5

2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4

3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3

4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2

5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1

Additiva inverser i Zm.

Låt a vara ett tal i Zm Om a+b =0 säger vi att b är additiv invers till a i Zm och betecknar b= –a. Till exempel Talet 4 har additiv invers 2 i Z6 eftersom 4+2 =0 i Z6.

(Alltså –4 (mod 6)=2).

Sida 2 av 6 Multiplikativa inverser i Zm.

Ett tal a i Zm har multiplikativt inverterbar om det finns något tal i Zm som multiplicerat med a ger 1.

Ett sådant tal kallas inversen till a och betecknas a⁻¹.

Notera att 0 saknar multiplikativ invers eftersom 0⋅ = ≠b 0 1 för alla b i Zm Talet 1 har inversen 1.

För att betona att det handlar om inversen vid multiplikation (och inte vid addition) säger vi att a⁻¹är a:s multiplikativa invers.

I ovanstående tabell för Z5 ser vi att alla tal förutom 0 har invers (exempelvis, inversen till 3 i Z5 är 2 eftersom (3 2)(mod5) 1⋅ = .

I tabellen för Z6 ser vi att endast 1 och 5 är inverterbara i Z6

Ekvationer i Z

Att lösa en diofantisk ekvation ax c= i Zm betyder att alla räkneoperationer utförs mod(m) och att lösningen ligger i Zm.

Alltså söker vi x bland, 0, 1,2,….m–1 så att ax(mod )m =c(mod )m . Med andra ord ax och c har samma rest vid division med m

som vi kan skriva med kongruenser.

att ax c≡ (mod )m där 0≤ ≤ −x m 1. För sådana x finns det y så att ax c ym= + eller

ax my c− = , ( ekv1) där 0≤ ≤ −x m 1

Ekvationen är lösbart om och endast om SGD(a,m) delar c.

Om diofantiska (ekv1) är lösbart löser vi den med standard metoden får x x₀ mk

= + d och väljer de x som uppfyller 0≤ ≤ −x m 1.

Anmärkning 1. Notera att vi inte är intresserade för obekanta y i ekv 1.

Anmärkning2: Om a, m och c är relativt små tal (t ex ≤ 10) då kan vi i Zm lösa ekvationen

Sida 3 av 6 ax c=

helt enkelt genom att testa om några tal bland 0,1,2,…m–1 satisfierar ekvationen.

Vi visar sådana enkla ekvationer i nedanstående exempel 1,2.

Exempel 1. Lös i Z6 följande ekvation 5 =x 1.

Lösning: Vi beräknar 5x (mod 6) för x= 0,1,2,3,4, och 5 i Z6 (dvs vi multiplicerar modulo 6) och får att ekvationen har i Z6 endast en lösning x=5.

Svar: x=5

Exempel 2. Lös i Z5 följande ekvation 4x = . 1

Lösning: Vi beräknar 4x (mod 5) för x=0,1,2,3 och 4 i Z5 (dvs vi multiplicerar modulo 5) och får att ekvationen har i Z5 endast en lösning x=4.

Svar: x=4

---

I följande två exempel löser vi först tillhörande diofantiska ekvationen och därefter väljer de x som uppfyller 0≤ ≤ −x m 1.

Exempel 3. Lös ekvationen 10x+3=5 i Z22 .

OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.

Lösning:

Vi söker heltal x , 0≤ x≤21 sådant att 10x+3≡5(mod22)

dvs att 10 −x 2är delbart med 22. Vi kan lösa problemet genom att testa vilka x=0,1,2, …, 21 uppfyller kravet, men denna metod kräver för många beräkningar.

Därför använder vi andra metoden. Att 10 −x 2är delbart med 22 kan vi skriva som y

x 2 22

10 − = eller 2 22

10x− y= (*)

och söka heltalslösningar till (*). För oss är endast intressanta x-värden som uppfyller 21

0≤x≤ .

Först bestämmer vi största gemensamma delare ( sgd) för 22 och 10.

Vi har

22=2∙10+2 (**) 10=5∙2.

Alltså är största gemensamma delare d=2. Ekvationen har heltalslösningar eftersom d delar högerledet i (*).Dessutom är antalet lösningar som ligger i Z22 lika med d =2. Med andra ord har ekvationen exakt 2 lösningar i Z22.

Sida 4 av 6 Från (**) har vi

–2∙10+1∙22=2 eller –2∙10–1∙(–22)=2

som betyder att x₀ =−2och y₀ =1 är en heltalslösning till ekvationen . Alla lösningar for vi genom k

d x b

x= ₀ + , k

d y a

y = ₀ − (där a=10, b = – 22, d=2 ) dvs k

x 2

2 −22 +

−

= , y k

2 1−10

−

=

dvs x =−2 −11k , y=−1−5k.

För k =−1 får vi x=9 och för k =−2 får vi x=20. (För andra värden på k gäller inte 21

0≤x≤ .)

Svar: Ekvationen har två lösningar i Z22, x=9 och x=20. Exempel 4 Lös ekvationen 8x+2=4 i Z18 .

OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.

Lösning:

Vi söker heltal x , 0≤x≤17 sådant att 8x+2≡4(mod18)

dvs att 8 −x 2är delbart med 18. Vi kan lösa problemet genom att testa vilka x=0,1,2, …, 17 uppfyller kravet, men denna metod kräver för många beräkningar.

Därför använder vi andra metoden. Att 8 −x 2är delbart med 18 kan vi skriva som y

x 2 18

8 − = eller 2 18

8x− y= (*)

och söka heltalslösningar till (*). För oss är endast intressanta x-värden som uppfyller 17

0≤x≤ .

Först bestämmer vi största gemensamma delare ( sgd) för 18 och 8.

Vi har

18=2∙8+2 (**) 8=4∙2.

Alltså är största gemensamma delare d=2. Ekvationen har heltalslösningar eftersom d=2 delar högerledet i (*). Dessutom är antalet lösningar i Z18 lika med d =2. Med andra ord har ekvationen exakt 2 lösningar i Z18.

Från (**) har vi

–2∙8+1∙18=2 eller –2∙8 – 1∙(–18)=2

som betyder att x₀ =−2och y₀ =−1 är en heltalslösning till ekvationen . Alla lösningar for vi genom k

d x b

x= ₀ + , k

d y a

y = ₀ − (där a=8, b = – 18, d=2) dvs k

x 2

2 −18 +

−

= , y k

2 1−8

−

=

dvs x=−2 −9k , y =−1 −4k.

Sida 5 av 6

För k =−1 får vi x=7. För k =−2 får vi x =16. ( För andra värden på k gäller inte 17

0≤x≤ .)

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar i Z9 till ekvationen 3x =3 . b) Får man ”förkorta ” ekvationen med 3?

Svar a) Tre lösningar x1=1, x2= 4 och x3=7.

b) Nej, eftersom 3 är inte inverterbar i Z9. (Om vi förkortar med 3 tappar vi två lösningar).

Uppgift 2. Lös i Z7 systemet ^{2 4 4}

3 5 2 x y x y

+ =

 + =



Tips. Eliminera först en variabel.

Svar: x=1, y=4

Vilka tal i Zm har en multiplikativ invers?

Enligt definitionen är ett tal a Zm∈ inverterbar i Zm om det finns ett tal x Zm∈ så att ax = (i Zm) 1

dvs om tillhörande diofantiska ekvationen ax my− =1, ( ekv1) där 0≤ ≤ −x m 1 har lösningar.

Ekvationen är lösbart om och endast om SGD(a,m) delar 1 dvs om a och m är relativt prima.

Om SGD(a,m)=1 löser vi (ekv 1) den med standard metoden, får ₀

1

x x= +mk, och därefter väljer detta x som uppfyller 0≤ ≤ −x m 1 ( faktiskt blir det 1≤ ≤ −x m 1 ).

Därmed har vi följande sats.

Sats 1: Låt a≠0 vara ett element i Zm. Då gäller att a har multiplikativ invers om och endast om a och m är relativt prima.

Exempel 5. Är följande tal är inverterbara i Z22?

Sida 6 av 6 a) 1, b) 0 c) 4 d) 5 e) 11 f) 15.

Svar: a) ja b) nej c) nej eftersom SGD(4,22)=2 ≠1 d) 5 Ja e) nej f)ja

Exempel 6. Ange alla inverterbara i Z15

Svar: 1,2 ,4, 7, 8,11,13, 14

Exempel 7. (Viktigt) Låt p vara ett prim tal. Då är alla element i Zp , förutom 0 , inverterbara i Zp. Förklara varför.

Lösning. Låt a≠0 vara ett godtyckligt element i Zp. Eftersom p är ett primtal gäller då att SGD(a,p)=1.

Enligt Sats 1 är a inverterbar.