= för övrigt x x ax

VERSION A

KONTROLLSKRIVNING 2

Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Dag: Mon 23 apr 2012 Skrivtid: 10:15-11:00

Hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Utdelade formelblad.

Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 3 av max 6 poäng.

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.

Uppgift 1. (2p) En stokastisk variabel X har frekvensfunktionen

 

 < <

= för övrigt x x ax

f 0

2 0

) , (

a) Bestäm parametern a.

b) Beräkna sannolikheten P(0< X<0.2).

Uppgift 2. (1p)

En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen

 



<

≥

= −

⁻

0 0

0 x om ) 1

(

4

x x e

F

x

Bestäm medianen till s. v. X . Uppgift 3. (2p)

Låt X1, X2 vara oberoende s.v. sådana att

10 )

(X₁ =

µ

₁ =

E , E(X₂)=

µ

₂ =20, 3

)

(X₁ =

σ

₁ =

D , D(X₂)=

σ

₂ =4, Låt vidare Y =2X1+3X2

Beräkna a) väntevärdet E(Y) , b) variansen V(Y)

Uppgift 4. (1p) Låt a, b vara konstanter och X en diskret s. v.

Bevisa formeln E(aX +b)=aE(X)+b.

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (2p) En stokastisk variabel X har frekvensfunktionen

 

 < <

= för övrigt x x ax

f 0

2 0

) , (

a) Bestäm parametern a.

b) Beräkna sannolikheten P(0< X<0.2).

Lösning:

a)

2 1 1

2 0 1

2 1 2

2 2

0

=

⇒

=

⇒

 =



 



⇒ 

∫ ^axdx = ^{ax a a}

b) P(0< X<0.2)=

0 . 01 0

2 . 0 4 2

2 2 . 0

0

 =



 



= 

∫ ^{x dx x}

Svar a)

2

= 1

a

b) P=0.01

Uppgift 2. (1p)

En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen

 



<

≥

= −

⁻

0 0

0 x om ) 1

(

4

x x e

F

x

Bestäm medianen till s. v. X . Lösning:

) 2 / 1 ln(

2 4 5 1

. 0 1

5 . 0 )

( x = ⇒ − e

⁻⁴

= ⇒ e

⁻⁴

= ⇒ − x =

F

^{x x}

0.173 4

2 ) ln

2 / 1 4ln(

1 ⇒ = ≈

−

=

⇒x x

Svar.

medianen = 0.173

Uppgift 3. (2p)

Låt X1, X2 vara oberoende s.v. sådana att

10 )

(X₁ =

µ

₁ =

E , E(X₂)=

µ

₂ =20, 3

)

(X₁ =

σ

₁ =

D , D(X₂)=

σ

₂ =4, Låt vidare Y =2X1+3X2

Beräkna a) väntevärdet E(Y) , b) variansen V(Y) Lösning: a) E(Y) =2*10+ 3*20=80

b) V(Y) = Y =2²

σ

₁²+3²

σ

₂²= 4*9+9*16= 180

Uppgift 4. (1p) Låt a, b vara konstanter och X en diskret s. v.

Bevisa formeln E(aX +b)=aE(X)+b.

Lösning: Enligt antagande är X en diskret variabel.

S. v. X kan anta ett värde

x

_k med sannolikheten

p

_k där

∑

k

p

k=1.

Då antar variabeln aX +b värdet

ax

_k

+ b

med sannolikheten

p

_k. Enligt definitionen för väntevärdet av en s.v. har vi

) (

) (

)

(

_{k k}

k k k

k

k

b p ax p bp

ax b

aX

E + = ∑ + = ∑ +

( vi bryter ut konstanter a, b)

∑

∑ ⁺

=

k k k

k

k

p b p

x

a

( notera att

∑

k

pk=1) b

X aE +

= ( ) V.S.B.