(1) (a) Ge kontrapositionen av p˚ ast˚ aendet:

TATA79/TEN1 Inledande matematisk analys Dugga 1, 2016-11-26

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns fem uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 7p. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Ge kontrapositionen av p˚ ast˚ aendet:

”x ≥ 5 =⇒ x

− 7x + 12 ≥ 2.” (♣)

(b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♣) ¨ ar sant.

(c) Hitta talet y s˚ a att p˚ ast˚ aendet

”y ≤ x ≤ 5 ⇐⇒ x

− 7x + 12 ≤ 2”

¨

ar sant. Motivera ditt val av y.

(2) (a) Bevisa att

n

X

k=1

k = n(n + 1) 2 f¨ or n ∈ N.

(b) R¨ akna ut

10

X

k=1

(12k + 3).

(3) (a) Ge definitionen att en icketom m¨ angd A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.

(b) Bevisa att f¨ oljden (a

)

¨ ar upp˚ at begr¨ ansad d¨ ar a

definieras enligt uttrycket a

= 1

(n + 5)!

n + 5 5



f¨ or n ∈ N.

(4) (a) L˚ at I vara ett intervall. Definiera begreppet v¨ axande som g¨ aller f¨ or en funktion f : I → R.

(b) Betrakta en funktion f : [0, ∞) → R som definieras enligt formeln f (x) =  5x om x ∈ [0, 4);

4x + 4 om x ∈ [4, ∞).

f¨ or alla x ∈ [6, ∞)

↑

Studenderna meddelades att stryka det h¨ar.

. Visa att f ¨ ar v¨ axande.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN1 Inledande matematisk analys Dugga 1, 2016-11-26

(5) (a) Definiera vad det betyder att s¨ aga u ∈ R ¨ ar en minsta ¨ ovre begr¨ ansning till en icketom m¨ angd A.

(b) Betrakta m¨ angden A = {x ∈ R | x

− 4x + 3 < 0}. Bevisa att sup A = 3.

Sida 2 av 2