Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Dimensionssatsen
DIMENSIONSSATSEN
Om vi betraktar en matris A av typ m×n och motsvarande ekvationssystem Ax =0
=
0 0
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
n mn m
m
n n
x x x
a a
a
a a
a
a a
a
,
efter att vi överför systemet till trappformen, ser vi att
( antalet ledande variabler) + ( antalet fria variabler)= ( antalet alla variabler) dvs
(Dimensionen av kolonnrummet ) + (Dimensionen av nollrummet ) =n.
Med andra ord
dim(Col(A)) + dim(Null(A)) = n (*)
Ovanstående relation (*) kallas DIMENSIONSSATSEN.
Eftersom rang(A)= dim( Col(A)) kan vi även skriva som rang(A) + dim(Null(A)) = n
Anmärkning: Som sagt tidigare använder vi flera beteckningar för kolonnrummet: im(A) = Col(A)=Coll(A)
och följande beteckningar för
nollrummet: Null(A) = ker(A)=Noll(A).
Därmed kan vi skriva dimensionssatsen som dim( im(A)) + dim(ker(A)) = n
---
Uppgift 1. Bestäm dimensinen av nollrummet för följande matriser:
a)
= 3 2
1
A 1 b)
= 2 2
1
A 1 c)
= 0 0
0 A 0
d)
=
6 5 3
4 2 2
2 1 1
A e)
=
6 3 3
4 2 2
2 1 1
A f)
=
6 2 2
3 2 1
2 1 1
A g)
=
0 0 0
0 0 0
0 0 0 A
Sida 1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Dimensionssatsen
e)
=
6 6 6 2 2
3 3 3 1
A 1 f)
=
6 3 3
4 2 2
4 2 2
2 1 1 A
Lösning:
Vi bestämmer dimensionen av kolonnrummet och därefter använder dimensionssatsen för att bestämma dimensionen av nollrummet.
a) Elementära radoperationer ger
−
1 0
1
~ 1 3 2
1
1 .
Härav ser vi att rang(A)=2 dvs att matrisen har två oberoende kolonner. Eftersom (antalet kolonner i matrisen) n=2 , har vi från dimensionssatsen
rang(A) + dim(Null(A)) = n, 2+ dim(Null(A)) =2
dvs dim(Null(A)) =0.
b) rang(A)=1 (uppenbart en oberoende kolonn men du kan använda elementära radoperationer för att bestämma rangen) , n=2 och därmed dim(Null(A))=2–1 =1.
c) rang(A)=0 , n=2 och därmed dim(Null(A))=2–0 =2.
d) rang(A)=2 (använd elementära radoperationer) , n=3 och därmed dim(Null(A))=3–2 =1.
e) rang(A)=1 , n=3 och därmed dim(Null(A))=3–1 =2.
f) rang(A)=3 , n=3 och därmed dim(Null(A))=3–3 =0.
g) rang(A)=0 , n=3 och därmed dim(Null(A))=3–0 =3.
h) rang(A)=1 , n=5 och därmed dim(Null(A))=5–1 =4.
i) rang(A)=1 , n=3 och därmed dim(Null(A))=3–1 =2.
Sida 2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Dimensionssatsen Uppgift 2. Bestäm dimensinen av nollrummet för följande matriser (för olika värden på ingående parametrar) :
a)
=
2 2 1
3 3
2 2
1 1
p
A b)
+
=
b a
b A
2 2
1 1
2 1 1
Lösning:
−
−
0 0
0 0
0 0
1 0
1 1 4) rad och rad2 på plats (byta
~ 0 0
1 0
0 0
0 0
1 1
~ 2 2 1
3 3
2 2
1 1
p
p p
Som vi ser i sista matrisen beror rangen av värdet på p:
Fall1: Om p=1 är rang(A)=1och därmed dim(Null(A))=2–1 =1.
Fall2: Om p ≠ 1 är rang(A)=2och därmed dim(Null(A))=2–2 =0.
b)
−
−
+
=
b a
b b
a b A
2 0
2 0
0
2 1
1
~ 2 2
1 1
2 1 1
3) rad och rad2 på plats (byta
~
−
−
2 0
0
2 0
2 1
1
b b
a .
Fall1: a=2. I detta fall får vi följande trappform
− 2 0 0
0 0
2 1 1
b
b .
Vi betraktar följande ”underfall” :
1a) a=2, b=0. Detta ger följande trappform
− 2 0 0
0 0 0
2 1 1
som visar att
Sida 3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Dimensionssatsen rang (A)= 2. Därmed dim(Null(A))=3–2 =1.
1b) a=2, b=2. Vi får trappformen
0 0 0
2 0 0
2 1 1
som visar att
rang (A)= 2. Därmed dim(Null(A))=3–2 =1.
1c) a=2, b ≠0 och b ≠2. Vi får trappformen
− 2 0
0 0 0
2 1 1
b
b som visar att
rang (A)= 2. Därmed dim(Null(A))=3–2 =1.
Alltså, om a=2 ( oavsett vilket värde har b) är rang(A)= 2 och dim(Null(A)) =1
Fall2: a≠2. vi följande trappform
−
−
2 0
0
2 0
2 1
1
b b
a , där a−2≠0.
2 a) om b=2 då får vi
− 0 0 0
2 0
2 1 1
b
a som visar att rang(A) = 2 och därmed är
dim(Null(A)) =1
2 b) om b ≠ 2 då får vi
−
−
2 0
0
2 0
2 1
1
b b
a där a−2≠0 och b−2≠0som visar att rang(A)
= 3 och därmed är dim(Null(A)) =0.
Svar: a=2 ( oavsett vilket värde har b) är rang(A)= 2 och dim(Null(A)) =1.
Om b=2 och a≠2 (även b=2 och a=2 enligt första delen) är rang(A)= 2 och dim(Null(A))
=1.
Om a≠2 och b ≠ 2 är rang(A) = 3 och därmed är dim(Null(A)) =0.
Sida 4 av 4
