Ekonomihögskolan
vid Växjö universitet
Value at Risk
-En jämförelse mellan VaR-metoder
Examensarbete G3 i företagsekonomi, 15hp
Ekonomistyrning, FE3043, VT 2008
Författare: Jerry Törnqvist 861128 Magnus Johansson 851220
Handledare: Christopher von Koch
II
Sammanfattning
Examensarbete G3 i företagsekonomi, Ekonomihögskolan vid Växjö universitet, ekonomistyrning, FE3043, VT 2008
Författare: Jerry Törnqvist och Magnus Johansson Handledare: Christopher von Koch
Titel: Value at Risk – En jämförelse mellan VaR-metoder
Bakgrund: I och med att Basel II har instiftats i Sverige så måste finansiella institutioner
beräkna sin marknadsrisk på sina portföljer. Detta kan göras genom olika VaR metoder. Dessa ger dock olika uppskattningar på marknadsrisken. De finansiella instituten får använda sig av den metod som de anser reflektera marknadsrisken bäst. Det finns dock ingen metod som utsetts till standard.
Syfte: Syftet med detta arbete är att jämföra olika VaR-metoders skattning av marknadsrisken
utifrån verkligt utfall, för att urskilja vilken metod som är funktionsdugligast.
Avgränsningar: Denna undersökning inkluderar fyra olika VaR metoder. Dessa är Historisk
Simulation, Delta-Normal, RiskMetrics och GARCH(1,1). VaR metoderna kommer att undersökas på portföljer som endast består av svenska aktier noterade på Stockholmsbörsens Large-, Mid- eller Small Cap lista.
Metod: Vi har konstruerat fyra olika portföljer som vi sedermera har beräknat VaR för mellan
1998-04-01 t.o.m. 2008-04-01. Dessa uppskattningar har sedermera jämförts, m.h.a. backtesting, med det verkliga utfallet för portföljerna. Utifrån detta har vi analyserat vilken form av metod som är funktionsdugligast.
Resultat, slutsatser: Vi kan konstatera att ingen av de metoder som vi har undersökt är
godkända enligt vår backtesting. Om vi bortser från detta så verkar RiskMetrics vara
funktionsdugligast då denna metod innehar få överträdelser och uppskattar marknadsrisken på ett effektivt sätt. Detta samtidigt som RiskMetrics är stabilast under hela
undersökningsperioden.
Förslag till fortsatt forskning: Då vi endast har valt att studera portföljer bestående av aktier
IV 3.7 Kupiec test ... 26 4 Empiri ... 28 4.1 Grundläggande uträkningar ... 28 4.2 Historisk Simulation ... 30 4.3 Delta-Normal metoden ... 32 4.4 RiskMetrics ... 33 4.5 GARCH(1,1) ... 34 4.6 Kupiec test ... 38 5 Analys ... 39 5.1 Illustrativ analys ... 39 5.2 Backtesting analys ... 40 6 Slutsatser ... 42
Förslag till framtida forskning ... 43
Källförteckning ... 44
Litteratur ... 44
Elektroniska källor ... 46
1
1. Inledning
De flesta människor, i Sverige, äger någon form av portfölj av tillgångar, dessa kan vara reala i form av hus, båt, skog eller i finansiell form såsom aktier, obligationer och terminer. I dagligt tal avses främst finansiella tillgångar när man talar om en portfölj. Utifrån detta har portföljvalsteorin växt fram och blivit ett allmänt accepterat ämne inom finansiering.1 Detta ämne behandlar hur man skall välja sin portfölj av tillgångar. Inom portföljvalsteorin kommer man fram till två centrala begrepp, vilka är avkastning och risk. Portföljvalsteorin säger att investerare vill maximera sin avkastning, samtidigt som man vill minimera sin risk. Utifrån detta gäller således villkoret att en investerare vill maximera sin avkastning givet en viss risknivå, alternativt minimera sin risk givet en viss avkastningsnivå.2 Riskerna inom portföljvalsteorin innefattar volatiliteten3 i olika tillgångar på den finansiella marknaden4.
Enligt portföljvalsteorin så är det möjligt att diversifiera bort risk från enskilda aktier genom att hålla en portfölj med flera aktier. Om man håller en tillräckligt diversifierad portfölj så kommer endast korrelationsrisk att existera, d.v.s. den risk som finns då aktier tenderar att följas åt i upp- och nergångar. Korrelationsrisken är därför någon form av marknadsrisk5. För att minimera sin risk genom diversifiering brukar man ha som tumregel att portföljen skall inkludera omkring 20 aktier.6
Då risk är betydelsefullt inom portföljvalsteorin, så försöker finansiella institutioner7 kontrollera sina portföljers exponering mot marknadsrisken. Anledningen till detta är att risken för tillgångarna inte skall bli allt för stor. Det finns möjligheter för de finansiella institutionerna att beräkna risken för sina portföljer genom olika matematiska metoder, vilket de även blivit reglerade till att göra enligt Basel fördragen. Det finns dock ingen metod som utsetts till standard, då man inte vet vilken metod som mäter marknadsrisken bäst. Då
volatiliteten har ökat på de finansiella marknaderna under det senaste halvåret, så finner vi det
1 Elton, Gruber, Brown & Goetzmann (2007) Modern portfolio theory and investment analysis, sid. 2 2 Markowitz (1952) ”Portfolio selection”, sid. 77-91. Markowitz fick senare Nobelpriset i Ekonomi (1990) för sitt bidrag inom finansiell ekonomi.
3 Volatilitet innebär svängningar, för en aktie innebär detta svängningar/förändringar i aktiepriset. Således blir det en risk, då man inte vet hur priset på aktien kommer utvecklas.
4 Den finansiella marknaden är den marknad där man kan handla med finansiella tillgångar. 5 Marknadsrisken innefattar således den risk som uppstår om man håller en väldiversifierad portfölj. 6 Elton, Gruber, Brown & Goetzmann (2007) Modern portfolio theory and investment analysis, sid. 58-61 7
2 intressant att undersöka hur pålitliga dessa metoder är på att uppskatta risken för portföljer. Detta är något som vi kommer att undersöka i denna uppsats.
1.1 Bakgrund
Inom den finansiella sektorn har flera stora förluster uppkommit för finansiella institutioner, genom handel i finansiella instrument. Dessa förluster har skett i samband med att man inte vet hur stor risk de finansiella instrument, som man handlar med, faktiskt innebär. Ett av de kändare fallen är Long Term Capital Management (LTCM), som var en hedgefond, som förlorade 30 miljarder kronor på sina investeringar 1998. Anledningen till att förlusterna uppkom var genom handel i olika derivat. Förlusterna gjorde att LTCM hamnade i stora problem, vilket fick FED8 att initiera en räddningsaktion tillsammans med LTCM:s långivare, för att undvika ett större ekonomiskt sammanbrott på den finansiella marknaden.9
Den senaste skandalen som inträffade inom den finansiella sektorn, skedde i början av 2008 då den franska banken Société Générale spekulerade bort omkring 46 miljarder kronor på terminshandel.10 Följden av detta blev att Société Générale tvingades till att söka
kapitaltillskott.11
Oväntade förluster, som ovan, leder till stora problem på den finansiella marknaden. Detta då institutioner och företag ofta har tagit lån från andra banker, vilket gör att kapitalförlusterna påverkar andra aktörer på den finansiella marknaden12. I och med detta blir den finansiella marknaden mer riskabel, då aktörer ofta säljer tillgångar för att kunna täcka uppkomna förluster.
I och med att förluster av detta slag har inträffat, introducerade Bank for International Settlement13 (BIS) 1988 regelverket Basel I. Regelverket introducerades för att finansiella institutioner skulle använda sig av en enhetlig uträkning av det riskvägda beloppet, för att på så sätt stabilisera det internationella banksystemet samt att man ville skapa konkurrens på lika
8 FED står för Federal Reserve, vilket är U.S.A.:s centralbank
9 Edwards (1999) “Hedge Funds and the Collapse of Long-Term Capital Management” sid. 200 10 Falkehed (2008) ”Banken blåst på 46 miljarder”, sid. 24-25
Billing (2008) ”Större än Barings-fast ändå inte”, sid. 12-13 11
http://affarsvarlden.se/art/200404
12 Det positiva med detta är att riskspridningen kommer att öka, p.g.a. att flera aktörer delar på uppkomna förluster. Dock så kommer detta fortfarande att leda till problem, då förlusterna är oväntade.
3 villkor.14Det riskvägda beloppet, enligt Basel I, är det belopp som banker och finansiella institutioner lånat ut till exempelvis privatpersoner, företag och andra banker. Detta belopp är således pengar som man riskerar, om låntagaren inte kan betala, att inte få tillbaka. För att finansiella institutioner skulle bli stabilare, så skulle de inneha ett penningbelopp för att kunna täcka oväntade förändringar på marknaden.15 En oväntad förändring kan vara att en
kredittagare inte betalar tillbaka sitt lån. Beloppet som skall hållas för att täcka dessa oväntade förändringar kallas kapitalkrav. Ett problem med Basel I var att det endast inkluderade
utlåning som en risk för finansiella institut, således inkluderades inte risken med att äga t.ex. aktier.
Under 1996 kom ett tillägg till Basel I, som innebar att man även skulle beräkna
marknadsrisken16 inom de finansiella institutionerna.17 Utifrån dessa beräkningar får man sedan öka kapitalkravet18, så att man även inkluderar marknadsrisken. När man inkluderar marknadsrisken så innebär detta att man tar med risken för den finansiella portföljen i
kapitalkravet. Finansiella institutioner har två möjligheter att beräkna sin marknadsrisk enligt tilägget, antingen genom en standardiserad metod eller genom någon form av intern metod. Dessa interna metoder innefattar olika Value at Risk19 metoder20.
14
Basle Committee on Banking Supervision (1988) ”International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards”,sid. 1
15 Basle Committee On Banking Supervision (1988) ”International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards”, sid. 1-2. I Basel I innebär denna marknad endast kreditmarknaden.
16 Marknadsrisken kommer hädanefter att innebära den risk som existerar för att portföljen kommer att minska i värde p.g.a. marknadsrörelser, d.v.s. marknadsrisken är en osäkerhet gällande framtida förluster för portföljen. 17Basle Committee on Banking Supervision (1996) ”Overview of the Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks”, sid. 2
18
Öka kapitalkravet utifrån det som redan beräknats enligt Basel I.
19 Value at Risk kommer hädanefter att benämnas med förkortningen VaR. VaR är ett riskmått för portföljer, som uttrycks i valuta och det innebär att vi med X% säkerhet kommer vi att förlora K kronor, under de närmsta T dagarna.
20
4 Idag är Basel I inte längre det regelverk som gäller i Sverige för finansiella institutioner. Detta då Basel II, vilket är en uppdaterad reglering av Basel I, implementerades den 1 februari 200721. Denna uppdatering kom då Basel I blivit förlegad, p.g.a. utvecklingen av den finansiella marknaden. Basel II innefattar i Sverige följande lagar, förordningar och föreskrifter22;
Lagen om kapitaltäckning och stora exponeringar (SFS 2006:1371).
Förordning om kapitaltäckning och stora exponeringar (SFS 2006:1533).
Föreskrifterna FFFS 2007:1-6 från Finansinspektionen.
Basel II inkluderar även det tillägg som kom 1996, vilket innebär att Basel II fungerar likadant som Basel I (efter 1996) angående VaR23. Basel II är mer omfattande än Basel I, vilket innebär att man har inkluderat ytterligare risker utöver kreditrisk och marknadsrisk, i uträkningen av det riskvägda beloppet.
1.2 Problemdiskussion
I dagsläget finns det flertalet olika metoder, som man kan använda för att beräkna VaR-värdet med. Några av dessa är Historisk Simulation, Delta-Normal metod, Monte Carlo Simulation och GARCH(1,1).
Av de metoder som finns, har finansiella institutioner möjligheten att välja sin egen interna VaR-metod, vilket kan innebära någon av ovan nämnda, som de anser reflekterar
marknadsrisken bäst för deras portfölj. Denna interna metod måste dock accepteras av en övervakande myndighet (Finansinspektionen i Sverige). De interna metoderna accepteras endast om man kan visa att den reflekterar marknadsrisken på ett acceptabelt sätt. Detta visar man genom att utföra s.k. backtesting, vilket är en utvärdering av VaR-metoden.24 För ytterligare diskussion om backtesting, se avsnitt 3.7.
Ett problem som uppstår i och med att man använder VaR är att man lätt kan tolka resultaten som sanningar. Om VaR uppskattningarna då inte stämmer, så är det möjligt att användare av
21
http://www.fi.se/Templates/Page____7210.aspx 22 Ibidem
5 VaR tar på sig en större risk än vad de är medvetna om. På detta sätt kan de förlora mer än vad som var beräknat.25
När man prognostiserar riskmåttet genom VaR, så har det visat sig att olika VaR-metoder ger olika riskmått. Således kommer risken att variera beroende på vilken metod som man väljer att använda sig av.
Ytterligare ett problem med VaR är således att de finansiella institutionerna kan använda sig av vilken VaR-metod som de vill, så länge den godkänns av Finansinspektionen. Samtidigt så varierar riskmåttet beroende på vilken metod man använder sig av. Att det skett stora
handelsförluster, trots att Baselfördragen implementerats, kan tyda på att det finns problem med vilken metod som reflekterar marknadsrisken mest korrekt. Vi anser således att det vore intressant att testa några utvalda VaR-metoder på portföljer bestående av aktier, för att se vilken av dessa metoder som reflekterar marknadsrisken på det mest tillförlitliga sättet.
1.3 Problemformulering
Vilken form av VaR-metod är funktionsdugligast vid uppskattning av marknadsrisken?
1.4 Syfte
Syftet med detta arbete är att, utifrån svenska aktieportföljer, jämföra olika VaR-metoders skattning av marknadsrisken utifrån verkligt utfall, för att urskilja vilken metod som är funktionsdugligast.
25
6
1.5 Avgränsningar
Vi kommer inte att ha möjlighet att undersöka alla VaR-metoder som finns, utan vi kommer att avgränsa oss till enbart fyra metoder p.g.a. tidsbrist. Dessa metoder är:
1. Historisk Simulation 2. Delta-Normal metoden 3. RiskMetrics
4. GARCH(1,1)
7
2. Metod
Detta avsnitt kommer att behandla hur vår undersökning har utförts. Vi kommer att presentera de val som gjorts för att undersökningen skall vara möjlig.
2.1 Tillvägagångssätt
När vi ska undersöka hur pass tillförlitliga våra VaR-metoder är, vid uppskattning av marknadsrisken, så måste vi utföra några val. Valen som vi står inför vid vår undersökning består av:
1. Val av VaR-metoder som ska undersökas. 2. Val av portföljer.
3. Val av undersökningsperiod.
4. Val av utvärderingsmetod (backtesting metod).
När vi tagit ställning till dessa val, kan vi utföra vår empiriska undersökning. Denna består i att beräkna VaR-värdena för resp. metod, vilket kommer att ske genom användning av datorprogrammen Eviews26 och Excel. Då VaR beräkningar är uppskattningar av förluster i framtiden, så kommer vi efter dessa beräkningar av VaR-värdena utvärdera om dessa stämde överens med det verkliga utfallet eller ej. Utvärderingen kommer ske genom en s.k.
backtesting metod, samt en illustrativ analys. När vi har utfört dessa, har vi förhoppningar om att kunna se vilken VaR-metod som fungerat bäst på att uppskatta marknadsrisken. Alla våra VaR-beräkningar kommer att ske på en 99% säkerhetsnivå. Detta då finansiella institutioner skall utföra sina VaR-beräkningar på denna sannolikhetsnivå enligt tillägget till Basel I27.
2.1.1 Val av metoder
Vid uträknande av VaR, så finns det ett flertal olika metoder som man kan använda sig av. Man brukar bl.a. skilja på parametriska och icke-parametriska metoder. De parametriska metoderna bygger på statistik, då man antar fördelningar och sedermera använder sig av medelvärden och standardavvikelser för att beräkna VaR. Dessa använder således teoretiska
26 Eviews är ett statistikprogram.
8 fördelningar såsom normalfördelningen.28 Exempel på parametriska metoder är
Delta-Normal, RiskMetrics och GARCH(1,1).
De icke-parametriska metoderna består av simuleringsmetoder. Dessa simuleringsmetoder använder sig inte utav teoretiska fördelningar utan av historiska eller simulerar egna. Exempel på simuleringsmoetoder är Historisk Simulation eller Monte Carlo Simulation.29 Dessa
metoder illustreras i figur 2.1.1.
Figur 2.1.130
Vid valet av metoder har vi velat inkludera någon metod från resp. kategori, då tidsbristen inte gör det möjligt att testa alla metoder. Vi har således valt Delta-Normal metoden,
RiskMetrics och GARCH(1,1) från de parametriska metoderna och Historisk Simulation från de icke-parametriska metoderna. Anledningen till valet av enbart en icke parametrisk metod, beror på att de icke-parametriska metoderna, enligt teorin, inte innehar samma ”styrka” i uträkningen av VaR som de parametriska metoderna31. Vi har även valt bort Monte Carlo
28 Jorion (2001) Value at Risk. sid. 111
29 Ammann & Reich (2001) ”Var for nonlinear financial instruments - linear approximation or full Monte Carlo” sid.364
30 Egen konstruktion utifrån Ammann & Reich (2001) “VaR for nonlinear financial instruments – linear approximation or full Monte Carlo?”, sid 364, samt Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 83, 151 och Zumbach (2006). ”The RiskMetrics 2006 methodology”, sid 4
31
Dowd (2002) An introduction to market risk measurement, sid. 71
Parametriska Metoder Icke-parametriska Metoder
Monte Carlo simulation Delta-Normal
GARCH(1,1)
Metoder för att beräkna VaR
RiskMetrics Historisk
9 Simulation då detta kräver mycket simuleringar och tar tid. Den Historiska Simulation är även den icke-parametriska metoden som är mest populär, vilket även har påverkat detta val32.
Vid valet av backtestingmetod så finns det även här olika sorters metoder, som man kan använda sig av. Den backtestingmetod som vi har valt att använda oss av är Kupiecs test. Vi har valt denna metod, då denna utvärderar antalet överträdelser, vilket finansiella institut ska rapportera till Finansinspektionen. I avsnitt 3.7 kommer vi närmare att diskutera backtesting och Kupiecs test.
2.1.2 Portföljval
I denna undersökning har vi valt att arbeta utifrån fyra olika portföljer. Dessa portföljer består endast av aktier, då det är detta vi är intresserade av att undersöka. Två utav dessa portföljer består av index. Ett index är en redan sammansatt portfölj av de aktier som indexet avser. De index som vi har valt att arbeta med är OMXS30 och Small Cap indexen. OMXS30 innefattar de 30 mest handlade bolagen i Sverige, medans Small Cap indexet inkluderar alla bolag som är noterade på Small Cap listan. Dessa index är även viktade efter hur stor påverkan resp. aktie inom indexet har. Grunden till valet av dessa index som portföljer är att vi vill inkludera en portfölj bestående av stora företag och en av mindre företag. Detta finner vi intressant då vi tror att dessa kan skilja sig åt gällande variationer i volatiliteten på avkastningarna.
Utöver dessa index portföljer har vi även skapat två portföljer som består av aktier från både Large-, Mid- och Small Cap. Vi har konstruerat dessa portföljer för att få en kombination av både större och mindre företag. Valet av aktier att inkludera i dessa portföljer har gjorts genom ett stratifierat urval. Vi har således valt ut de aktier från Large-, Mid- och Small Cap listorna, som vi kan använda oss av med hänsyn till den tidsperiod som vi vill undersöka VaR över. Dessa aktier har vi sorterat efter Large-, Mid-, och Small Cap för att sedermera genom lottdragning få fram vilka aktier, som skall inkluderas i våra portföljer. Dessa två portföljer består av de aktier och vikter som finns i tabell 2.1.2.
32
10
Portfölj 1 Portfölj 2
Concordia B 15% Atlas Copco B 10%
Elanders B 5% Bergs Timber B 10%
Haldex 15% Borås Wäfveri B 10%
Investor B 5% Brio B 10%
Mobyson 15% Enea 10%
Seco Tools B 5% Ericsson B 10%
Skanditek 20% SCA B 10% Skanska B 5% Trelleborg B 10% VBG 5% Volvo B 10% Westergyllen 10% Xano B 10% Tabell 2.1.233 2.1.3 Tidsperiod
Valet av tidsperiod har påverkats av att vi har valt att inkludera en hel konjunkturcykel. Följden av detta har blivit att vi kommer att undersöka VaR-metoderna under en tioårsperiod från 1998-04-01 t.o.m. 2008-04-01. Ytterligare en anledning till att vi använder oss av en så pass lång tidsperiod för att få tillräckligt många observationer för att kunna utföra vår backtesting på ett tillfredsställande sätt.
Då vi kommer att undersöka GARCH(1,1) metoden, så innebär detta att vi måste utöka tidsperioden ytterligare. Eftersom vi då behöver uppskatta vissa parametrar i GARCH(1,1) för att på så sätt kunna beräkna VaR med denna metod. Vilka dessa parametrar är kommer vi att förklara under avsnitt 3.6. Då vi vill inkludera så många år som möjligt i denna
uppskattningsperiod, för att få så pålitliga uppskattningar som möjligt, så kommer denna att vara sex år. Anledningen till att denna period inte är längre beror på att det inte finns
tillgänglig data längre tillbaks i tiden för vissa av våra aktier. Således kommer vi att uppskatta parametrarna i GARCH(1,1) mellan tidsperioden 1992-04-01 t.o.m. 1998-03-3034. I och med detta så kommer vi att behöva addera ytterligare sex år till de tio åren, vilket gör att vi
sammantaget har en tidsperiod som sträcker sig mellan 1992-04-01 och 2008-04-01.
33 Egen konstruktion
11 Våra beräkningar av VaR kommer i detta arbete att ske på en daglig basis, d.v.s. varje dag så kommer vi att beräkna VaR-värdet för nästkommande dag.
2.1.4 Data
De data som kommer att behövas för undersökningen är historiska aktiekurser för de bolag som är inkluderade i våra portföljer. Vi kommer även att behöva indexvärden för OMXS30 och Small Cap indexen.
Datan kommer vi att få genom att använda oss av databasen Reuters Ecowin, vilket innebär att vi använder oss av sekundärdata. I och med att vi använder oss av denna databas, så
kommer vi inte att behöva justera aktievärdena med hänsyn till aktiesplitar eller nyemissioner, då detta redan har gjorts.
2.2 Metodmässig utgångspunkt
Vi kommer här att presentera tre metodansatser och föra en kort diskussion angående metodansatsen för detta arbete.
2.2.1 Deduktiv ansats
Deduktion innebär att man drar logiska slutsatser utifrån sin teori, som endast är giltig om den är logiskt sammanhängande35. Följaktligen innebär det att det deduktiva synsättet
representerar uppfattningen om hur förhållandet mellan teori och praktik ser ut. Vid deduktion så utgår man från befintliga. Utifrån dessa teorier drar man slutsatser, d.v.s. genom att
använda sig av en deduktiv ansats så testar man inte sin undersökning empiriskt.36
2.2.2 Hypotetisk-deduktiv ansats
Vid den hypotetisk-deduktiva ansatsen utgår man, som vid deduktion, från existerande teorier. Utifrån dessa ställer man upp hypoteser, som man sedan testar empiriskt, för att sedermera återkoppla resultatet till teorierna. Återkopplingen innebär att man kan beskriva de
konsekvenser som resultatet får på den redan existerande teorin. Teorin kan följaktligen
35 Thurén (2004) Vetenskapsteori för nybörjare, sid. 23 36
12 stärkas eller tvingas till revidering, p.g.a. den ytterligare kunskap som tillkommit inom
forskningsområdet.37 Att man använder denna undersökningsform innebär dock inte att man kan vara säker på sina resultat, utan dessa kan skilja sig från hur verkligheten ser ut.
2.2.3 Induktiv ansats
Kopplingen mellan teori och empiri vid induktion kan ses som den motsatta till deduktion. Vid induktion är man således inte influerad av teorier, utan man studerar empirin utan några teoretiska bakgrunder. Utifrån dessa enskilda händelser, som man studerar, drar man
generaliserbara slutsatser.38 Således utgår man från empirin och slutar i kunskap om teorin.39 När man drar slutsatser inom induktionen är det viktigt att veta att dessa slutsatser inte nödvändigtvis alltid kommer att stämma. Detta då de slutsatser man drar bygger på de empiriska studier man gör, vilkas input kanske endast kan knytas till det specifika fallet. En generalisering av ett undersökningsresultat behöver alltså inte alltid stämma överens med verkligheten, utan kan vara annorlunda under andra förutsättningar. Alltså vet man inte hur pass generaliserbara ens resultat är.40
2.2.4 Vår ansats
Vi kommer i denna undersökning att utgå från redan existerande teorier, vilka handlar om VaR. Detta är överrensstämmande med en deduktiv ansats, vilket leder till att vi anser oss inte kunna använda oss av en induktiv ansats.
Den deduktiva ansatsen menar dock på att man enbart ser till existerande teorier och drar slutsatser utifrån dessa, vilket vi inte kommer att göra. Vi kommer även att se till empirisk data, vilket tyder på att vi inte enbart har en deduktiv ansats utan snarare en hypotetisk-deduktiv ansats.
Då vi inte ställer upp några hypoteser angående vår empiriska undersökning, så anser vi oss inte använda oss av en ”ren” hypotetisk-deduktiv ansats. Vi anser oss därför använda någon form av hypotetisk-deduktiv ansats, men utan någon form av hypotes.
37 Bryman & Bell (2005) Företagsekonomiska forskningsmetoder, sid. 23 38 Ibidem, sid. 25
39 Andersen (1998) Den uppenbara verkligheten, sid. 29-30 40
13
2.3 Reliabilitet
I denna undersökning har vi enbart använt oss av en form av backtesting metod, nämligen Kupiecs test. Innebörden av detta är att vi enbart har utvärderat VaR-metoderna efter hur många överträdelser som inträffat. Om vi hade valt att inkludera ytterligare en backtesting metod eller använt oss av en annan, hade detta kunnat leda till ett annat resultat. Det skulle kunna ha varit av intresse att använda sig av exempelvis en backtesting metod som tar hänsyn till hur stor resp. överträdelse är.
Ett annat påpekande gällande denna undersökning är angående tidsperioden. Om vi hade valt att undersöka en annan tidsperiod så hade vi möjligtvis kunnat inkludera andra aktier än vad vi nu har gjort. Således föreligger det någon form av tillfällighet i vilka aktier som inkluderats i våra portföljer, då vi inte haft möjlighet att välja vilka aktier som helst p.g.a. vald tidsperiod. Resultatet skulle kunna påverkas beroende på hur de undersökta portföljerna är konstruerade.
Våra skattningar av parametrarna i GARCH(1,1) metoden är påverkade av att vi inte har haft tillgång till mer än sex års historisk data. Dessa sex år kan ha påverkat hur uppskattningar av parametrarna vi är intresserade av har utfallit. Detta då sex år kanske inte är tillräckligt lång tidsperiod om man ska använda parametrarna under tio år. Problemet uppstår eftersom vi valt att undersöka under en tioårsperiod, vilket lett till att vi enbart kunnat skatta över sex år då vi inte haft aktiepriser längre än 16 år tillbaka i tiden.
Vid beräkning av Historisk Simulation och Delta-Normal metoden använder vi oss av de senaste 500 observationerna vid beräkning av VaR och standardavvikelse, vilket kan påverka resultatet. Om vi valt att använda oss av fler eller ett mindre antal observationer vid dessa beräkningar hade undersökningsresultatet kanske blivit annorlunda.
2.4 Validitet
Vad gäller generaliserbarheten av denna undersökning, så kommer vi inte att kunna dra generella slutsatser. Detta då vi studerar specifika fall, vilka inte behöver stämma generellt. Då vi endast ser till aktier bör detta innebära att vi inte kan dra generella slutsatser, då portföljer kan innehålla andra former av tillgångar och viktningar.
14 inkluderar all form av marknadsrisk. Då vi har haft en tioårsperiod vid vår undersökning vill vi ändock tro att vi inkluderar den mesta av marknadsrisken.
15
3. Teori
Här kommer teorier som relateras till VaR att presenteras. Detta inkluderar beskrivning av VaR, de olika metoder som vi valt att arbeta med och den backtestingmetod som vi använder, Kupiecs test.
3.1 VaR
Begreppet VaR står för Value at Risk och blev populärt genom investmentbanken J.P. Morgan, då de inkluderade VaR i sitt RiskMetrics41. Metodiken bakom VaR är att med X% säkerhet, kommer man inte att förlora mer än K kronor under de närmaste T dagarna42. Således är syftet med VaR är att ta fram ett värde på de förluster, som man kan göra på sin portfölj av tillgångar, under den närmaste tidsperioden43.
VaR relateras alltid till en viss konfidensnivå44, som ligger mellan 95-99,9%. Således kommer VaR inte att visa den maximala förlusten för portföljen, som kan uppstå, utan det värsta portföljresultatet, som kan inträffa med hänsyn till vald konfidensnivå.45
Man har kunnat se att aktieavkastningar ökar resp. minskar i variation i kluster, d.v.s. variationen ökar eller minskar under vissa tidsperioder. Dessa kluster tillför ett problem i uppskattningarna då man inte vet om när dessa inträffar. Att det uppkommer kluster med ökad resp. minskad variation syns tydligt om man ritar upp avkastningarna i ett diagram. Vi har gjort detta för Standard & Poor’s 100 index46
. Vi kan se att perioden mellan ungefär 2004-04-01 t.o.m. 2007-04-2004-04-01 har ett kluster, tidsperiod, som präglas av mindre variation i
avkastningarna än resterande tidsperiod. Dessa klusterförändringar är intressanta att fånga upp vid beräkningar av VaR, då ökande variationer i avkastningarna innebär en större risk.
Under den tid, som man har använt sig av VaR, har man lyft fram både för- och nackdelar.
41 van den Goorbergh & Vlaar (1999) “Value-at-Risk Analysis of the Stock Returns Historic Simulation, Variance Techniques or Tail Index Estimation?”, sid. 2
42 Jorion (2001) Value at Risk, sid. 22
43 Wong, Cheng & Wong (2003) ”Market risk management of banks: implications from the accuracy of Value-at-Risk forecasts”, sid. 24
44 Konfidensnivån är den säkerhet/ sannolikhetsnivå som kan uttala sig om.
45 van den Goorbergh & Vlaar (1999) “Value-at-Risk Analysis of the Stock Returns Historic Simulation, Variance Techniques or Tail Index Estimation?”, sid. 2
46
16 Bland de fördelar, som man kan se av att använda VaR, brukar man nämna följande47:
VaR tillhandahåller ett vanligt, konsistent riskmått över olika sorters positioner och riskfaktorer.
Det slutvärde som man får av VaR redovisas i pengar, dvs. den valuta som man väljer.
Den nackdel, som man brukar lyfta fram när det gäller VaR är följande48:
Att VaR argumenten är för inexakta för att användas för mycket, p.g.a. att olika VaR metoder kan ge skillnader i uppskattningarna av risken. Skälet till varför detta blir ett problem, beror på att om VaR uppskattningen är felaktig och dess användare tar dessa uppskattningar på för stort allvar, så kommer detta att innebära att man tar större risker och förlorar mer än vad man tänkt.
3.2 Normalfördelning
Vid beräkningar av VaR, så är den såkallade normalfördelningen viktig. Då
normalfördelningen används vid Delta-Normal, RiskMetrics och GARCH(1,1) metoderna, så kommer vi att börja med att beskriva vad en normalfördelning är.
Normalfördelning är något som tas upp inom det statistiska ämnesområdet. En fördelning handlar om hur pass spridd en variabels värden är från dess medelvärde, μ. Den avvikelsen från medelvärdet, som en variabel har, kallas för standardavvikelse, σ.49 Standardavvikelsen är dock inte skillnaden för varje enskild observation från medelvärdet, utan det är en
sammanvägning av alla avvikelser från medelvärdet. Detta syns då variansen räknas ut som summan av avvikelsen för alla observationer. Standardavvikelsen räknas ut genom följande formel50:
σ2 = 𝑋−𝜇 𝑥 2
𝑛 σ = σ2
Där μ är medelvärdet, σ 2 är beteckningen för variansen, X står för en observation och σ är beteckningen för standardavvikelsen.
47 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 12 48 Ibidem, sid 13-14
49 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 21 50
17 Vi kommer här att använda oss av ett exempel vad gäller aktiekurser för att illustrera dessa uträkningar.
Active Biotech Aktiekurs i kronor
2008-03-20 60 2008-03-19 58 2008-03-18 58 2008-03-17 58,5 2008-03-14 60 2008-03-13 59 Medelvärde 58,9 Tabell 3.2.151
Standardavvikelsen i vårt exempel kommer således att bli:
σ2 = 60 − 58,9 2+ 58 − 58,9 2+ ⋯ + 59 − 58,9 2
6 = 0,7
σ = 0,7 = 0,84
Vid detta exempel så är det empiriskt data, som ger fördelningen. Det har dock uppkommit teoretiska fördelningar, där normalfördelningen är den vanligast förekommande. Vid en normalfördelning antar man att avvikelserna från medelvärdet är symetriska.52 Detta kan man se om man ritar upp det i ett histogram.
51 Egen illustration
52
18 Figur 3.2.253
Utifrån en normalfördelning så kan vi räkna på hur många procent som ligger inom ett visst intervall. Vi kan således se att ca 95% ligger inom intervallet μ ± 2σ.54 Detta är något som man använder vid beräkning av VaR, då vi vill se hur pass stor sannolikheten är att vi förlorar pengar på portföljen. Som kan ses ovan så inkluderas 95,4% om man ser till intervallet μ ± 2*σ, där tvåan är det kritiska värdet. För att inkludera 99%, vilket vi är intresserade av, så är det kritiska55 värdet 2,326. Vid beräkningar av VaR ser vi endast till den vänstra delen av normalfördelningen, då VaR mäter negativa tal.
Det finns dock problem med att använda sig av en normalfördelning. Dessa problem berör om vi verkligen har normalfördelning eller ej. De två största problemen med normalfördelningen är ”skevhet” och ”kurtosis”.
Skevhet innebär att fördelningen inte är symetrisk runtomkring medelvärdet56.
Figur 3.2.357
Vid negativ skevhet kommer vi att underskatta risken vid en viss säkerhetsnivå
(konfidensnivå), exempelvis 95%. Svansen, vid negativ skevhet, kommer på den vänstra sidan av fördelningen att vara tjockare än vid en normalfördelning. Vi kommer då att underskatta risken då vårt intervall inte inkluderar 95%, utan det är större sannolikhet att vi kommer att hamna utanför det kritiska värdet. Detta skulle leda till en underskattning av
53 Ibidem sid. 888
54 Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 888 55
Kritiska värdet är det värde som man multiplicerar med standardavvikelsen för att inkludera en viss
säkerhetsnivå. De kritiska värdena har hämtats från en t-tabell, som finns i Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 961.
56 Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 886 57
Egen konstruktion utifrån Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 887
Negativ skevhet Positiv skevhet
19 marknadsrisken genom att vi får ett för högt58 VaR-värde. När man har en positiv skevhet, kommer problemen med för högt VaR-värde och underskattning av marknadsrisken inte att uppstå. Dock så kommer man vid den positiva skevheten att överskatta marknadsrisken genom ett för lågt VaR-värde. Detta då svansen för den positiva sidan kommer att vara tjockare än vid en normalfördelning.59
Kurtosis innebär att fördelningen är mer spetsig eller plattare än vid en normalfördelning60.
Figur 3.2.461
Problemet med kurtosis är att vi kommer att få smalare resp. tjockare svansar i fördelningen. När vi får tjockare svansar, d.v.s. när vi har en plattare fördelning, så kommer vi att
underskatta risken när vi antar en normalfördelning. Detta då fler observationer kommer att befinna sig utanför det kritiska värdet, än vad vi antar vid en vald konfidensnivå. Då man har smalare svansar, dvs. när vi har en spetsigare fördelning, kommer man att överskatta risken när man antar en normalfördelning, då fler observationer kommer att befinna sig innanför det kritiska värdet.62
58 Med högt menar vi att talet befinner sig närmare noll, d.v.s. sannolikheten för att den verkliga avkastningen ska vara lägre ökar.
59 Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 886-887 60 Ibidem, sid. 886
61 Egen konstruktion utifrån Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 887 62
Gujarati (2003) Basic Econometrics, sid. 886
Normalfördelning Kortsvansad
kurtosis
20
3.3 Historisk Simulation
Historisk Simulation är en icke-parametrisk metod för att beräkna VaR. Denna metod bygger alltså inte på några antaganden om portföljens avkastningsfördelning. Historisk Simulation är den populäraste icke-parametriska metoden.63 I och med att man inte gör några antaganden om avkastningarnas fördelning, så användes de historiska portföljavkastningarna som nyligen varit. Dessa avkastningar har alla samma vikt. Inom Historisk Simulation antar man att dessa historiska avkastningar även kommer att reflektera framtida avkastningar.64 Det finns ingen regel på hur många observerade historiska avkastningar som man ska inkludera i Historiska Simulation.65 Vi har valt att använda oss av de senaste 50066 dagarnas avkastningar när vi utför Historiska Simulation.
När man samlat in dessa historiska avkastningar på portföljen, kan VaR beräknas. Vid Historisk Simulation rangordnar man de historiska avkastningarna från den högsta till den lägsta67. Efter rangordningen ser man till vilka observationer befinner sig inom den sannolikhetsnivå man valt. VaR-värdet är sedermera den avkastning som skiljer sannolikhetsnivån från de resterande procentenheterna.68
Historisk Simulation är enklast att begripa m.h.a. exempel, vilket vi nedan kommer att presentera:
Antag att vi har 100 observerade portföljavkastningar och att vi vill räkna ut VaR på en 95% sannolikhetsnivå. Dessa observationer är rangordnade i storleksordning, så att observation 1 är den lägsta avkastningen och observation 100 är den högsta. Vårt VaR-värde kommer då att vara observation nr. 6.69 Detta får vi genom:
100 × 0,05 = 5
Där 100 är antalet observationer och 0,05 är 5% (1-0,95).
För att 5% skall befinna sig utanför vår sannolikhetsnivå, kommer vi att välja observationen över 5, alltså observation nr. 6. Vi kan då se att 5% av observationerna befinner sig utanför vår sannolikhetsnivå.
63 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 83
64 Dowd (2002) An introduction to market risk measurement, sid. 55-56 65
Jorion (2000) Value at Risk, sid. 221
66 Ett bankår består av 250 dagar, vilket innebär att vi ser 2 år tillbaka i tiden. 67 Avkastningarna kommer att presenteras i vald valuta.
68 Linsmeier & Pearson (2000) ”Value at Risk”, sid. 52 69
21 5
100= 0,05 5%
Om observation nummer 6 exempelvis hade varit -36,000 kronor så hade det inneburit att ett VaR-värde på -36,000 kronor.
Fördelarna med att använda sig av Historiska Simulation är:
Metoden är lätt att ta till sig och implementera70.
Man behöver inte ta hänsyn till någon form av fördelning, då man ser på historiska avkastningar och genom detta kommer man inte att få problem med vare sig skevhet eller kurtosis71.
Den mest framträdande nackdelen med att använda Historisk Simulation är72:
Det kan ta lång tid innan en ökning resp. minskning i portföljavkastningarna får effekt på VaR-värdena, då man ser till ett visst antal observerade historiska avkastningar.
3.4 Delta-Normal metoden
Till skillnad från Historiska Simulation, så är Delta-Normal metoden parametrisk och man antar således en teoretisk normalfördelning. Detta innebär att man antar att
portföljavkastningarna är normalfördelade. I och med detta behöver man vid Delta-Normal metoden endast använda sig av de två parametrarna, μ och σ, som används vid
normalfördelningen.73
μ är ett medelvärde av portföljens avkastning i kronor, under en tidigare tidsperiod. σ är portföljens standardavvikelse, under den föregående tidsperioden. Tidsperioden som vi använder oss av är 500 dagar.
70 Jorion (2000) Value at Risk, sid. 222 71 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 99 72 Jorion (2000) Value at Risk, sid. 223 73
22 Ekvationen för VaR, då man antar att μ=074, när man använder sig av Delta-Normal metoden är75:
VaRt= -Z1-ϴ* σt-1
Z1-ϴ är det kritiska värde, som vi får från vår normalfördelning på den valda konfidensnivån.
De fördelar som Delta-Normal metoden besitter är76:
Den är enkel att använda.
Testet går snabbt att genomföra, då man endast behöver se till μ och σ.
Vid användning av Delta-Normal metoden kommer man att stöta på problem med bland annat77:
Skevhet och kurtosis, d.v.s. vi kan över- eller underskatta VaR-värdet om man använder sig av en normalfördelning.
3.5 RiskMetrics
RiskMetrics bygger som Delta-Normal metoden på antagandet om att avkastningarna följer en normalfördelning78. Formeln vid beräkning av VaR-värdena enligt RiskMetrics är den samma som vid Delta-Normal metoden, om man antar att är μ=0:
𝑉𝑎𝑅 = −𝑍𝑡−θ∗σ
Där Zt-θ är det kritiska värdet och σ är standardavvikelsen.
Skillnaden mellan Delta-Normal metoden och RiskMetrics är att RiskMetrics lägger en större vikt på de avkastningar som nyligen inträffat, d.v.s. i RiskMetrics mäts detta genom
74 Då man ser till daglig data så påverkar μ så pass lite att man kan bortse från denna. Vi kommer vid våra beräkningar att bortse från μ av denna anledning.
75 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 154 76 Jorion (2001) Value at Risk, sid. 220
77 Ibidem, sid. 220 78
23 användning av en avtagningsfaktor, λ79. Denna viktning av avkastningarna inkluderas genom att beräkna standardavvikelsen på ett annorlunda sätt vid RiskMetrics än vid Delta-Normal metoden. Standardavvikelsen beräknas enligt RiskMetrics genom följande formel80, om vi antar att μ=0:
σ𝑡+12 = λ∗ σt2+ 1 − λ ∗ Rt2
σ𝑡+1 = σ𝑡+12
Där 𝑅𝑡2 är avkastningen vid tidpunkten t och λ är avtagningsfaktorn.
Den markantaste skillnaden mellan Delta-Normal och RiskMetrics är avtagningsfaktorn, λ. Det är denna avtagningsfaktor som bestämmer hur pass stor vikt nyare avkastningar ska få kontra äldre. De som tillhandahåller och arbetar med RiskMetrics, RiskMetrics groupTM, har kommit fram till att en avtagningsfaktor på 0,94 är en bra uppskattning81. Denna uppskattning kommer vi att använda vid våra VaR-beräkningar med RiskMetrics.
I och med att RiskMetrics använder sig av denna avtagningsfaktor, så kommer VaR-värdena att anpassa sig snabbare till de avkastningskluster som finns82. Skulle en marknadschock inträffa justerar sig RiskMetrics snabbare till detta och ger därmed lägre VaR-värde snabbare än vad Delta-Normal metoden gör. Likaså justeras RiskMetrics snabbare till högre VaR-värde, om vi skulle komma in i en period med mindre svängningar i avkastningarna.83
Genom att använda sig av RiskMetrics får man ta del av flertalet fördelar, som rör hur bra metoden uppskattar VaR84.
Förlitar sig endast på en parameter, λ, utöver σ och µ. Vilket fortfarande inte är ett stort antal parametrar.
Snabbare anpassning till avkastningsförändringar.
Man antar att avkastningarna är normalfördelade85.
79
Jorion (2001) Value at Risk, sid. 194
80 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 130
81 Zumbach (2006) ”The RiskMetrics 2006 methodology”, sid. 4 82 Dowd (2002) An Introduction to market risk measurement, sid. 244 83 Zangari (1996) “An improved methodology for measuring VaR”, sid. 7-10 84
Jorion (2001) Value at Risk, sid. 194
85
24 Nackdelarna med RiskMetrics är bland annat86:
Metoden kan lida av skevhet och kurtosis, då den bygger på normalfördelningen.
Alla historiska avkastningar blir summerade genom σt2.
86
25
3.6 GARCH(1,1)
GARCH modellen, som står för generalised autoregressive conditional hetroscedasticity, introducerades 1986 av Tim Bollerslev och det är en direkt påbyggnad av den ARCH modell som Engle introducerade 198287. Bollerslev utgick från ARCH modellen för att utveckla GARCH(p,q)88, vilket bl.a. används för att beräkna VaR.89
GARCH modellen designades för att man skulle kunna fånga den dynamiska strukturen av variansen90. I och med att man gör detta, så fångar denna metod upp problem som kurtosis och skevhet. Dessa problem fångas upp genom att inkludera fler parametrar, i uträkningen av variansen, än vad RiskMetrics gör.
Ekvationen för variansen i GARCH(1,1), ser ut som följer91:
𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛼𝑋𝑡−12 + 𝛽𝜎𝑡−12
𝜔 ≥ 0; 𝛼, 𝛽 ≥ 0; 𝛼 + 𝛽 < 1
Där man använder sig av skattade värden på ω, α och β. Således kan man se att α kommer att ge en viss andel av tidigare avkastningar, samtidigt som β tillför en viss andel av tidigare varians till ekvationen, där ω agerar som ett intercept. Om man får ett högt värde på β, innebär detta att volatiliteten är ihållande och att det tar lång tid innan den ändras. I de fall då man har höga värden på α, innebär detta att volatiliteten är spetsig och att man reagerar snabbt på marknadsändringar.92
De fördelar som man kan tillskriva sig vid användning av en GARCH-metod är följande93:
Anpassar sig snabbt till klusterförändringar.
Fångar upp skevhet och kurtosis.
87 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 131
88 GARCH(p,q) är grunden för GARCH modeller och inkluderar GARCH(1,1) 89 Hagerud (1997) A New Non-linear GARCH Model, sid. 2
90
Chou (1988) ”Volatility persistence and stock valuations: Some empirical evidence using GARCH”, sid. 280 91 Bollerslev, Chou & Kroner (1992) “ARCH modeling in finance – A review of the theory and empirical evidence”, sid. 9
92 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 132 93
26 De nackdelar som brukar nämnas med GARCH-metoden är följande94:
Metoden är icke-linjär. Följden av detta blir att man måste uppskatta de parametrar som man använder sig av, genom att maximering av sannolikhetskvoten, d.v.s. genom maximum likelihood.
Denna modell innehåller flera olika parametrar som ska uppskattas.
3.7 Kupiec test
När man vill utvärdera VaR-metoder, så använder man sig av s.k. backtesting metoder. Backtesting innebär att man utvärderar VaR metoder för att se om dessa är acceptabla enligt resp. backtestingmetods kriterier. Backtesting innebär att man utifrån en viss sannolikhetsnivå uttalar sig statistiskt om ett visst utfall är acceptabelt eller ej95. Det finns olika former av backtesting metoder, såsom bl.a. Kupiec96 backtest, Christoffersen97 backtest och backtest baserade på Rosenblatts98 transformation. Av de backtester som finns så är Kupiec99 test en av de mest förekommande.100 Vi kommer således att använda oss av denna backtesting metod. Genom Kupiecs metod ser man till hur ofta förluster, som är större än det uppskattade VaR-värdet, inträffar, s.k. överträdelser101. Kupiec testet använder sig sedermera av
binominalfördelning för att beräkna102 hur många överträdelser av VaR, som är acceptabelt på en viss sannolikhetsnivå103. Vi kommer att använda oss av en 95% säkerhetsnivå104 vid vårt Kupiec test. Formeln för detta test är105:
𝑆𝑎𝑛𝑛𝑜𝑙𝑖𝑘ℎ𝑒𝑡 𝑥 𝑛, 𝑝 = 𝑛𝑥 𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
Där x är antalet överskridande observationer, n är totalt antal observationer och p =1-”sannolikhetsnivån vid beräkning av VaR”.106
Antalet överträdelser kommer således att påverka sannolikhetsnivån. Om den sannolikhet som beräknas fram ligger mellan
94 Jorion (2001) Value at Risk, sid. 188-189 95
Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 323 96 Ibidem, sid. 324
97 Ibidem, sid. 329 98
Ibidem, sid. 331
99 Denna modell heter egentligen ”The Basic Frequency-of-tail-losses test”. Det kallas även för Kupiec test. 100 Dowd (2002) An introduction to market risk measurement, sid. 143
101 Kupiec (1995) ”Techniques for verifying the accuracy of risk management models”, sid. 76-77 102 Denna beräkning går att utföra i Excel.
103
Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 325
104 Vi har valt att använda oss av en 95%-nivå, då vi anser att detta är en bra sannolikhetsnivå för ett statistiskt test.
105 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 325 106
27 97,5%, så är det ett accepterat antal överträdelser vid test på en 95% säkerhetsnivå107. Således kommer man få ett intervall av antalet överträdelser som är acceptabelt enligt Kupiec testet.
De fördelar som man kan ge Kupiec testet är108:
Enkelt test att utföra.
Kräver inte mycket information.
Till Kupiec testet brukar man tillföra följande nackdelar:
Bedömer inte med hur mycket som varje överträdelse skiljer sig från det uppskattade värdet. Det mäter enbart om det finns en överträdelse eller ej, således säger den inte något om hur stor överträdelsen är.109
Kräver ett stort antal observationer för att kunna ta fram bra och representativa data. Använder man sig av ett mindre antal observationer finns möjligheten att man bortser från värdefull information.110
Då de finansiella instituten skall rapportera till Finansinspektionen när en överträdelse inträffar, så anser vi att denna metod är bra att jämföra VaR-metoderna med.111
107
Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 327
108 Dowd (2002) An introduction to market risk measurement, sid. 144 109 Dowd (2005) Measuring market risk, sid. 327
110 Kupiec (1995) ”Techniques for verifying the accuracy of risk management models”, sid. 83 111
28
4 Empiri
I detta avsnitt kommer vi att presentera de VaR-värden, för resp. metod, som tagits fram för undersökningsperioden. Vi kommer även att presentera hur många överträdelser som inträffar vid resp. metod.
4.1 Grundläggande uträkningar
Då vi har utfört VaR-beräkningar på daglig basis under tio år, så innebär detta att vi får många observationer. Vi har under denna tidsperiod sammanlagt 2 544 uträknade VaR observationer för resp. metod. Av denna anledning kommer vi inte att presentera all data här, utan kommer att visa utdrag från undersökningen. Vi har även illustrerat avkastningarna för resp. portfölj tillsammans med VaR-beräkningarna med resp. metod112.
Vi har även valt att dela in vår tioårsperiod i fyra perioder. Anledningen till detta är att vi finner det av intresse att undersöka skillnaden mellan perioder med högre svängningar i jämförelse med perioder med lägre svängningar. De fyra perioderna har vi således delat in utifrån om standardavvikelsen varit hög eller låg under perioden. Vi har således använt oss av illustrationer113 av standardavvikelserna för resp. portfölj och kommit fram till de perioder som visas i tabell 4.1.1.
Tidsperiod (utan hänsyn till bankår) Benämning
1998-04-01 t.o.m. 1999-10-31 period 1
1999-11-01 t.o.m. 2002-04-30 period 2
2002-05-01 t.o.m. 2006-03-31 period 3
2006-04-01 t.o.m. 2008-04-01 period 4
Tabell 4.1.1114
Vi kan utifrån detta se att period 2 och period 4 är präglat av högre svängningar, medans period 3 präglas av mindre svängningar. Period 1 är svårt att utröna något om, då denna är hög för vissa portföljer och låg för andra.
112 Se Bilaga 8-11
113 Se Bilaga 2-3 114
29 I var och en av portföljerna har vi valt att investera 1 000 000 kronor, vilket vi gjorde 1998-03-31 då vi vill jämföra VaR från och med 1998-04-01. Vi har alltså simulerat köp av aktier 1998-03-31 och sedan behållit dessa portföljer konstanta, vad gäller portfölj 1 och portfölj 2. Hur många av resp. aktier vi håller i portföljerna har beräknats genom att multiplicera vikten för resp. aktie med 1 000 000, vilket sedan dividerats med priset på resp. aktie 1998-03-31. Indexen har vi inte vägt, då detta redan är gjort. Således har vi enbart delat 1 000 000 med värdet på indexet 1998-03-31 för att få den andel som investerats i indexet, således har även indexen hållits konstanta. Dessa andelar och antalet aktier har vi sedermera multiplicerat med aktiepriserna och indexvärdena för att få fram det totala värdet för resp. aktie. För Seco Tools B (5% vikt) innebär detta:
𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑘𝑡𝑖𝑒𝑟𝑆𝑒𝑐𝑜 𝑇𝑜𝑜𝑙𝑠 𝐵 = 1 000 000 ∗ 𝑜, 𝑜5
59 = 847,45 𝑠𝑡
Datum Aktievärde
Värde Seco Tools B Aktier
1998-04-01 59,4 847,45*59,4 = 50 338,53
1998-04-02 58 847,45*58 = 49 152,10
1998-04-03 59 847,45*59 = 49 999,55
Tabell 4.1.2115
Då portföljerna inkluderar fler än en aktie så har vi använt samma metodik som ovan fast med samtliga aktier för att få fram portföljvärdet för varje dag. Syftet med detta är att få fram avkastningarna för varje portfölj i kronor för beräkningen av VaR. För portfölj 1 innebär detta att portföljvärdet och avkastningarna för portföljen blir som tabell 4.1.3 visar.
115
30 Datum Portföljvärde Avkastning Portfölj (kr)
1998-03-31 1 000 000 -1998-04-01 1 014 598,98 14 598,98 1998-04-02 1 008 077,27 -6 521,71 · · · · · · 2008-03-28 1 051 238,01 1 933,17 2008-03-31 1 067 478,47 16 240,45 2008-04-01 1 093 875,95 26 397,48 Tabell 4.1.3116
Vi har således räknat ut avkastningen för portföljerna, vilket i fortsättningen kommer att vara den primära datan vid uträkningar av VaR. Samma uträkningar som ovan har använts för att beräkna avkastningarna på resterande portföljer.
4.2 Historisk Simulation
Vid beräkningen av Historiska Simulation har vi valt att använda oss av
portföljavkastningarna under de senaste 500 observationerna. Vi har sedermera rangordnat dessa efter storlek för att beräkna VaR.
VaR-värdet för resp. portfölj visas i tabell 4.2.1.
Datum VaR Portfölj 1 VaR Portfölj 2 VaR Portfölj 3 VaR Portfölj 4
1998-04-01 -45 145,37 -24 481,40 -26 582,25 -18 338,51 1998-04-02 -45 145,37 -24 481,40 -26 582,25 -18 338,51 · · · · · · · · · · 2008-03-31 -52 078,73 -62 651,83 -59 174,58 -83 186,66 2008-04-01 -52 078,73 -62 651,83 -59 174,58 -83 186,66 Tabell 4.2.1117
Här är beräkningen av VaR 1998-04-01 således rangordningen av avkastningarna mellan 03-28 t.o.m. 1998-03-31. VaR för 1998-04-02 består av avkastningarna mellan 1996-03-29 t.o.m.1998-04-01 o.s.v. I och med att det enbart är en observation som påverkas för
116 Egen konstruktion 117
31 varje dag, och alla observationer har lika stor vikt, så varierar inte VaR-värdet så frekvent. Därav har vi liknande VaR-värden i exemplet ovan.
De VaR-värden som räknas ut jämför vi sedermera med hur avkastningen på portföljen varit för att undersöka om det förekommer överträdelser118 eller ej. Här representeras en
överträdelse av 1 och icke överträdelse av 0. Överträdelserna mellan 08-04 t.o.m. 1998-08-11blir således som tabell 4.2.2 visar.
Datum Avkastning Portfölj 1 Avkastning Portfölj 2 VaR Portfölj 1 VaR Portfölj 2 Överträdelse Portfölj 1 Överträdelse Portfölj 2 1998-08-04 6 881,33 -11 372,87 -45 145,37 -29 435,03 0 0 1998-08-05 -30 923,15 -36 669,98 -45 145,37 -29 435,03 0 1 1998-08-06 -14 235,38 -10 346,43 -45 145,37 -36 048,54 0 0 1998-08-07 24 364,20 17 243,09 -45 145,37 -36 048,54 0 0 1998-08-10 -22 030,26 -21 143,88 -45 145,37 -36 048,54 0 0 1998-08-11 -31 425,83 -36 821,64 -45 145,37 -36 048,54 0 1 Tabell 4.2.2119
Vi väljer att visa perioden mellan 1998-08-04 t.o.m. 1998-08-11 i tabell 4.2.2 av den anledningen att det har inträffat överträdelser under denna period. Detta har vi gjort för att påvisa hur det ser ut vid överträdelser. Således vill vi påpeka att detta inte är en rättvisande bild av hur det sett ut under hela vår testperiod, d.v.s. det har inte skett överträdelser av portfölj 2 lika frekvent under undersökningsperioden. Vi ser då att vid de observationer där vi har överträdelser, så är avkastningen på portföljen lägre än VaR-värdet, vilket det skall vara. Sammantaget under hela undersökningsperioden har Historisk Simulation haft ett totalt antal överträdelser som visas i tabell 4.2.3.
118 En överträdelse är när VaR inte uppskattat förlusten tillräckligt bra, d.v.s. avkastningen på portföljen är lägre än vad det uppskattade VaR-värdet är.
119
32 Överträdelser Historik Simulation
Portfölj 1 Portfölj 2 Portfölj 3, OMXS30 Portfölj 4, Small Cap
Summa överträdelser 38 56 43 41 Period 1 3 9 8 6 Period 2 13 25 17 9 Period 3 11 10 5 11 Period 4 11 12 13 15 Tabell 4.2.3120
Detta har vi även utfört backtesting på men detta resultat kommer vi att presentera under kapitel 5.2, tillsammans med övriga metoder.
4.3 Delta-Normal metoden
Vid Delta-Normal metoden har använt oss av de senaste 500 observationerna för att beräkna fram standardavvikelsen. Standardavvikelsen är beräknad på de avkastningar som portföljen har givit. Utifrån detta har vi sedan kunnat beräkna VaR enligt Delta-Normal metoden. Vi får således VaR-värden enligt tabell 4.3.1.
Datum VaR Portfölj 1 VaR Portfölj 2
VaR Portfölj 3,
OMXS30 VaR Portfölj 4, Small Cap
1998-04-01 -35 372,77 -21 593,10 -21 570,67 -16 877,25 1998-04-02 -35 383,31 -21 591,05 -21 575,20 -16 873,07 · · · · · · · · · · 2008-03-31 -34 039,56 -48 311,92 -48 152,56 -62 171,15 2008-04-01 -34 083,99 -48 358,38 -48 149,81 -62 180,57 Tabell 4.3.1121
33 Där 2,326 är det kritiska värdet och14 653,48 är standardavvikelsen 2008-03-31. Dessa
beräkningar har utförts för resp. dag. De VaR-värden, som vi får fram, kan vi sedermera jämföra med portföljens avkastningar för att få fram hur många överträdelser som skett. Sammantaget över hela undersökningsmetoden hade Delta-Normal metoden så många överträdelser som tabell 4.3.2 illustrerar.
Överträdelser Delta-Normal
Portfölj 1 Portfölj 2 Portfölj 3, OMXS30 Portfölj 4, Small Cap
Summa överträdelser 46 82 78 77 Period 1 5 16 17 12 Period 2 18 30 26 20 Period 3 7 12 6 19 Period 4 16 24 29 26 Tabell 4.3.2122 4.4 RiskMetrics
RiskMetrics använder sig av en annorlunda metod, vad gäller beräkningen av variansen och därmed standardavvikelsen. Vi visar här beräkningen av variansen för 2008-04-01.
𝜎2008−04−012 = 0,94 ∗ 198 978 618,75 + 1 − 0,94 ∗ 16 240,462 = 202 865 051,47
𝜎2008−04−01 = 202 865 051,47 = 14 243,07
Där 198 978 618,75 är variansen 31 och 16 240,46 är portföljavkastningen 2008-03-31. Efter dessa beräkningar för resp. dag, har vi de data som krävs för att beräkna VaR enligt RiskMetrics. Detta sker på samma sätt som Delta-Normal metoden, vilket ger VaR-värdena som finnes i tabell 4.4.1.
122
34 Datum VaR Portfölj 1 VaR Portfölj 2
VaR Portfölj 3,
OMXS30 VaR Portfölj 4, Small Cap
1998-04-01 -22 967,79 -17 136,84 -19 788,46 -12 089,48 1998-04-02 -23 770,86 -16 656,55 -19 766,16 -11 989,41 · · · · · · · · · · 2008-03-31 -32 810,51 -45 362,04 -59 491,05 -75 560,43 2008-04-01 -33 129,38 -45 443,02 -57 679,66 -73 490,58 Tabell 4.4.1123
I och med detta så kommer överträdelserna för RiskMetrics att bli som i tabell 4.4.2.
Överträdelser RiskMetrics
Portfölj 1 Portfölj 2 Portfölj 3, OMXS30 Portfölj 4, Small Cap
Summa överträdelser 43 50 45 64 Period 1 11 11 5 14 Period 2 8 9 8 11 Period 3 9 18 18 24 Period 4 15 12 14 15 Tabell 4.4.2124 4.5 GARCH(1,1)
Vid GARCH har vi skattat de parametrar som ingår i denna metod. Dessa parametrar har vi skattat för resp. portfölj, då dessa reagerar olika vad gäller avkastning p.g.a. att de inte innehåller samma tillgångar. Vid skattningarna använder vi oss av avkastningarna som ingående data, men till skillnad från tidigare så är dessa numera uttryckta i procent. Vid våra regressionsresultat benämns denna variabel för ”AVKPR”. Vi har vid våra skattningar kommit fram till att vi bör använda oss av en GARCH(1,1) modell vid samtliga portföljer.
35 När vi inkluderat vår AR(1)-process, ser vi att vi inte kan förkasta vår nollhypotes vilket tyder på att vi kan ha blivit av med vår autokorrelation.126 Detta ser vi då P-värdena befinner sig över 5%. Vi undersöker även i ett korrelogram om vi kan se tendenser till autokorrelation. När vi tittar på detta så ser vi att det inte tyder på att vi har autokorrelation, då vår pigg har försvunnit i kolumnen ”Autocorrelation”.127
När vi rensat bort autokorrelationen så kan vi köra vår GARCH(1,1) modell. Vi testar
sedermera denna genom att göra ett ARCH LM test. Detta visar på att denna metod fungerar, då våra P-värden är större än 5%.128 Vi undersöker även så att vi inte har återfått
autokorrelation, vilket vi inte har. De parametrar som vi skattat fram är även signifikanta på 95%-nivån, vilket tyder det på att vår GARCH(1,1) modell är bra att använda. Parametrarna har för portfölj 1 uppskattats till de värden som finns i tabell 4.5.1.
Parameter Värde
w 0,0000107
α 0,068171
β 0,901312
Tabell 4.5.1129
Vid skattningen av parametrarna för portfölj 2 så har vi inte autokorrelation, vilket vi ser genom att vårt autokorrelationstest inte tyder på detta samtidigt som korrelogramet inte
antyder på någon autokorrelation130. Vi kan därför köra vår GARCH(1,1) modell direkt, vilket även visar sig vara en bra modell enligt vårt ARCH LM test131. Vi har även kontrollerat så att vi inte har återfått något mönster i korrelogramet, något som inte inträffat. De värden vi får på parametrarna, vilka alla är signifikanta, för portfölj 2 blir således som i tabell 4.5.2.
36 Parameter Värde w 0,00000565 α 0,114869 β 0,862006 Tabell 4.5.2132
Både portfölj 3 och portfölj 4 lider av problemet med autokorrelation, vilket vi kan se både i våra autokorrelationstest och i våra korrelogram133. Vi använder oss därför av en AR(1)-process för att plocka bort denna autokorrelation. Vi får då resultat som tyder på att vi inte har någon autokorrelation kvar genom autokorrelationstest och granskning av korrelogram134. GARCH(1,1) modellen verkar bra att använda för både portfölj 3 och portfölj 4 och parametrarna är signifikanta vid en 95%-nivå. Värdena för parametrarna vid portfölj 3 illustreras i tabell 4.5.3 och för portfölj 4 illustreras detta i tabell 4.5.4.
Parameter Värde w 0,00000585 α 0,116818 β 0,844987 Tabell 4.5.3135 Parameter Värde w 0,00000251 α 0,186752 β 0,813828 Tabell 4.5.4136
Dessa parametrar använder vi sedermera för att beräkna variansen, och därmed
37 Standardavvikelsen beräknas således på följande sätt för portfölj 1:
𝜎2008−04−012 = 0,0000107 + 0,068171 ∗ 16 240,462 + 0,901312 ∗ 138 564 393,09
= 142 870 021,77
𝜎2008−04−01 = 142 870 021,77 = 11 952,82
Där 16 240,46 är avkastningen på portföljen dagen innan, d.v.s. 2008-03-31, och 138 564 393,09 är variansen 2008-03-31. Utifrån detta beräknar vi sedermera VaR som vi gjort vid Delta-Normal och RiskMetrics metoderna. Vi kommer således att få VaR-värden för GARCH(1,1) metoden137 enligt tabell 4.5.5.
Datum VaR Portfölj 1 VaR Portfölj 2
VaR Portfölj 3,
OMXS30 VaR Portfölj 4, Small Cap
1998-04-01 -17 699,39 -12 312,28 -15 675,82 -11 209,98 1998-04-02 -18 998,95 -11 547,03 -15 864,00 -11 048,24 · · · · · · · · · · 2008-03-31 -27 380,13 -39 462,24 -53 420,44 -78 110,72 2008-04-01 -27 802,27 -39 910,15 -49 107,92 -71 213,59 Tabell 4.5.5138
När vi jämför VaR-värdena med de faktiska utfallen så kommer vi fram till att vi sammanlagt har överträdelser enligt tabell 4.5.6.
Överträdelser GARCH(1,1)
Portfölj 1 Portfölj 2 Portfölj 3, OMXS30 Portfölj 4, Small Cap
Summa överträdelser 97 73 87 77 Period 1 20 18 9 17 Period 2 22 11 19 14 Period 3 26 27 38 28 Period 4 29 17 21 18 Tabell 4.5.6139
137 Portfölj 2, 3 och 4 är baserade på deras resp. uppskattade parametrar. 138 Egen konstruktion
139
38
4.6 Kupiec test
Vi har även utfört backtesting på dessa resultat som vi har fått fram angående överträdelser. Vi använder oss av formeln för Kupiec-testet för att beräkna fram intervallet, angående hur många överträdelser som är acceptabelt, som gäller för samtliga metoder. Detta intervall gäller för samtliga metoder, då vi har samma ingångsvariabler för alla metoder, d.v.s. vi har samma antal totala observationer och sannolikhetsnivå. Då vi har beräknat VaR med 99% så kommer vår sannolikhetsnivå i Kupiec testet att vara:
𝑠𝑎𝑛𝑛𝑜𝑙𝑖𝑘ℎ𝑒𝑡𝑠𝑛𝑖𝑣å = 1 − 0.99 = 0.01
Som vi nämnt tidigare så har vi sammanlagt 2 544 observationer under vår
undersökningsmetod. Dessa två variabler kommer att leda till att Kupiec testet kommer ge ett intervall på mellan 16 och 36 överträdelser. Eftersom detta test säger att sannolikheten är att vi ska befinna oss inom detta intervall, så innebär det inte att en metod inte är godkänd om det inträffar färre överträdelser än 16
39
5 Analys
Vi kommer här att börja analysera våra illustrationer av hur VaR-metoderna har uppskattat portföljernas avkastningar. Efter att vi gjort detta kommer vi att se till hur många
överträdelser som skett vid resp. metod, för att jämföra VaR-metoderna utifrån detta med.
5.1 Illustrativ analys
Med hjälp av våra diagram, så kan vi på ett tydligt sätt beskåda hur VaR-värdena har uppskattat portföljavkastningarna. Vi kan se att Historiska Simulation har svårigheter att uppskatta portföljernas avkastningar på ett effektivt sätt. Då denna metod använder sig av de historiska avkastningarna och väger alla dessa lika, så tar det tid innan uppskattningarna justeras vid ökade resp. minskade svängningar i avkastningarna. I vårt fall så syns denna ineffektivitet till uppskattning tydligast i period 3, då det tar lång tid för den historiska
simulationen att anpassa sig till mindre svängningar efter 2001-05-01 (ungefär). Att Historisk Simulation har problem med att anpassa sig vid ökade svängningar syns vid period 4, då denna metod inte anpassar sig så snabbt.
Då svängningarna i portföljens avkastningar är relativt stabila, vilket inträffar vid period 3, så uppskattar den historiska simulationen avkastningarna på ett bättre sätt, efter det att den justerats ner. Således fungerar denna metod ganska bra under tidsperioder när svängningarna i portföljavkastningarna är stabila, men tycks få problem under tidsperioder då dessa
svängningar ökar eller minskar.
Delta-Normal metoden har även den svårigheten med att uppskatta portföljavkastningarna. Främst märks detta i period 1 och 3, då även denna metod har svårt att justera sig till större resp. mindre svängningar, såsom den Historiska Simulationen hade. Denna metod uppskattar dock avkastningarna på ett bättre sätt än vad den historiska simulationen gör, då den förändrar sig bättre till avkastningsklusterna.
RiskMetrics och GARCH(1,1) metoderna är de som är effektivast på att uppskatta
