Linköpings universitet
Grundlärarprogrammet, inriktning år F-3
Problemlösning
- En litteraturstudie om vad som gynnar elevers problemlösningsförmåga samt hur elever lär genom problemlösning
Examensarbete 1, inom Ämnesdidaktik Handledare:
Matematik Rickard Östergren
forskningskonsumtion
LIU-LÄR-G-MA-15/10-SE
Institutionen för beteendevetenskap och lärande - IBL
Institutionen för beteendevetenskap och lärande 581 83 LINKÖPING
Seminariedatum
2015 – 03 - 27
Språk Rapporttyp ISRN-nummer
Svenska/Swedish
Engelska/English Examensarbete grundnivå LIU-LÄR-G-MA-15/10-SE Titel
Problemlösning
En litteraturstudie om vad som gynnar elevers problemlösningsförmåga samt hur elever lär genom problemlösning
Titel
Problemsolving
A literature review of what promotes students' problem-solving skills as well as how students learn through problem solving
Författare
Sammanfattning
Resultatet i PISA 2012 visar att svenska elever vi digital problemlösning presterar under det internationella medelresultatet. Med denna studie vill vi tydliggöra vad i matematikundervisningen som gynnar elevers problemlösningsförmåga samt hur elever kan läsa genom problemlösning. Detta examensarbete är en litteraturstudie där forskningen sökts fram genom databaser. Resultatet visar att det finns olika faktorer som gynnar utvecklingen av elevers problemlösningsförmåga. Val av arbetssätt och elevers strategier är faktorer som påverkar. Det visar sig även att elever kan lära genom problemlösning. Vid användandet av problemlösning utvecklas bland annat elevers begreppsförmåga, beräkningsförmåga, procedurkunnande, kommunikation och motivation.
Nyckelord
Problemlösning, matematik, utveckling, problemlösningsförmåga, matematikinlärning, grundskolan
Innehåll
1 Inledning ... 4
1.1 Syfte och frågeställningar ... 5
2 Bakgrund ... 6
2.1 Matematik ... 6
2.2 Problemlösning ... 8
2.3 Olika typer av matematiska problem ... 9
2.3.1 Inommatematiskt problem ... 9
2.3.2 Praktiska problem ... 10
2.3.3 Rika problem ... 10
2.4 Lärande ... 11
2.4.1 Förmågor ... 12
2.5 Lära sig att lösa problem ... 12
2.5.1 Diskussion och reflektion i undervisningen ... 13
3 Metod ... 15
3.1 Litteratursökning ... 15
3.2 Avgränsningar ... 16
3.2.1 Tabell 1. Urval av antalet artiklar som använts i resultatet ... 17
3.3 Slutgiltigt urval ... 19
3.3.1 Tabell 2. Sammanställning av de artiklar som använts i resultatet ... 19
4 Resultat ... 22
4.1 Detta gynnar utvecklingen av elevers problemlösningsförmåga ... 22
4.1.1 Sammanfattning i tabell ... 26
4.2 Lära genom problemlösning ... 27
4.2.1 Sammanfattning i tabell ... 30
5 Diskussion ... 31
5.1 Summering av resultatet ... 31
5.2 Utveckling av problemlösningsförmåga ... 32
5.3 Lära sig matematik genom problemlösning ... 33
5.4 Metoddiskussion ... 35
5.5 Slutsats ... 35
6 Förslag till framtida forskning ... 36
7 Referenslista ... 37
Bilaga 1 ... 41
1 Inledning
Vi har under tidigare matematikkurs arbetat med området problemlösning. Detta gjorde att vi intresserade oss av en ytterligare fördjupning i ämnet. Under de verksamhetsförlagda utbildningar vi haft har vi även lagt märke till att eleverna har vissa svårigheter med problemuppgifter. Vi har uppfattat det som att eleverna känner sig ovana vid sådana typer av uppgifter då de främst arbetar individuellt i matematikböcker. Vi har även sett att de känner sig osäkra med att uppgifterna kan lösas på olika sätt. Utifrån våra upplevelser i den vardagliga skolmatematiken vill vi ta reda på vad forskningen säger om användandet av problemlösning.
I Skolverkets rapport som handlar om det svenska resultatet i PISA1 2012 i digital problemlösning lyfter man fram att “Liksom i PISA:s tre huvudområden matematik, läsning och naturvetenskap presterar svenska elever under det internationella medelresultatet i digital problemlösning. Sveriges resultat är 491 poäng vilket kan jämföras med OECD2-ländernas medelvärde på 500 poäng” (Skolverket, 2014, s. 21). Resultatet för svenska elever i problemlösning i PISA 2012 är alltså under OECD-genomsnittet och det är även lågt i jämförelse med de övriga nordiska länderna. Det går dock inte att se huruvida de svenska eleverna har blivit bättre eller sämre jämfört med tidigare år då detta är första gången som problemlösning testats på det här sättet i PISA (Skolverket, 2014).
Goda kunskaper inom problemlösning kan hjälpa till i vardagslivet för att kunna lösa problem som uppkommer. I läroplanen menar man att matematiken är ett vardagsnära ämne som ger eleverna förutsättningar att i framtiden kunna fatta bra beslut i olika situationer. Det är även ett ämne som har nära anknytning till samhällets utveckling genom att det är ett problemlösande, kreativt och reflekterande ämne (Skolverket, 2011).
1 Programme for International Student Assessment
2 Organisation for Economic Co-operation and Development
1.1 Syfte och frågeställningar
Denna litteraturstudies syfte är att undersöka vad i matematikundervisningen som kan gynna elevers problemlösningsförmåga. Undersökningen kommer även fokusera på hur elever i matematikundervisningen kan lära genom problemlösning. Intressant är även om elevernas tankesätt och förståelse kan beröras av detta. Studien är inriktad på grundskolan och främst de lägre åldrarna, F-3. För att uppnå syftet kommer dessa två frågeställningar att besvaras:
Vad i matematikundervisningen gynnar elevers problemlösningsförmåga?
Hur kan elever lära genom problemlösning i matematikundervisningen?
2 Bakgrund
I detta avsnitt redogör vi för relevanta definitioner och bergrepp. Inledningsvis kommer det en definition och beskrivning av vad matematik är. Därefter följer en beskrivning av problemlösning samt några olika typer av matematiska problem. Detta för att läsaren ska få en tydlig bild av vad matematiska problem innebär. Det redogörs även för lärande och de förmågor som elever ska utveckla genom undervisningen. Avslutningsvis redogörs för hur elever lär sig att lösa problem.
2.1 Matematik
Matematik kan definieras på många olika sätt. Det beror dels på vem som tillfrågas men också på när och hur man frågar (Sandahl, 2014). Enligt vetenskapen är matematik, läran om abstrakta kvantiteter, strukturer och mönster. Matematiken förklaras även bygga på axiom och inte vara empiriskt prövbar. Att matematiken bygger på axiom betyder att den bygger på matematiska teorier och är uppbyggda av olika förutsättningar man har kommit överens om.
Läroplanen förklarar matematik som en aktivitet som är kreativ, reflekterande och problemlösande som alltid är kopplad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen (Skolverket, 2011). En annan förklaring av vad matematik är och varför det är viktigt med matematik är den förklaringen som ges i PISA, matematik är en samling begrepp och färdigheter som eleven måste kunna för att förstå matematik som något meningsfullt, engagerande, problemlösande och stimulerande (Sandahl, 2014).
Det centrala innehållet i läroplanen innehåller de områden och de kunskaper som eleverna har rätt att få ta del av (Skolverket, 2011). Det är en riktlinje där läraren får information om vad undervisningen ska innehålla, men de har även utrymme att sätta sin egen prägel på undervisningen och dess innehåll. Det centrala innehållet i matematik består av sex olika ämnesområden, taluppfattning och tals användning, algebra, geometri, sannolikhet och statistik, samband och förändringar, samt problemlösning (Skolverket, 2011).
Boaler (2011) beskriver hur undervisningen i matematik ofta betraktas som antingen traditionell eller icke-traditionell. Det är dock inte helt klart om någon av dem är sämre än den andra. Inom både den traditionella och den icke-traditionella undervisningen förekommer
olika typer av lärare och metoder, vissa effektivare än andra. Boaler (2011) menar vidare att inom den traditionella undervisningen menas ofta att läraren föreläser och eleverna arbetar individuellt. Denna typ av lärare kan även de ställa bra frågor till eleverna och ge eleverna möjlighet att lösa problem där de får öva på olika metoder. Däremot finns det lärare som anses höra till den traditionella undervisningen som nästan enbart föreläser för eleverna och eleverna får anteckna vad läraren undervisar om. Genom den typen av undervisning menar Boaler (2011) att eleverna lär sig att de inte behöver tänka själva inom matematiken. De kan istället komma ihåg vad läraren visar och sedan kopiera det. Detta kan göra att elever tappar motivationen och intresset för ämnet matematik (Boaler, 2011). Det gör även att elever som försöker lära sig alla metoder utantill kan få svårigheter vid nya uppgiftssituationer. Ett annat problem Boaler (2011) lyfter är att genom användning av en undervisningsmetod där eleverna är passiva är att de arbetar under tystnad. Detta gör att eleverna inte får möjlighet att diskutera olika metoder och kanske inte får möjlighet till vetskap om de förstår dem. Det finns en skillnad mellan att förstå det läraren förklarar och visar och att själv kunna använda sig av det.
Ahlberg (1991) menar även hon att elever måste få möjlighet till diskussion med andra elever för att få förståelse för metoder och begrepp. Trots allt kan elever arbeta individuellt när denna typ av upplägg passar, men när problemlösningsfömågan ska utvecklas bör eleverna inte arbeta individuellt.
Enligt Hagland, Hedrén & Taflin (2005) finns det tre olika typer av uppgifter i matematiken:
Rutin- och standarduppgift. Det är en uppgift där personen som löser uppgiften inte stöter på några svårigheter och arbetet med denna typ av uppgift blir därför som en färdighetsträning.
Textupppgift. Denna typ av uppgift består av mestadels text och vissa matematiska symboler kan förekomma. En textuppgift kan var ett problem om den uppfyller de krav som finns för ett problem.
Problem. En uppgift är ett problem om den uppfyller följande krav: en person behöver eller vill lösa problemet, personen vet inte på förhand vad som krävs för att lösa problemet, en ansträngning krävs för att problemet ska lösas.
2.2 Problemlösning
Eftersom problemlösningen är så viktigt i skolans undervisning bör läraren veta vad som menas med problemlösning och vad ett matematiskt problem är (Sandahl, 2014). Ett matematiskt problem är en fråga som går att besvara med hjälp av en matematisk modell som inte är given till den som ska lösa frågan. För att det ska vara ett problem krävs det att man vill hitta en lösning på problemet (Unenge & Wyndhamn, 1988). Ett problem är inte en rutinuppgift där eleven är medveten om vilken strategi som krävs för att lösa uppgiften (Wallby, Dahlberg, Helenius, Häggström & Wallby, 2014). Den ska kunna utmana den elev som ställs inför uppgiften och på så sätt kan det vara ett problem för en elev men inte för en annan. Ett välformulerat problem består av flera frågor med olika svårighetsgrad. Detta för att en hel klass ska kunna arbeta med samma uppgift utifrån sina egna förmågor och bli lagom utmanade (Wallby et al., 2014). Även Ahlberg (1995) menar att i skolsammanhang kan ett matematiskt problem vara svårt och kräva mycket ansträngning för vissa elever, samtidigt som andra kan lösa det som en rutinuppgift. Det är alltså relationen mellan uppgiften och personen som vill lösa uppgiften som avgör om det är en problemuppgift (Ahlberg, 1995).
Björkqvist (2001) nämner även han, att en uppgift inte är ett problem för alla och menar då att det är en individrelaterad definition.
Det var först i Lgr 80 som problemlösning faktiskt presenterades som ett huvudområde i grundskolans matematikundervisning (Löwing & Kilborn, 2002). Detta var ett stort framsteg då man klargjorde att undervisningen i matematik inte enbart skulle handla om färdighetsträning. Eleverna skulle nu ges möjlighet att utveckla dugliga verktyg för att i olika situationer kunna lösa problem. Cederqvist (2009) menar att synen på problemlösning har förändrats mycket över tid. Det har gått från att lära sig för att kunna lösa problemlösningsuppgifter, till att lära sig om problemlösningsuppgifter och vidare till att lära in andra förmågor genom att arbeta med problemlösningsuppgifter (Cederqvist, 2009).
Johnsen Høines (2000) lyfter problematiken om att lärare ofta använder sig av problemlösningsuppgifter som extrauppgifter. De elever som blir klara med de uppgifter som finns i arbetsboken får möjlighet att arbeta med problemlösning. Johnsen Høines (2000) menar att alla elever måste få chansen att arbeta med dessa typer av uppgifter. Inte bara för att det ingår i läroplanen, utan även för att eleven får möjlighet att arbeta på ett sätt de kanske
inte är vana vid, och då använda sina kunskaper på ett för dem annorlunda sätt. En annan positiv aspekt av arbetet med problemlösning som Johnsen Høines (2000) lyfter är den traditionella hierarkin som ofta förekommer i ett klassrum, där vissa elever uppfattas som svaga elever och vissa som de duktiga. Detta kan komma att kastas om vid användandet av problemlösning (Johnsen Høines (2000). För att de elever som annars upplever att matematiken är svår kanske inte gör det vid användandet av problemlösningsuppgifter då de får chansen att “tänka själv”.
I läroplanen står det att problemlösningsuppgifter ska bygga på för eleverna bekanta vardagliga situationer (Skolverket, 2011). Boaler (2011) menar att uppgifter som har verklighetsanknytning kan motivera elever. Wistedt (1991) hänvisar till Piagets forskning när de argumenterar för att matematiken i skolan ska ha en verklighetsanknytning. Denna forskning hävdar att all inlärning som inte har grund i elevers tidigare kunskaper kommer att anses vara meningslös. Elever skulle alltså se en mening i matematiken genom att arbeta med vardagsnära uppgifter (Wistedt, 1991).
Det är viktigt att tänka på att när eleverna löser matematiska problem övar de på många olika typer av förmågor som behöver utvecklas för att eleven ska utveckla sitt matematiska lärande (Wallby et al., 2014). Förmågor som krävs är bland annat begreppsförmåga, resonemangsfömåga och kommunikationsförmåga.
2.3 Olika typer av matematiska problem
2.3.1 Inommatematiskt problem
Ett inommatematiskt problem innebär att uppgiften utgår ifrån en matematisk situation, utan någon vardaglig situation som eleven kan relatera till (Wallby et al., 2014). Från uppgiften får man vissa förutsättningar och med hjälp av dessa ska eleven klara av att lösa uppgiften genom att föra ett logiskt resonemang.
2.3.2 Praktiska problem
Ett praktiskt problem är då uppgiften utgår ifrån en situation från vår omvärld. Antingen kan uppgiften utgå ifrån något konkret materiellt eller någon social situation (Wallby et al., 2014).
För att lösa uppgiften måste eleven avbilda informationen som ges i uppgiften genom att konstruera en matematisk modell. Problemet går alltså från att vara ett konkret problem till att bli ett matematiskt problem. Genom att eleven löser det matematiska problemet har även det praktiska problemet fått en lösning. För att lösa ett praktiskt problem krävs många olika förmågor hos eleven, t.ex. begreppsförmåga, resonemangsförmåga, kommunikationsförmåga och argumentationsförmåga (Wallby et al., 2014).
2.3.3 Rika problem
Cederqvist (2009) betonar vikten av att använda sig av rika problem i undervisningen. Dessa ser hon som en stor inspirationskälla. För att uppgiften ska kallas ett rikt problem måste den nå upp till följande kriterier:
I problemet ska det introduceras matematiska idéer eller strategier för att kunna hitta en lösning.
Problemet ska vara tydligt så att alla kan förstå det och kunna arbeta med det oavsett vilken kunskapsnivå inom förmågorna man har.
Eleverna ska uppleva att de blir utmanade och de ska även ha tillräckligt med tid för att på ett bra sätt kunna lösa problemet.
Problemet ska gå att lösa på flera sätt genom att använda olika strategier.
Utformningen av problemet ska göra att det bjuder in till diskussioner kring olika strategier, idéer och representationer.
Eleverna ska genom att arbeta med problemet se samband mellan olika områden inom matematiken.
Genom att arbeta med problemet ska både elever och lärare hitta nya problem att formulera.
2.4 Lärande
Förut ansågs kunskap som något givet, ett stoff som förs över till andra människor (Magne (1998). Denna syn har förändrats och Magne (1998) menar att kunskap är något som gör världen förståelig. Kunskap som konstrueras inom elever ser han som en beskrivning av matematikinlärning. För elever handlar det om att tänka och matematiken är för dem en abstrakt kunskap. Enligt Unenge, Sandahl och Wyndhamn (1994) kan man endast se en liten del av kunskapen. Det finns olika delar och typer av kunskap till exempel fakta, färdighet, förståelse och förtrogenhet. Genom lärandet skaffar eleven nya kunskaper och man kan tala om olika lärande (Unenge et al., 1994). Det första kallas konstruktivt lärande och detta innebär att världen blir begriplig med hjälp av kunskapen. Det andra är kontextuellt lärande som gör att kunskapen blir begriplig. Tredje lärandet är funktionellt lärande då kunskapen blir ett redskap.
För att eleverna ska få de bästa möjligheterna till lärande menar Ahlberg (2001) att läraren behöver ha en didaktisk medvetenhet, kunskap om det aktuella ämnet samt en förståelse för hur eleverna lär sig. Det viktigaste när eleverna ska lära sig matematik är inte att de kan olika talbegrepp eller har en tidig förståelse för positionssystemet. Utvecklingen börjar i tidig ålder genom att barnen stöter på olika matematiska begrepp i sina fysiska och språkliga aktiviteter.
Barnen lär sig både inom sociala situationer men även när de är själva. Genom att samtala eller leka lär de sig bland annat olika former, storlekar, mängder och massa.
Enligt Unenge et al. (1994) visar forskning att lärandet är beroende av i vilken situation inlärningen sker. Oftast blir inlärningsresultaten bättre om undervisningen sker på ett intresseväckande sätt, eller om man tvingas lära sig något nytt för att klara ut en speciell situation. Skolan kan därför behöva göra förändringar av sina arbetsformer och omgivningen för att öka chanserna till inlärning (Unenge et al. 1994). En annan viktig förutsättning för att inlärning ska ske är att läraren utformar undervisningen utifrån elevernas uppfattningar och vad det redan kan. Det gäller alltså att läraren motiverar och stimulerar eleverna så att de vill lära sig.
2.4.1 Förmågor
I kursplanen för matematik finns ett avsnitt med olika förmågor som eleverna ska få chans att utveckla genom undervisningen (Skolverket, 2011). Det är fem olika förmågor som läraren bör förhålla sig till när de undervisar och bedömer elever. Kunskapskraven och det centrala innehållet i matematik är uppbyggda på dessa förmågor vilket gör att det är en viktig del att behandla. Inledningsvis är det problemlösningsförmågan som innebär att eleverna med hjälp av matematik ska lösa och formulera problem samt kunna värdera de metoder och strategier de valt. För det andra ska eleverna kunna använda sig av matematiska begrepp samt kunna analysera och se samband mellan begreppen, detta kallas begreppsförmåga. Genom procedurförmågan ska eleverna kunna göra beräkningar och lösa rutinuppgifter genom att använda väl valda metoder som är lämpliga för uppgifterna. Resonemangsförmågan innebär att matematiska resonemang ska kunna följas eller föras. Till sist ska matematikens olika uttrycksformer kunna användas för att redogöra för, samtala om och argumentera för beräkningar, frågeställningar och slutsatser. Denna förmåga kallar man för kommunikationsförmågan.
2.5 Lära sig att lösa problem
Barn har redan innan de får undervisning utvecklat sin förmåga att lösa olika matematiska problem (Ahlberg, 2001). De är däremot inte vana vid att lösa problem och uttrycka sin lösning med matematiska symboler (Ahlberg, 1995). Då barnen ska börja skolan innebär det att de måste övergå från att ha använt sig av informella strategier som bygger på deras erfarenhet, till att lära sig den formella matematiken som lärs ut i skolan. Ahlberg, (1995) menar därför att matematikundervisningen i skolan borde anpassa sig mer efter hur barnens kunskaper och tänkande ser ut då de börjar skolan och låta barnen ta tillvara och utveckla sina redan funna matematiska kunskaper. Detta kan göras genom problemlösning istället för att bara ägna sig åt uppräkning och symbolinlärning.
För att eleverna ska utveckla sin problemlösningsförmåga behöver de stöttning från läraren (Ahlberg, 2001). Läraren behöver genomskåda elevernas tankemönster och invanda tankar om hur ett problem ska lösas för att de ska komma bort från detta tankesätt. Detta innebär att eleverna inte ska ha en föreställning om hur problemen ska lösas. För att lyckas med problemlösningen måste eleverna ha fått en förståelse för problemet, använda sig av en
lösningsmetod, utföra beräkningarna och utvärdera resultatet (Ahlberg, 2001). På ett liknande sätt har Petersson (2013) formulerat en övergripande strategi som elever kan använda vid problemlösning:
1. Förstå problemet. Här måste eleven fundera över om alla begrepp är förstådda och vad som ska besvaras och vad man ska komma fram till.
2. Utforma en plan. Här kan eleven göra på olika sätt, t.ex. sammanställa all information som finns om problemet och sedan fundera ut hur man ska lösa problemet.
3. Genomför planen. Här ska eleven lösa problemet utifrån sin planering.
4. Utvärdera. Här ska eleven utvärdera och fundera över om det var en bra lösning av problemet. Fundera även över om det har uppstått något följdproblem.
Denna plan liknar de fyra faser som Pólya och Conway (2004) utformat för att hitta lösningar på problem. Varje fas är viktig på sitt sätt för att kunna komma fram till en lösning. Fast en elev kan hitta ett snabbt svar är vikten av att förstå problemet lika viktig.
För att underlätta problemlösningen för eleverna är det viktigt att läraren inte ger dem förmaningar att läsa eller tänka igen (Ahlberg, 2001). Istället bör läraren observera och fråga eleverna samt bidra med idéer. Det finns en mängd olika strategier som kan användas för att bli bättre på att lösa problem. Eleven kan rita en bild för att underlätta, dramatisera problemsituationen, göra en lista, göra en tabell eller ett diagram, prova sig fram och gissa, lösa ett lättare problem eller ta hjälp av laborativt material. För att bli en bättre problemlösare måste eleverna få chans att lösa många problem samt få tiden att kunna arbeta länge med ett problem (Ahlberg, 2001). Gunnarsson (2014) lyfter fram att elever som får arbeta med olika representationsformer när de löser problem utvecklar sin problemlösningsförmåga. Detta sker genom att eleverna bland annat upptäcker att matematiska problem ofta kan lösas på flera olika sätt, eleverna lär sig argumentera för och emot olika lösningar samt tenderar att inte ge upp då de stöter på motstånd utan försöker hitta nya lösningar.
2.5.1 Diskussion och reflektion i undervisningen
Elever som arbetar med problemställningar där de självständigt får tänka och sedan diskutera med andra, får ett ökat intresse och engagemang för matematiken (Boaler, 2011). De elever
som får möjlighet att diskutera och reflektera över matematiken utvecklar större matematisk förståelse (Ahlberg, 1995). Enligt Ahlberg (2001) ökar elevernas möjligheter att kommunicera med både läraren och varandra om de får lösa problem i mindre grupper. De kan även få en bättre förståelse då de får dela sina egna erfarenheter, ta del av andras sätt att tänka, sälla frågor och hypoteser samt redogöra för olika lösningsförslag. Det kan vara betydelsefullt för barn att få uttrycka sig på olika sätt och skriften kan leda till reflektion då det är lätt att gå tillbaka och se över vilka tankar som funnits (Ahlberg, 1995). Ahlberg (1995) menar vidare att arbete i grupper vid problemlösning är en fördel då eleverna får chansen att förklara sina strategier och lösningar då gruppen ska lösa uppgifter tillsammans, vilket kan leda till att de blir medvetna om sin egen förståelse. Dessutom får eleverna möjlighet att lyssna och utvärdera andras strategier vilket kan leda till utveckling av kunskaper. Detta kan för alla elever möjliggöra att få en matematisk förståelse och lära sig att lösa problem (Ahlberg, 1995). Ahlberg (1995) belyser även Vygotskys sätt att se på samspelet mellan människor som en viktig aspekt när det kommer till synen på barns lärande. Det innebär att interaktionen mellan barnen möjliggör bland annat begreppsutvecklingen. För att en utveckling av kunskaper ska ske bör ett barn ta hjälp av andra, detta kan inte ske på egen hand.
3 Metod
I detta avsnitt kommer vi att beskriva hur vi har gått tillväga för att samla ihop material till denna litteraturstudie. Det är en konsumtionsstudie vilket innebär att vi läser och bearbetar befintlig forskning som sedan sammanställs till ett resultat följt av en diskussion. Vi har använt oss av både nationella och internationella vetenskapliga artiklar som är relevanta för vårt syfte och våra frågeställningar.
3.1 Litteratursökning
För att hitta relevant litteratur som passade våra frågeställningar har vi använt oss av elektronisk sökmetod. Detta innebär att vi med hjälp av sökord gjort sökningar i olika databaser för att hitta artiklar. Vi använde oss av databaserna UniSearch och ERIC (Educational Resources Information Center). Sökning i UniSearch ger träffar i flera olika databaser då det är en samlingsdatabas. ERIC är en databas som innehåller många olika dokumenttyper inom pedagogik och psykologi (Eriksson Barajas, Forsberg & Wengström, 2013). Anledningen till att vi endast sökt elektroniskt är att vi enkelt kunde anpassa sökorden och på så sätt testa oss fram till vilka sökord som gav relevanta träffar. Andra fördelar med elektronisk sökning var att man kunde minska ner antalet träffar genom att avgränsa sökningen. Detta hade vi god användning för då problemlösning är ett stort område som genererade många träffar.
Sökorden vi använt oss av är mathematic, problem solving, learning, strategies, education, promoting, knowledge och computation. Dessa ord har kombinerats med varandra på olika sätt och i vissa fall har vi kortat av orden och satt en asterisk bakom. Vi har exempelvis använt oss av math* som med asterisken breddar sökningen och kan bli ord som mathematic, mathematics m.m. I de flesta sökningarna har sökordet ”problem solving” funnits med.
Citationstecknen har använts för att få en exakt sökning på dessa ord, vilket innebär att de inte ändras till något annat än det som angavs. När vi angett mer än ett sökord gjorde vi mellanslag mellan de olika orden vilket databaserna tolkar som “och/eller” (Eriksson Barajas, 2013). Detta gör att sökningen görs på både de enskilda orden och de olika orden tillsammans vilket kan leda till att fler artiklar inom det önskade området hittas.
3.2 Avgränsningar
När vi gjort en sökning med utvalda sökord valde vi att avgränsa alla sökningar till att bara artiklar och rapporter som var Peer Reviewed kom med. Detta innebär att de är granskade av oberoende forskare inom området (Eriksson Barajas, 2013). Utöver denna avgränsning valde vi att bara använda material på svenska och engelska. Det är även så att synen på problemlösning har förändrats mycket över tid (Cederqvist, 2009). Därför har vi begränsat oss till årtalen 2005-2015. De avgränsningar vi nämnt ovan tillhör avgränsning 1 (se tabell 1).
Efter att ha gjort de första avgränsningarna insåg vi att sökresultatet var alldeles för stort.
Detta gjorde att vi använde oss av funktionen “subject”. Denna funktion innebär att sökningen kan avgränsas ytterligare, genom att i en lista med givna ämnesord välja ut de ämnen man vill rikta sökningen mot. De givna ämnesorden kan variera beroende på sökorden som använts och hur de kombinerats. Vanliga ämnesord vi använt oss av är expemelvis problem solving, mathematics, learning, school age (6-12 yrs), word problems (mathematics) och teaching methods. Sökresultaten vi fick efter att ha använt oss av funktionen “subject” redovisas i tabell 1 under avgränsning 2.
Vi var medvetna om att användandet av “subject” kan ha lett till bortfall av för oss relevanta artiklar. Detta ansågs vara nödvändigt då sökresultatet efter avgränsning 1 var för stort för att kunna göra urval ur. Vi var även medvetna om att 2 av artiklarna i vår litteraturstudie genomför sina studier med elever i årskurs 6-7. Detta är inte de årskurserna vi främst riktar oss mot. Vi valde ändå att ta med dessa studier på grund av att syftet med studierna stämmer överens med det vi vill undersöka.
Urvalet i tabell 1 visar det antal artiklar vi valde att använda oss av i resultatet. Dessa artiklar valdes genom läsning av abstract i de artiklar som sökresultatet gav efter avgränsning 2. De artiklar som valdes bort ansågs inte relevanta. Till exempel på grund av åldern på eleverna i studien, eller att studien genomfördes med elever som hade matematiksvårigheter vilket vår studie inte riktar sig mot.
3.2.1 Tabell 1. Urval av antalet artiklar som använts i resultatet
DATABAS SÖKORD AVGRÄNSNING 1 AVGRÄNSNING 2 URVAL
ERIC problem solving learning, mathematics skills
482 träffar problem solving, mathematics skills, teaching methods 70 träffar
1 artikel
UniSearch “problem solving” develop mathemat* knowledge
57 680 träffar problem solving, mathematics skills 42 träffar
2 artiklar
UniSearch “problem solving” develop mathemat* knowledge
57 680 träffar problem solving, childhood (birth-12 yrs), school age (6-12 yrs), elementary school
6 träffar
1 artikel
UniSearch effects when using “problem solving”
146 917 träffar problem solving, mathematics, school age (6-12 yrs), learning 6 träffar
1 artikel
UniSearch “problem solving” teacher 80 272 träffar problem solving, teaching methods, elementary school mathematics, elementary school teachers, word problems (mathematics)
16 träffar
1 artikel
UniSearch “problem solving” effects mathematics
38 284 träffar problem solving, school age (6-12 yrs), mathematics learning 3 träffar
2 artiklar
UniSearch problem approach mathematics learning
160 697 träffar learning, problem solving, teachers 12 träffar
1 artikel
UniSearch problem mathematics learn* 223 662 träffar mathematics, problem solving, learning, school age (6-12 yrs) 8 träffar
1 artikel
3.3 Slutgiltigt urval
De artiklar vi slutligen valde att använda oss av i resultatet presenteras nedan i tabell 2. Tabellen visar vilken typ av studie som genomfördes av respektive författare och vilken årskurs eleverna i studien tillhörde. Tabellen visar även vilken databas de olika artiklarna hittades i och med hjälp av vilka sökord.
3.3.1 Tabell 2. Sammanställning av de artiklar som använts i resultatet
NAMN FÖRFATTAREN ÅR LAND DATABAS TYP AV STUDIE SÖKORD
Alibali M, Phillios, K & Fischer, A 2009 USA UniSearch Experiment Årskurs 3-4
Effects when using
“problem solving”
DeCaro, M & Rittle-Johnson, B 2012 USA UniSearch Experiment
Klass 2-4
problem mathematics learn*
Fuchs, L, Cirino, P, Powell, S, Schumacher, R, Marrin, S, Hamlett, C, Fuchs, D, & Compton, D
2014 USA UniSearch Experiment Klass 2
“problem solving”
develop matemat*
knowledge Fuchs, L, Fuchs, D, Compton, D, Powell,S, Seethaler, P,
Capizzi, A, Schatschneider, C & Fletcher, J
2006 USA UniSearch Experiment Klass 3
“problem solving”
effects mathematics
Fyfe, E, Rittle-Johnson, B & DeCaro, M 2012 USA UniSearch Experiment “problem solving”
Klass 2-3 effects mathematics
Jitendra, A, Griffin, C, Haria, P, Leh, J, Adams, A, &
Kaduvettoor, A
2007 USA UniSearch Experiment Klass3
“problem solving”
develop matemat*
knowledge
Ridlon, C 2009 USA UniSearch Experiment
Klass 6
problem approach mathematics learning
Samuelsson, J 2008 Sverige UniSearch Experiment
Klass 7
“problem solving”
develop matemat*
knowledge
Tarim, K 2009 Turkiet ERIC Experiment
Förskola (6 år)
problem solving skills learning
Soylu, Y 2010 Turkiet UniSearch Intervju
Lärare
“problem solving”
teacher
3.4 Källkritik
För att använda sig av så trovärdiga källor som möjligt menar Thurén (2005) att det finns två typer av källor, primärkällor och sekundärkällor. En primärkälla är den ursprungliga källan och en sekundärkälla har tagit sin information från någon annan källa. Primärkällor kan i allmänhet anses vara den trovärdigaste källan. Detta för att en sekundärkälla kan ha bearbetats flera gånger och då finns det risk att informationen har förändrats.
Vid granskning av resultatet av olika typer av studier menar Eriksson Barajas et al. (2013) att hänsyn till validitet och reliabilitet bör tas för att kunna avgöra tillförlitligheten. Validitet kan delas upp i intern och extern validitet. Intern validitet innebär att deltagarna i studien är slumpmässigt fördelade där så kallade störande variabler är fördelade lika i studiens eventuella grupper. Den interna validiteten hotas om kontrollgruppen och testgruppen inte är lika i början av studien. Extern validitet innebär att de som valts ut till studien måste kunna representera populationen. Den externa validiteten hotas om vissa egenskaper, t.ex. ålder eller kön är över- eller underrepresenterade i studien i jämförelse mot populationen. Reliabilitet innebär att mätningen i studien är tillförlitligt. Detta betyder att studien skulle visa samma resultat om studien genomfördes igen på samma sätt.
4 Resultat
Resultatet av denna litteraturstudie presenteras i avsnittet nedan. Frågeställningarna som ligger till grund för detta arbete kommer att besvaras under lämpliga rubriker. Resultatet som besvarar de två frågeställningarna är inte uppdelad på grund av att tydliga grupperingar inte går att urskilja.
4.1 Detta gynnar utvecklingen av elevers problemlösningsförmåga
Här nedan presenteras de artiklar som svarar på litteraturstudiens första frågeställning. Denna lyder; Vad i matematikundervisningen gynnar elevers problemlösningsförmåga? För att svara på frågeställningen sammanställdes åtta studier. Inledningsvis presenteras en intervju med lärare, därefter följer sju olika studier där experiment har genomförts. Studierna visar på olika faktorer som kan gynna utvecklingen av elevers problemlösningsförmåga.
Soylu (2010) genomförde en studie där syftet var att identifiera de modeller och metoder som användes av grundskollärare när de löser ordproblem. Med ett ordproblem menas ett problem som presenteras i textform. Ett mål med denna studie var att bestämma både de positiva och negativa tillvägagångssätten lärarna använder när de löser ordproblem. Lärarna skulle sedan bli informerade om dessa metoder. Syftet med denna information till lärarna var att de förhoppningsvis skulle ersätta sina dåvarande negativa strategier med de positiva. Genom att istället använda sig av de positiva tillvägagångssätten när de löste ordproblem skulle detta få en positiv påverkan på elevernas problemlösningsförmåga. Förutom detta ville man ta reda på om de metoder och modeller som används av grundskollärare för att lösa problem är lämpliga för eleverna, för att de ska utveckla sin problemlösningsförmåga. För att samla information om olika modeller och metoder blev en mängd grundskollärare intervjuade och därefter fick de lösa några olika problem. Lärarna som valdes ut hade alla undervisat i första klass till femte klass, detta krav hade man för att frågorna berörde alla de årskurserna. Resultatet av intervjuerna visar att elever i grundskolan behöver arbeta med konkreta modeller för att förstå och utveckla sin problemlösningsförmåga. Det visar sig i resultatet att många lärare i grundskolan inte klarar av att använda dessa kreativa modeller på den nivå deras elever behöver för att de ska utveckla sin problemlösningsförmåga.
Alibali, Phillips och Fischer (2009) utförde en studie där de ville hitta belägg för om bättre kunskap kan påverka elevers problemrepresentationer. Ett syfte var även att undersöka under vilka förutsättningar en bättre kunskap kan leda till förbättringar av problemrepresentationerna. Studien skulle också behandla om inlärning av nya strategier hos elever kunde leda till förändringar i problemrepresentationerna. Problemrepresentationer innebär att lösningen på ett problem kan presenteras på olika sätt. Detta kan ske genom t.ex.
muntlig redovisning, bilder eller text. Elever från årskurs 3 och 4 deltog i studien som pågick under en lektion. Varje elev deltog individuellt i en experimentell session. Denna bestod av sex olika delar som eleverna skulle gå igenom. Det var ett förtest på problemlösning, ett förtest på problemrepresentation, en lektion om en strategi (eller strategier), ett eftertest på problemrepresentation, ett eftertest på problemlösning och ett överföringstest. Till lektionerna valdes eleverna slumpmässigt till en av fyra experimentgrupper. Första gruppen var en kontrollgrupp, den andra hade fokus på strategin att ”jämna ut”, den tredje berörde strategin
”lägga till - ta bort” och den fjärde gruppen fick undervisning i både ”jämna ut” och “lägga till - ta bort”. Alla grupperna fick undervisning inom den strategin eller de strategier som hörde till gruppen. Inför varje problem fick alla förutom kontrollgruppen en instruktion innan de började lösa problemet. Ingen av grupperna fick däremot feedback på sina lösningar.
Resultatet visar att elever i alla experimentgrupperna visade sig använda korrekta strategier på lektionerna och eftertesten. De som fick undervisning om “jämna ut” förbättrade sina problemrepresentationer. Inom detta såg man inga förbättringar när det gällde gruppen som undervisades i “lägga till - ta bort” och inte heller gruppen med två strategier.
Kontrollgruppen visade dock en liten förbättring av problemrepresentationer.
Fyfe, Rittle-Johnson och DeCaro (2012) genomförde en studie där syftet var att undersöka effekterna av återkoppling till eleverna under tiden de löste problem. I studien som pågick under två veckor ingick 87 elever i klass 2 och 3. Eleverna fick under två experiment arbeta med tolv matematiska problem och efter varje problem de löst fick de antingen ingen återkoppling, återkoppling på resultatet eller strategisk återkoppling. Återkoppling på resultatet innebar att eleverna fick återkoppling på hur korrekt deras svar var. Strategisk återkoppling innebar att eleverna fick återkoppling på den utförda strategin och hur korrekt den var. De gjorde ett förtest följt av undervisning, sedan ett test och förklaring av liketstecknet och till sist ett eftertest. Det utfördes även ett uppföljningstest två veckor efter avslutad studie. Resultatet av studien visade att de elever som hade låga förkunskaper om
korrekta strategier påverkades positivt av att få återkoppling i samband med undervisningen.
Det fanns ingen betydande skillnad om de fick återkoppling på resultatet eller strategisk återkoppling. Återkoppling på resultatet hade lite större positiv inverkan på begreppsförmågan än strategisk återkoppling. Elever med vissa förkunskaper om korrekta strategier presterade bättre då de inte fick någon återkoppling alls, utan de fick upptäcka på egen hand.
Återkoppling till elever med vissa förkunskaper kan alltså göra mer skada än nytta. För att säkerställa att resultatet från experiment 1 utförde man ytterligare ett experiment som var identiskt med det första, med undantag från ett fåtal saker. De elever som fick återkoppling på resultatet fick i det första experimentet både veta om de hade löst uppgifter korrekt och hur den korrekta lösningen skulle se ut. Dessa elever fick i experiment 2 enbart veta om deras egen lösning var korrekt men inte hur den korrekta lösningen såg ut. Resultatet i experiment 2 stämde överens med resultatet i experiment 1.
Tarim (2009) har gjort en studie där syftet var att kontrollera vad den kooperativa inlärningsmetoden har för effekter på förskolebarns problemlösningsförmåga. Denna inlärningsmetod innebär att eleverna får arbeta i grupp och samarbeta när de jobbar med matematikproblem. I studien var det framförallt problem med addition, subtraktion och fördela problem som användes. Eleverna som var sex år gamla delades in i tre grupper. Två grupper var experimentella och den tredje en kontrollgrupp. Dessa elever var inte läskunniga och inte heller vana att arbeta i grupp. För att genomföra undersökningen utvecklades ett program som skulle förbättra elevernas matematikförmågor. Det bestod av olika aktiviteter som var baserade på den kooperativa inlärningsmetoden. Experimentet utfördes två dagar i veckan i en timme under 13 veckor. Samma matematiska begrepp introducerades i alla tre grupperna. Skillnaden var att experimentgrupperna samarbetade i grupper som innehöll två till fyra elever. Eleverna testades enskilt av forskaren som läste upp olika problem där eleverna fick ta hjälp av fingrar eller poletter för att hitta svaret. Denna metod användes på både förtesten och eftertesten och eleverna fick 30-35 minuter var. Under experimenttiden hade alla grupper förbättrats utifrån förtestet. Eleverna i experimentgrupperna hade dock gynnats betydligt mer än eleverna i kontrollgruppen. Mellan de två experimentgrupperna fanns det ingen statistisk signifikant skillnad. Eleverna i försöksgrupperna utvecklade sin problemlösningsförmåga på en högre nivå än kontrollgruppen.
Jitendra et al. (2007) genomförde en studie med syfte att undersöka vilka olika effekter en strategi (schema-based instruction, SBI) jämfört med att använda generella strategier (general strategy instruction, GSI) har på problemlösningsförmågan. SBI innebär att eleverna ska kunna känna igen vilken typ av problem som finns i uppgiften genom att se till uppgiftens struktur. Därefter ska eleven med hjälp av tidigare kunskaper veta vilken typ av strategi som är mest lämpad att använda för att lösa problemet. GSI innebär att eleverna får undervisning i olika typer av strategier. De behandlade även om effekterna av dessa två strategier kunde påverka prestationer på de statliga prov som genomförs för att undersöka kunskaperna i matematik. Avslutningsvis undersökte de om problemlösning hade någon påverkan på elevernas beräkningskunskaper. Eleverna blev indelade i sex grupper där tre grupper arbetade med SBI och tre grupper med GSI. I båda grupperna fick eleverna omfattande undervisning om strategier som kunde användas. De var även medvetna om en modell med fyra steg som kunde användas för att lösa problem. De fyra stegen var att hitta problemet, organisera problemet för att kunna lösa det, utforma en plan samt lösa problemet. Resultatet visade att både de elever som hade arbetat med SBI och GSI förbättrade sin förmåga att lösa problem, men att de elever som arbetat med SBI hade förbättrat sin förmåga att lösa problem mer än de som arbetat med GSI.
Fuchs et al. (2014) har utfört en studie för att undersöka kopplingen mellan beräkningar, ordproblem och prealgebraisk kunskap. För att undersöka detta var eleverna indelade i tre olika undervisningsgrupper. Den första gruppen arbetade med beräkningar, den andra gruppen arbetade med ordproblem och den tredje gruppen var en kontrollgrupp som genomförde undervisningen utan förändringar. I studien menar de att beräkningar är skicklighet med sifferkombinationer och procedur räkning. Ordproblem definierar de som språkligt presenterade problem med irrelevant information och/eller diagram och siffror, där lösningen kräver att eleven antingen adderar eller subtraherar en- eller tvåsiffriga tal. Prealgebraisk kunskap definieras som förståelse för likhetstecknet och begreppet en variabel. Resultatet visar att eleverna som arbetade med ordproblem förbättrade sina prestationer inom problemlösning jämfört med de elever som arbetade med beräkning och kontrollgruppen. I arbetet med ordproblem visade resultatet att beräkningsgruppen och kontrollgruppen presterade likvärdigt.
I en studie Fuchs et al. (2006) genomfört var syftet att undersöka de kognitiva sambanden
mellan tre delar av det matematiska innehållet. De tre delarna var aritmetik, algoritmberäkning och aritmetiska problem. Studien presenterar resultat från 312 tredje klass elever. Eleverna bedömdes i helklass och individuellt vid olika tillfällen under ett års tid.
Resultatet av studien visar att eleverna är i behov av fonologisk avkodning, kunna hålla fokus och ha en processhastighet för att utveckla sin aritmetiska förmåga. När de gäller utveckling av algoritmberäkningar har aritmetiken och uppmärksamheten en betydande roll. För att utveckla problemlösningsförmågan finns det några betydande delar vilka är aritmetik, förmågan att hålla fokus, icke-verbal problemlösning, begreppsförmåga, läsflyt och språk.
Arbetsminnet förekom inte som en central del i modellen till att börja med. När fonologisk avkodning och läsflyt avlägsnades visade det sig att arbetsminnet fick en betydande roll för utvecklingen av aritmetik och aritmetiska problem. Detta påvisar att läsning och läsrelaterade processer kan påverka relationerna mellan arbetsminne och de två delarna aritmetik och aritmetiska problem.
4.1.1 Sammanfattning i tabell
I tabell 3 sammanfattas resultatet av den första frågeställningen. Detta kan delas upp i två kategorier. Den första visar hur olika delar i undervisningens utformning kan gynna elevers problemlösningsförmåga. Den andra visar vilka av elevens kunskaper som gynnar utvecklingen.
Tabell 3. Sammanfattning av resultatet av den första frågeställningen
KATEGORIER UNDERKATEGORIER
A. Undervisningens utformning 1. Konkreta modeller 2. Val av strategier
3. Återkoppling från läraren 4. Arbete i grupp
5. Arbetet med problemlösning
B. Elevens kunskaper 1. Aritmetik
2. Förmågan att hålla fokus 3. Icke-verbal problemlösning 4. Begreppsförmåga
5. Läsflyt 6. Språk
7. Arbetsminne
4.2 Lära genom problemlösning
Här nedan presenteras de artiklar som svarar på litteraturstudiens andra frågeställning. Den lyder; Hur kan elever lära genom problemlösning i matematikundervisningen? Fem studier sammanställs för att svara på frågeställningen. Samtliga studier har genomfört experiment.
Studierna visar hur elever kan lära genom arbete med problemlösning.
Fuchs et al. (2014) genomförde en studie där resultatet visade att de elever som arbetade med beräkning förbättrade sina prestationer inom beräkningsområdet mer än de kontrollgruppen och de elever som arbetade med ordproblem. Resultatet inom beräkning visade att eleverna som hade arbetat med ordproblem hade lika stor kunskap inom beräkningsområdet som kontrollgruppen. När prealgebraisk kunskap mättes hos eleverna visade det sig att de som hade arbetat med ordproblem hade överlägset bättre resultat jämfört med både kontrollgruppen och de som hade arbetat med beräkning. De som hade arbetat med beräkning presterade endast lite bättre än kontrollgruppen när prealgebraisk kunskap mättes.
I studien som Jitendra et al. (2007) genomförde visade resultatet att de elever som tillhörde SBI-gruppen presterade bättre än GSI-gruppen på de statliga provet i matematik som genomfördes. Det visades sig även att beräkningsförmågan förbättrades inom båda grupperna genom arbete med problemlösning.
Ridlon (2009) genomför en studie för att undersöka om elevers kommunikation och matematiska tänkande kunde stärkas och samtidigt förbättra deras prestationer och provresultat, genom att använda en problemcentrerad undervisningsmetod, PCL. De undersökte även hur attityder hos eleverna påverkades av att använda PCL. Studien genomfördes i årskurs 6 under sammanlagt nio veckor fördelat över två perioder två år i följd.
Första året testades lågpresterande elever och andra året testades elever med olika prestationsnivåer. PCL innebar att problem introducerades i helklass av antingen läraren eller en elev. Sedan delades klassen in i grupper med två eller tre elever i varje grupp. Grupperna arbetade med problemet och sedan övergick lektionen till diskussion i helklass där grupperna fick presentera sina lösningar och även argumentera för dem. Under lektionen är lärarens roll att ställa frågor till grupperna och om deras strategier men inte bedöma dem. Bedömningen sköttes av de andra eleverna. I studien användes även en kontrollgrupp där undervisningen skedde genom en traditionell undervisningsmetod. Där blev eleverna först introducerade till nya matematiska begrepp av läraren och sedan fick de arbeta individuellt med det nya begreppet. Eleverna fick även chansen att arbeta med tidigare inlärda begrepp. Både första och andra året hade kontrollgruppen och PCL-gruppen liknande resultat på det test som utfördes innan studien började. Det test som genomfördes i slutet av studien visade att de grupper som använde sig av PCL förbättrade sina prestationer, oavsett vilken nivå av förmåga eleverna befann sig på innan studien. PCL-gruppen hade mycket högre resultat än kontrollgruppen. De lågpresterande eleverna i PCL-gruppen visade sig vara de som tycktes förbättra sina resultat mest genom detta arbetssätt och klyftan mellan dem och de andra eleverna minskade. Arbetet med PCL visade sig ha effekter på elevernas attityder gentemot matematik på ett positivt sätt. Resultatet visade även att elevernas kommunikation och matematiska tänkande utvecklades genom PCL.
DeCaro och Rittle-Johnson (2012) ville i sin studie granska om undersökande upplevelser och uppmaning till självförklaring hjälper elever att lära sig av korta och tydliga instruktioner.
Genom att studera eleverna enskilt ville man granska de potentiella orsakerna till varför olika
typer av upplevelser i undervisningen kan förändra lärandet. Självförklaring innebär att elever förklarar sitt sätt att lösa en uppgift. I studien deltog elever från årskurs 2-4. Eleverna delades in i fyra olika grupper, den första kallade man för lösa problem - instruktion vilket innebar att eleverna först fick lösa problem och sedan fick de instruktion. Andra gruppen kallade man för instruktion - lösa problem, tredje gruppen var de som behövde extra träning och den fjärde gruppen skulle använda sig av självförklaringar. Resultatet visar att elever i alla experimentgrupper förbättrade sin procedurkunskap. De som löste problem först och sedan fick instruktion fick högre poäng när det gällde begreppskunskap än eleverna i instruktion - lösa problemgruppen. Självförklaring hjälpte inte elevernas begreppskunskap förutom att de fick ytterligare problemlösningsträning. Eleverna i lösa problem - instruktionsgruppen visade sig vara mindre noggranna när de löste problem jämfört med elever i instruktion - lösa problemgruppen. Den sistnämnda använde korrekta strategier oftare och felaktiga strategier mer sällan än elever i lösa problem - instruktionsgruppen. Dock använde de fortfarande felaktiga strategier mer än en fjärdedel av problemen som löstes. Eleverna i gruppen lösa problem - instruktion hade en bättre förståelse som bibehölls över tid. Självförklaring förbättrade inte elevernas prestationer i förhållande till de elever som löste extra problem.
Samuelsson (2008) genomförde en studie för att undersöka effekterna av tre olika undervisningsmetoder. Metoderna som undersöktes var traditionell, självständigt arbete och problemlösning. Som beroende variabler användes elevernas färdigheter inom självreglerat lärande, inre och yttre motivation, självuppfattning och ångest. Den traditionella undervisningsmetoden innebar att läraren förklarade metoder och procedurer på tavlan för eleverna. Därefter fick eleverna arbeta individuellt i deras arbetsböcker. Självständigt arbete innebar att eleverna fick arbeta självständigt med problem i en arbetsbok. Eleverna fick ingen introduktion innan de började arbeta. Läraren gick runt i klassen och hjälpte till med frågor som eleverna hade. Problemlösning innebar att eleverna blev introducerade till olika problemlösningsuppgifter och metoder som kunde användas för att lösa dessa. Eleverna fick sedan arbeta i grupper med fyra elever i varje grupp. De fick möjlighet till diskussioner i gruppen, med läraren och i helklass. En tredjedel av lektionen ägnades åt att arbeta med problemlösningsuppgifter i arbetsboken. Resultatet av studien visade att oavsett vilken undervisningsgrupp eleverna tillhörde förbättrade de sina kunskaper i aritmetik.
Problemlösningen verkar vara den mest effektiva metoden för att utveckla elevernas intresse och glädje för matematik. Den metoden verkade även förbättra den inre motivationen genom
att de diskuterade i smågrupper. Traditionellt och problemlösning var de metoder som var mest effektiva när det gällde elevers självuppfattning. De elever som arbetade med problemlösning gjorde större framsteg inom begreppslig förmåga.
4.2.1 Sammanfattning i tabell
Tabell 4 visar en sammanfattning av resultatet av den andra frågeställningen.
Sammanfattningen är uppdelad i två kategorier. Den första sammanfattar de matematiska förmågor som utvecklas genom arbete med problemlösning. Matematiska förmågor innebär att förmågorna är kopplade direkt till matematiken. Då eleven har utvecklat en förmåga inom matematik är det inte säkert att samma förmåga har utvecklats inom något annat ämne. I den andra kategorin sammanfattas de förmågor som inte är direkt kopplade till matematik.
Tabell 4. Sammanfattning av resultatet av den andra frågeställningen
KATEGORIER UNDERKATEGORIER
A. Matematiska förmågor 1. Procedurkunskap 2. Beräkningsförmåga 3. Prealgebraisk kunskap 4. Begreppsförmåga 5. Matematiskt tänkande
B. Övriga förmågor 1. Noggrannhet
2. Positiv attityd mot matematik 3. Intresse
4. Inre motivation 5. Självuppfattning 6. Kommunikation
5 Diskussion
Syftet med denna studie är att undersöka hur undervisningen kan påverka utvecklingen av elevers problemlösningsförmåga samt hur användandet av problemlösning kan påverka andra delar av elevers matematikinlärning. I följande avsnitt kommer diskussion och analys utföras där vi gör kopplingar mellan arbetets bakgrund och resultat. Därefter avslutas avsnittet med en metoddiskussion och slutsats.
5.1 Summering av resultatet
För att elever ska utveckla sin problemlösningsförmåga kommer Tarim (2009) fram till att undervisningen bör innehålla arbete i smågrupper. Vidare visar resultatet i studien som Fuchs et al. (2006) genomfört att elever som ska utveckla sin problemlösningsförmåga behöver ha kunskaper i aritmetik, icke-verbal problemlösning, läsflyt och språk, samt ha förmågan att hålla fokus och en begreppslig förmåga. Resultatet tyder även på att det finns olika strategier som kan användas för att förbättra problemlösningsförmågan. Alibali et al. (2009) kommer i sin studie fram till att strategin “jämna ut” förbättrar problemrepresentationen hos elever.
Elever som lär sig att använda SBI utvecklar problemlösningsförmågan (Jitendra et al., 2007).
Soylu (2010) får i sin studie genom intervjuer med lärare fram att elever bör arbeta med konkreta modeller för att utveckla problemlösningsförmågan. Betydelsen av återkoppling vid undervisning i problemlösning beror på elevernas förkunskaper av korrekta strategier (Fyfe et al., 2012). De elever som har låga förkunskaper gynnas av återkoppling medan de elever som har vissa förkunskaper kan missgynnas. För att utveckla problemlösningsförmågan bör elever få arbeta med problem (Fuchs et al., 2014).
Både Ridlon (2009) och Samuelsson (2008) studier visar att användandet av problemlösning i undervisningen förbättrar elevers attityd och intresse för matematik. Ridlon (2009) kommer även fram till att kommunikationen och det matematiska tankesättet förbättras. Även elevers självuppfattning och inre motivation förbättras då de arbetar med problemlösning (Samuelsson, 2008). DeCaro och Rittle-Johnson (2012) kommer fram till att den begreppsliga förmågan och procedurkunskapen förbättras genom arbete med problemlösning. Vidare visar även Fuchs et al.s (2014) studie att den begreppsliga förmågan förbättras. Avslutningsvis kommer Jitendra et al. (2007) fram till att elevers beräkningsförmåga förbättras vid arbete med problemlösning.
5.2 Utveckling av problemlösningsförmåga
Både Gunnarsson (2009) och Ahlberg (2001) menar att elever utvecklar sin problemlösningsförmåga om de får arbeta med olika representationer när de löser problem.
Eleverna kan t.ex. rita en bild, dramatisera problemet eller göra en tabell (Ahlberg, 2001). I studien Alibali et al. (2009) genomfört visar det sig att strategin ”jämna ut” utvecklar elevers problemrepresentationer. En utveckling av problemrepresentationer skulle då enligt Gunnarsson (2009) och Alhberg (2001) i sin tur utveckla problemlösningsförmågan. Utifrån detta skulle det kunna tolkas att användandet av problemrepresentationer i matematikundervisningen skulle leda till att problemlösningsförmågan utvecklas.
I studien som Fuchs et al. (2014) utfört visar det sig att problemlösningsförmågan endast utvecklas genom att eleverna får arbeta med problemlösning. För att utveckla sin problemlösningsförmåga hävdar Ahlberg (2001) att eleverna måste få lösa många problem och få chans att arbeta länge med dessa. Dessutom menar Fuchs et al. (2006) att för att utveckla sin problemlösningsförmåga krävs kunskaper i aritmetik, icke-verbal problemlösning, läsflyt och språk. Även förmåga att hålla fokus och begreppsförmåga är betydande då det kommer till att lösa problem. Med dessa resonemang i åtanke kan det konstateras att för att elevers problemlösningsförmåga ska utvecklas bör eleverna får arbeta med många och olika problem där olika förmågor krävs för att lösa dessa problem.
Genom undervisning som är baserad på kooperativ inlärningsmetod kan elevernas problemlösningsförmåga utvecklas (Tarim, 2009). Ahlberg (2001) menar att elevernas möjligheter att kommunicera ökar om de får lösa problem i mindre grupper. Eleverna får en bättre förförståelse när de kan ta hjälp av varandra och dela med sig av varandras erfarenheter.
För att få en matematisk förståelse och lära sig att lösa problem gynnas eleverna av att ta del av andras strategier (Ahlberg, 1995). Utifrån detta verkar arbete i mindre grupper ha en betydande roll för att elever ska utveckla sin problemlösningsförmåga. Det kan även konstateras att grupparbete där elever med olika erfarenheter och kunskapsnivåer i matematik är önskvärt då detta kan leda till att eleverna finner olika lösningar på samma problem.
Soylu (2010) kommer i sin studie fram till att eleverna måste få arbeta med konkreta modeller för att utveckling av problemlösningsförmågan ska ske. I läroplanen framgår det att
problemlösningsuppgifter ska bygga på för eleverna bekanta vardagliga situationer (Skolverket, 2011). Boaler (2011) hävdar att bekanta vardagliga uppgifter får eleverna mer motiverade. Följer läraren läroplanen och arbetar med vardagsnära uppgifter borde det finnas en utveckling av elevernas problemlösningsförmåga. Problemet enligt studien var att lärarna inte klarar av att använda dessa konkreta modeller på elevernas nivå (Soylu, 2010). De gjorde det alltså svårare än vad det ska vara vilket kan hindrar elevernas utveckling.
Fyfe et al. (2012) fick i deras studie fram att återkoppling inte gynnade elever med vissa förkunskaper om korrekta strategier utan dessa elever utvecklades bättre då de fick upptäcka på egen hand. Däremot gynnade återkopplingen de elever som hade låga kunskaper om korrekta strategier. Ahlberg (2001) menar att läraren inte ska hjälpa eleverna för mycket genom att förklara det korrekta tillvägagångssättet. Elever som får arbeta genom att diskutera och reflektera över matematiken utvecklar sitt matematiska tänkande (Ahlberg, 1995). Med detta i åtanke kan det konstateras att de elever som har en viss förkunskap om korrekta strategier bör få tid för diskussion och reflektion istället för att läraren via återkoppling berättar om hur problemet skulle lösas.
Enligt Boaler (2011) delas matematikundervisningen ofta upp som traditionell eller icke- traditionell. Det är dock inte klart vilken av metoderna som är mer effektiv än den andra.
Jitendra et al. (2007) undersöker i en studie effekterna av SBI kontra GSI. SBI kan här jämföras med en icke-traditionell undervisningsmetod och GSI med den traditionella.
Resultatet av studien visar att SBI är mer effektiv då det kommer till förbättra elevers problemlösningsförmåga. Utifrån detta kan det tolkas att elever som arbetar med problemlösningsuppgifter bör få arbeta med olika typer av problem för att sedan lära sig känna igen problemlösningsuppgifternas struktur, vilket kan leda till att en lösning hittas.
Eleverna får erfarenheter av att lösa många problem och då kan de även med hjälp av denna erfarenhet förstå vilken lösning som är bäst lämpad för ett visst problem.
5.3 Lära sig matematik genom problemlösning
Samuelsson (2008) och Ridlon (2009) undersökte effekterna av att använda traditionella och icke-traditionella undervisningsmetoder. Ridlon (2009) fick likt Jitendra et al. (2007) ett resultat som visar att den traditionella undervisningen inte har samma effekt på elevers
lärande som en icke-traditionell undervisningsmetod. Samuelsson (2008) fick dock ett annat resultat på effekterna av olika undervisningsmetoder. Denna studie visar att det inte fanns några märkbara skillnader när det kommer till elevers lärande. Att Ridlon (2009) och Samuelsson (2008) fick så olika resultat när det kommer till effekterna av den icke- traditionella undervisningsmetoder kan möjligen förklaras genom metoduppbyggnaden. I studien som Ridlon (2009) utförde skedde undervisningen genom arbete i smågrupper och även diskussion i helklass. Samuelssons (2008) studie genomför undervisningen med problemlösning genom att eleverna fick arbeta i smågrupper, dock skedde detta under två tredjedelar av lektionen och resterande tid fick eleverna arbeta i arbetsboken. Ahlberg (1995) menar att elever som får möjlighet att arbeta i grupp utvecklar större matematisk förståelse än de som inte får möjlighet till detta. Eleverna blir i samband med grupparbeten dessutom utmanade att förklara sina strategier vilket kan leda till större medvetenhet om sin egen förståelse. Eleverna får lyssna och utvärdera andras strategier vilket kan leda till utveckling av kunskaper. Eftersom eleverna i studien som Samuelsson (2008) utförde inte fick utnyttja all undervisningstid till att arbeta i grupper med andra kan dessa möjligheter till utveckling av kunskaper begränsas mer än i studien som Ridlon (2009) utförde. Detta kan ha påverkat det resultat studierna kom fram till. Dock testade Ridlon (2009) och Samuelsson (2010) effekterna av olika kunskaper inom matematiken vilket kan ha orsakat de olika resultaten.
Ahlberg (1995) menar att de elever som får möjlighet att diskutera och reflektera utvecklar större förståelse inom matematiken. De får större möjligheter att kommunicera då de arbetar i mindre grupper (Ahlberg, 2001). Utifrån detta skulle Ridlons (2009) resultat kunna förklaras, då eleverna som undervisas genom PCL utvecklar sitt matematiska tänkande och kommunikation. Eleverna som undervisades i PCL förändrade sin syn på matematik till att uppleva matematik som någonting positivt. Unenge et al. (1994) menar att denna positiva upplevelse av matematik är en förutsättning för att matematikinlärning ska ske. Denna positiva upplevelse av matematik kan skapas genom att undervisningen sker på ett intresseväckande sätt. Även eleverna i Samuelssons (2008) studie förbättrade sin motivation genom undervisning i problemlösning. Med tanke på ovanstående resonemang kan det konstateras att då elever får arbeta med problemlösning i grupp utvecklar de både sitt matematiska tänkande och kommunikation. Även upplevelsen av ämnet matematik blir positiv vilket kan leda till att elevernas inlärning blir bättre.
