Människors rörelse i Umeå centrum: Apbergets position analyserad med en agent-baserad simuleringmodell

Människors rörelse i Umeå centrum:

Apbergets position analyserad med en agent-baserad simuleringmodell

Tobias Brändström (tobr0003@student.umu.se)

Sammanfattning

Simuleringsmodeller kan användas för att bättre förstå och förutspå människors rörelse i olika gatumiljöer. Olika typer av modeller är bra på olika saker, med vissa kan man på makronivå simulera hundratusentals personer samtidigt för att få en överblick och med vissa kan man gå ner på mikronivå och följa enskilda individers rörelse. Problemet med dessa modeller är att de inte tar hänsyn till det faktum att merparten av män- niskor i en folkmassa inte är ensamma, ca 70 procent av personerna har kompisar, kollegor eller anhöriga som de vill hålla sig nära. Den här rap- porten tar hänsyn till dessa grupper av människor, det tas även hänsyn till stillastående personer runt omkring i den simulerade miljön. I denna rapport belyses fördelarna och möjligheterna som nns med att använda simulering som hjälpmedel vid planering av olika byggnadsprojekt. Syftet med projektet är att skapa en simuleringsplattform och med denna simu- lera människors rörelser i Umeå centrum. Umeå centrum har genomgått ombyggnationer under det senaste året och genom att jämföra simulering av både den ursprungliga layouten och den nybyggda så erhölls följande resultat. I den nybyggda layouten så var ödet av människor bättre, en- ligt simuleringen så tjänade personerna som rörde sig i centrum i snitt en sekund på grund av den minskade trängseln. Det nns kommersiell mjukvara för att simulera människors rörelse men i och med skapandet av denna rapport visas att motsvarande resultat kan fås med relativt enkla medel. Med denna simuleringsplattform kan man dessutom lätt rita upp de miljöer man vill simulera samt inkludera några fenomen som inte nns med i de kommersiella varianterna. I detta projekt så har fokus legat på resultatet och inte på att få simuleringen att gå så snabbt som möjligt, så det nns utrymme för an hel del förändringar för att snabba upp simule- ringsprocessen.

Innehåll

1 Beskrivning av arbetet 2

1.1 Problemformulering . . . 2

1.2 Introduktion . . . 2

1.3 Simulering . . . 3

1.3.1 Makroskopiska modeller . . . 3

1.3.2 Mikroskopiska modeller . . . 4

1.3.3 Mesoskopiska modeller . . . 4

1.4 Syfte . . . 4

2 Teori 5 2.1 Social force modell . . . 5

2.1.1 Önskad hastighet . . . 5

2.1.2 Social kraft . . . 6

2.1.3 Fysisk kraft . . . 7

2.1.4 Hinder/väggar . . . 7

2.1.5 Slumpad kraft . . . 7

2.1.6 Sociala grupper . . . 7

2.1.7 Väntande . . . 10

2.2 Fast marching metoden . . . 11

2.3 Newtons rörelselag . . . 11

2.4 Metod för tidsstegning . . . 12

3 Resultat/validering 12 3.1 Kända gruppdynamiska fenomen . . . 12

3.1.1 Flaskhals . . . 12

3.1.2 Dynamisk/spontan köbildning . . . 14

3.1.3 Temporärt vidgad korridor . . . 15

3.2 Diskussion/slutsats . . . 16

3.2.1 Funktionalitet . . . 16

3.2.2 Felkällor . . . 17

3.2.3 Framtida utveckling . . . 17

3.2.4 Slutsatser . . . 18

4 Fallstudie 18 4.1 Beskrivning . . . 18

4.2 Position av apberget . . . 19

4.3 Fältstudie . . . 19

4.4 Resultat . . . 21

4.5 Diskussion . . . 22

A Appendix - Parametervärden 25

1 Beskrivning av arbetet

1.1 Problemformulering

Att i programmeringsmiljön Matlab skapa en agentbaserad simulering av gång- trak och med hjälp av denna studera folks rörelse i Umeå centrum. Detta för att visa att detta tillvägagångssätt nns och varför simulering av fotgängare är någonting att satsa på. Detta skall göras genom att belysa fördelarna med det- ta tillvägagångssätt. Genom några konkreta exempel på vad som händer med traködet vid förändringar av gatumiljön skall detta visas.

1.2 Introduktion

Vid stadsplanering och design av platser avsedda för en stor mängd människor så nns det ett ertal svårigheter. En svårighet är att människor kan vara svåra att tillfredsställa, de vill ofta ha en så kort gångväg som möjligt samtidigt som de vill att det skall vara tillräckligt lite folk så de slipper köer och trängsel. Det gäller att hitta bra kompromiss för att få nöjda besökare, den kompromiss som ger ett acceptabelt gångavstånd och en tillräckligt låg densitet så området ej känns trångt. Nöjdhet är i grunden en känsla och känslor kan vara svåra att mäta. Aveni har gjort en studie där besökare slumpvis valdes ut för en intervju angående hur de uppfattat sin vistelse i ett valtrakerat området. Denna typ av undersökningar kan vara svåra och tidskrävande att utföra samtidigt som det inte alltid är så lätt att få personer att ställa upp, de personer som tackar ja till dessa intervjuer är oftast människor som inte har bråttom och därmed begränsas urvalet och resultaten i sig kan vara missvisande¹.

Länge har man förlitat sig på sunt förnuft och erfarenhet när det har gällt att designa platser avsedda för en större mängd människor. Enligt Helbing et al. leder en ökad storlek och komplexitet till att det blir det svårare att utan adekvata hjälpmedel skapa en bra design². Det blir då svårare att förutspå var eventuella askhalsar i systemet kommer att nnas samt hur man på bästa sätt kan reducera eekterna av dessa. Helbing et al. beskriver även att det många gånger visat sig att icke intuitiva ombyggnationer kan förbättra ödet även i vad som skulle kunna anses vara ett enkelt system. De beskriver tex hur ödet kan förbättras genom att byta ut en dörr mot två som tillsammans har samma bredd³. Att testa ett nytt designalternativ är i praktiken både kostsamt och tidskrävande, och om platsen i fråga inte är byggd ännu är det än svårare.

Under åren så har simulering av biltrak fått mer resurser. En av anled- ningarna till detta är att om infrastrukturen inte är tillräckligt bra så blir bilar stillastående, vilket direkt resulterar i en ökad kostnad både tidsmässigt, eko- nomiskt och miljömässigt. Det är dock inte lika enkelt att se merkostnaderna med till exempel en mindre genomtänkt tunnelbanestation. De extra minuterna det tar och den minskade bekvämlighet detta innebär kan få många av de som tänk åka kommunalt att välja andra alternativ. Valet att då istället ta sin egen bil bidrar till ett ökat antal bilister och därmed möjligen en större kostnad. En anledning till att göra kollektivtraken mer attraktivt, genom att erbjuda en smidigare resa, är att få en större andel av befolkningen att välja detta miljö-

1Aveni. The Not-So-Lonely Crowd: Friendship Groups in Collective Behaviour.

2Helbing et al. Self-organizing pedestrian movement, 2001.

3ibid.

vänligare alternativ. Detta gynnar både miljön, de som åker kommunalt samt alla de som får en mindre trakerad resa genom det publika vägnätet.

Rapporten är uppdelad i fyra huvuddelar. I den första delen(kapitel 1) får man sig en överblick om vad arbetet handlar om samt en kort genomgång på hur utvecklingen av den valda metoden kommit till.

I den andra delen (kapitel 2) kan man läsa om den teori som används vid skapandet av simuleringsplattformen. Vilka ekvationer som används samt hur dessa skall tolkas.

I den tredje delen (kapitel 3) nns en diskussion angående denna plattform.

Hur den testats för att se ifall den verkar fungerar som det är tänkt samt en förklaring på några av de mindre fel som hittats. Man kan även i denna del läsa om några möjligheter till framtida utveckling.

I den fjärde delen (kapitel 4) kan man läsa om den fallstudie som gjorts.

Denna del är lite frånskild från rapporten i övrigt då man är tänkt att kunna läsa denna separat utan att behöva sätta sig in i den i övrigt något tekniska rapporten. Här kan man läsa varför just denna fallstudie valts, om hur en fält- studie på Umeå torg utförts samt om de resultat som man via användandet av simuleringsplattformen fått.

1.3 Simulering

För att simulera fotgängare så nns det en mängd olika metoder. Sedan 50-talet, då idén om att simulera människoöden växte fram så har många olika metoder för att angripa detta problem gjorts, en generell uppdelning av dessa modeller brukar vara makroskopiska, mesoskopiska och mikroskopiska⁴. Härnäst kommer en kort beskrivning av dessa klassiceringar.

1.3.1 Makroskopiska modeller

Vid användande av makroskopiska metoder brukas medelvärden, man antar att lite eller ingen information går till miste då man bortser från de olika männi- skors specika egenskaper och beteenden. Ofta görs antagandet att folkmassor eller bilköer har vätskeliknande beteende och att viss teori från ödesdynamik kan appliceras, så som att tex störning i systemet sprids likt tryckvågor. På den makroskopiska nivån kan man se att osäkerheten i olika individers bete- ende jämnas ut, och era metoder med utgångspunkt från detta har arbetats fram. Makroskopiska metoder har visat sig fungera bra för simulering av biltra-

k, det är därför inte helt oväntat att teorier med grund inom ödesdynamik även använts i försök att förklara fotgängares rörelser. År 2000 presenterades Hughes en för fotgängare anpassad modikation av en makroskopiska modell för biltrak. I denna modell så påverkas ödet av människor enbart av densiteten av människor i det närliggande området och inte av riktningen av dessa⁵. Så personer som benner sig i en folkmassa som rör sig påverkas likadant även om de kringliggande människorna skulle röra sig i motsatt riktning, ett resultat som intuitivt inte känns helt korrekt.

4Johansson. Microscopic Modeling and Simulation of Pedestrian Trac. 2013.

5Hughes. The ow of large crowds of pedestrians. 2000.

1.3.2 Mikroskopiska modeller

Mikrosimulering är en dynamiska stokastisk process där hastigheten för simule- rade enheter beräknas vid korta tidssteg. Rörelsen bestäms utifrån fördenierade regler, de enskilda enheternas specika attribut samt Newtons rörelselagar. I de mikroskopiska modellerna tar man hänsyn till att individer är olika, att de har har olika gångfart, personligt utrymme, destination eller beslutsamhet att gå sin tänkta rutt.

1.3.3 Mesoskopiska modeller

Mesoskopiska modeller är en kombination av mikroskopiska och makroskopiska.

Man simulerar individuella enheter och dess interaktioner med hjälp av makro- skopiska relationer. Varje individ har olika attribut men dess beteende bestäms av medelvärden, så som i de makroskopiska modellerna. De mesoskopiska mo- dellerna är generellt inte lika stabila som de mikroskopiska men i utbyte så har de en lägre beräkningstid samt delar som kan beräknas analytiskt. Då dessa me- toder kan variera kraftigt mellan att vara nästan helt mikroskopiska till att vara nästan helt makroskopiska, så det är lite svårt att ge en generell beskrivning.

En metod publicerad av Treuille et al. kan man följa enskild individ i ett kon- tinuerligt rum, så som i mikroskopiska modeller, men dess hastighet är direkt beroende av densiteten runtomkring (likt ett kompressibelt vätskeöde) vilket är vanligt i de makroskopiska modellerna⁶. Genom att låta hastigheten vara mer beroende av densiteten i ödesriktningen kan även dynamisk köbildning återska- pas. Kollisioner undviks i denna metod genom att helt enkelt efter uppdatering av positioner separera personer som råkat gå in i varandra. Då densiteten är hög så kommer folk att gå in i varandra ofta och därför är enligt författaren denna metod ej lämplig vid simulering av folkmassor med en hög densitet. Narain et al. löste detta problem genom att introducera en begränsning som till en viss del sköter om separationen av människor. Även denna metod har en koll för att folk inte ska gå in i varandra, men detta är avsevärt mindre troligt och hastigheten på simuleringen ökar avsevärt. Med en vanlig PC kan man med denna metod simulera hundratusentals individer i realtid⁷.

1.4 Syfte

Syftet med studien är att analysera ödet av människor på Umeå torg för att visa för de i styrande positioner att detta tillvägagångssätt nns och varför simulering av fotgängare är någonting att satsa på. Detta skall göras genom att belysa fördelarna med detta tillvägagångssätt samt genom att visa några konkreta exempel.

Det har visat sig att simulering av gångtrak kan vara en relativt tillförlit- lig metod att kolla på människors rörelse. Detta kan vara ett bra redskap vid beslutsfattande angående planerade byggnadsprojekt. De kan visa olika sedan tidigare observerade och kända gruppdynamiska fenomen så som dynamisk kö- bildning, oscillation vid askhalsar med motsatt öde. Olika typer av modeller är bra på olika saker, med vissa kan man på makronivå simulera hundratusen- tals personer samtidigt för att få en överblick och med vissa kan man gå ner

6Treuille et el. Continuum crowds. 2006.

7Narin et al. Aggregated Dynamics for Dense Crowd Simulation.

på mikronivå och följa enskilda individers rörelse. Tanken är att visa vad som kan göras med dessa modeller och inte implementationen i sig. Då en viss del av resultaten är beroende på implementationen så är denna del inte bortplockad, utan bara inte i fokus.

2 Teori

2.1 Social force modell

År 1951 introducerades idén att människor i en folksamling styrs av sociala krafter, År 1995 introducerade en agentbaserad modell styrd av dessa sociala krafter⁸. Detta tankesätt är grunden för den metod som valts att användas i denna rapport. Trots att fokus lades på kollektivtrak i bakgrundskapitlet så är det inte så att denna metod avgränsas till förbättring av just dessa miljöer.

Metoden kan med fördel även användas vid planering/positionering av montrar och bås vid större evenemang, som i Umeå till exempel skulle kunna tänkas vara den återkommande Nolia-mässan. Metoden kan även användas till att i förväg estimera behovet av rulltrappor och hissar i köpcentrum, tillräcklig bredd och för ödet fördelaktiga vinklar i korridorer. Användningsområdena för denna typ av simulering är många och nya tillämpningar kommer med all sannolikhet att tillkomma inom en snar framtid. I denna modell antar man att människors viljor kan beskrivas med krafter och att dessa kraftvektorer sedan kan adderas likt verkliga fysiska krafter. Man kan själv välja vilka viljor som skall ingå i sin simulering, olika typer kan väljas utifrån vad syftet med simuleringen är. Om man till exempel planerar att simulera en utrymning vid en eventuell brand så beter sig inte folk likadant som vid en stillsam promenad⁹. De vanligaste krafterna som inkluderas i dessa simuleringar är: Den sociala kraften (viljan att inte krocka med varandra), viljan att gå åt sitt tänkta håll, en repellerande fysisk kraft (ifall människor krockar med varandra eller med hinder/väggar inom området) samt en slumpmässig kraft. Jag har dock valt att inkludera ytterligare två krafter. Dessa är viljan att gå tillsammans med folk man känner samt viljan att stå still.

2.1.1 Önskad hastighet

Modellen bygger på antagandet att den önskade hastigheten,vi^p, är olika för varje enskild individ, i. Det är den hastighet som personen i fråga vill hålla och kommer att hålla vid en promenad utan påverkan från omgivningen. Under normala förhållanden en normalfördelning med medelvärde av 1,37 m/s och en standardavvikelse på 0,3 inom gränserna [0.5,2.5] en bra estimering på männi- skors gångfart¹⁰. Då en person av olika anledningar tvingas väja eller stanna till så sänks hastigheten tillfälligt, för att sedan accelerera upp tid den önskade hastigheten igen. Denna acceleration är ej momentan utan ökar exponentiellt tills det att den önskade hastigheten är nådd. Hur snabbt en person anpassar sig till sin önskade hastighet beskrivs av modellparametern τ, τ kan variera över

8Helbing et al. Self-organizing pedestrian movement. 2001.

9Helbing et al. Simulating dynamical features of escape panic. 2000.

10Helbing et al. Selforganized pedestrian crowd dynamics: Experiments, simulations, and design solutions. 2005.

populationen men antas i detta fall vara konstant. Kraften som påverkar person i, alltså personens vilja att gå i sin önskade hastighet beskrivs av:

F^p_i = 1

τ(v_i^p− ˙xi). (1)

2.1.2 Social kraft

Personers vilja att inte kollidera samt viljan att hålla ett bekvämt avstånd ifrån varandra beskrivs av den sociala kraften. Den sociala kraften är något vi i verk- ligheten använder per automatik, det är de outtalade regler vi i vår ungdom lärt oss. I matematiska termer beskrivs denna vilja av en potential på formen

Vij= F₀^sσe^−b/σ, (2)

där F0^soch σ är modellparametrar som beskriver storleksordningen på kraften respektive kraftens beroende på avståndet. rij är person i's position relativt person j, alltså rij = xi− xj. Formen på potentialen bestäms av b, det nns ett

ertal modeller för denna potential. Det nns elliptiska, cirkulära och modeller där Ts = 0. I detta fall så är en elliptisk modell introducerad av Johansson et al. vald¹¹.

b = 1 2

q

(rij+ |rij+ ˙rijTs|)²− (˙rijTs)², (3) där Tsär den framförhållning i sekunder som en person har, den tid framåt som en person interpolerar till för att se var de kringliggande personerna bör benna sig för att i sin tur planera sin rutt där utefter. Tsbehöver ej vara men antas vara konstant över populationen.

Kraften är den negativa gradienten av potentialen

F_ij = −∇V_ij. (4)

Ekvation (4) tillsammans med (2) och (3) resulterar i följande uttryck för den sociala kraften:

F^s_ij =(rij+ |rij+ ˙rijTs|) 4b

 rij

r_ij + rij− ˙rijTs

|rij+ ˙r_ijT_s|



F₀^se^−b/σ. (5) För att återge det faktum att person påverkas olika beroende på var de intillliggande personerna benner sig så så viktas kraften med:

ω(ϕij) = λ + (1 − λ)1 − cos(ϕij)

2 (6)

där λ är en modellparameter i intervallet [0,1] som beskriver hur mycket en person påverkas från olika riktningar, λ = 1 ger ingen viktning. ϕij är vinkeln mellan person i's önskade väg och person j's relativa position.

11Johansson. Data-Driven Modeling of Pedestrian Crowds. 2009.

2.1.3 Fysisk kraft

Det nns olika modeller för att beskriva vad som händer om två personer kom- mer så pass nära varandra så de faktiskt krockar. Detta beskrivas med en ex- ponentiellt ökande kraft på formen:

F^phys_ij = F₀^physrij

rij

e^{(2R−rij)/σphys}, (7)

där rij är person i's position relativt person j, alltså rij = xi− xj12. 2.1.4 Hinder/väggar

För att säkerställa ett undvikande av hinder och väggar så inkluderas en kraft liknande den för undvikande av kollision mellan personer. kraften ges av¹³:

F^obst_in = F₀^obstrin

r_ine^{−rin/σobst}, (8) där F0^obstoch σ^obstär modellparametrar och rinär person i's position relativt den närmaste punkten på det närmaste hindret.

2.1.5 Slumpad kraft

En svag slumpad kraft inkluderas för att uppväga för verkliga människors ten- dens att allt som alltid inte uppträda perfekt, alla svajar eller vinglar lite. Det

nns många faktorer som inte tas i beaktning och dessa summeras i denna slumpvariabel. Enligt D.Helbing et al. (1995) så har denna kraft en slumpmäs- sig riktning och en storhet tagen från en normalfördelning med medelvärde 0 och en varians på 0.1.

2.1.6 Sociala grupper

Enligt Aveni så framgår det att de esta tidigare verk som publicerats antar att en folkmassa är uppbyggd av många individuella personer som går och rör sig utan koppling till varandra¹⁴. De lyfte även fram en studie där det visat sig att hela 74 procent av alla som benner sig i en folkmassa är där med någon de känner, en vän eller en familjemedlem som de vill hålla sig nära. Av de som inte var där själv så var uppdelningen fördelad på följande sätt: 54% i grupper om två personer, 18% i grupper om tre, 16% i grupper om fyra och 12% i grupper än er än så. De kom fram till att fördelningen kan beskrivas med en Poissonfördelning

Ni= e^−λ λⁱ

i!(1 − e^−λ) (9)

Där λ = 0.83 och λ = 1.11 för en folkmassa med låg respektive medelhög densitet.

I en rapport av Moussaíd et al. undersöks hur de ingående människorna i en grupp förhåller sig till varandra. De beskriver även hur en grupps genomsnittliga hastighet vid en viss densitet har ett linjärt samband med gruppstorlek¹⁵.

12Johansson. Pedestrian Trac Simulation Platform. 2013.

13Johansson. Pedestrian Trac Simulation Platform. 2013.

14Aveni. The Not-So-Lonely Crowd: Friendship Groups in Collective Behaviour.

15Moussaïd et el. The Walking Behaviour of Pedestrian Social Groups and Its Impact on Crowd Dynamics. 2010.

Figur 1: Bilden visar hur gruppstorlek har ett linjärt samband med gångfart.

Bild tagen från en rapport skriven av Moussaïd et al.

Det visade sig att personer som går i grupp har en tendens att gå i en V-formation med den öppna delen i gångriktningen. Detta beror på att vid denna formation så kan samtliga personer i gruppen ha en visuell kontakt med varandra, vilket främjar och förenklar kommunikation inom gruppen.

Figur 2: Bilden visar dessa V-formationer, bild är tagen från en rapport skriven av Moussaïd et al.

Den matematiska modellen är uppbyggd av tre krafter. Den första av dessa är den visuella kraften, den uttrycker den vilja vi har att kunna interagera med varandra. Denna kraft beskrivs på följande sätt:

F^vis_i = −β_visα₁x˙_i, (10) där βvis är en modellparameter beskrivande viljan att hålla en interaktion med varandra, α1 huvudets vridning för att inkludera gruppens masscentrum inom sitt synfält. βvis = 0 innebär att personerna inom gruppen inte har någon intention att interagera med varandra och den tidigare beskrivna V-formationen upphör och ersätts med en omvänd mer aerodynamisk V-formation.

En attraktionskraft för att hålla samman gruppen, denna kraft beskrivs en- ligt:

F^att_i = qAβattUi, (11) där βatt är en modellparameter beskrivande styrkan på den attraktiva kraften, q_A = 1 om person i benner sig mer är (N − 1)/2 meter från masscentrum, annars är qA = 0. Ui är en enhetsvektor pekande från person i i ritning mot masscentrum.

Personer i en grupp vill hålla sig på ett avstånd ca 0.8 meter ifrån varandra, detta fås genom en repulsiv kraft enligt:

F^rep_i =X

k

qRβrepWik, (12)

där βrep är en modellparameter beskrivande styrkan på den repellerande kraften, qR= 1om person i benner sig mindre är 0.8 meter från sin gruppmel- dem k, annars är qR = 0. Wik är en enhetsvektor riktad från person i mot gruppmedlem k.

Den totala gruppdynamiska kraften som påverkar person i är därmed:

F^grupp_i = F^vis_i + F^att_i + F^rep_i . (13) 2.1.7 Väntande

Johansson belyser vikten av att inkludera väntande personer i sin simulering¹⁶. I de esta scenarion nns det folk som av någon anledning väljer att stå stilla.

Detta kan vara för att prata med en vän eller bekant som de just mött, kolla på ett skyltfönster eller kanske väntar de på bussen. Dessa stillastående personer stör ödet i området och är en aspekt som allt som oftast försummas i de rapporter som nns. Johansson lyfter fram tre metoder för att i en social kraft modell inkludera dessa väntande personer. Dessa är: önskad hastighet, önskad position och adaptiv önskad position. Han visar även via ett ertal tester att

ödet påverkas olika för samtliga av dessa metoder vilket visar på vikten i att välja en bra modell. Härmed följer en beskrivning av de två metoderna som implementerats i detta projekt.

1. Önskad hastighet:

Då en person nått sin tänkta destination så antas personens önskade has- tighet att vara 0. Denna person kommer fortfarande att anpassa sin po- sition enligt de sociala krafterna men då ingen annan nns i närheten så kommer han att stå stilla. Detta kan dock resultera i att den väntande personens position ständigt föryttas och att personen möjligen till slut inte längre benner sig inom sin tänkta väntplats. Detta kan i vissa fall betraktas som en fördel men ofta så efterliknar detta inte personers verk- liga beteende. Om man träar en bekant och står och pratar ett tag för att sedan gå vidare åt åtskilda håll så kanske man inte bryr sig om var man står, man är nöjd med att följa med strömmen och och att försöka vara så lite i vägen som möjligt. Om man däremot står och väntar på sin buss eller kollar på en gatuartist så vill man absolut inte driva iväg, man har sin specika plats där man vill vara.

2. Önskad position:

I denna metod antas att varje väntade person inte bara vill stå still utan även vill stå still på en och samma plats. Då man närmar sig sin tänkta plats saktar man ofta in för att till slut nå sin tänkta position. Hastighetens minskning beskrivs av:

v = v^p(x^{P W} − x)/d, (14)

16Johansson. Microscopic Modeling and Simulation of Pedestrian Trac. 2013.

där x^{P W} den tänkta positionen och d avståndet då man börjar sakta in.

Om man för in ekvation (14) i Newtons rörelselag får man dierentialekva- tionen för en dämpad pendel.

¨ x + 1

τx +˙ v^p

τ dx = 0 (15)

med dämpningskoecient ζ = pd/4v^pτ. Då personer har en tendens att vilja nå sin tänkta position så snabbt som möjligt väljs ett d så litet som möjligt utan att systemet blir underdämpat och på så sätt slipper oönskade oscillerande eekter. I matematiska termer fås detta genom att

nna det d som ger en dämpningskoecient lika med ett, vilket vill säga pd/4v^pτ = 1 ⇒ d = 4v^pτ. Med denna modell så försöker person hålla sig på sin tänkta väntplats även om den på detta ställa rör sig mycket människor. F.Johansson introducerade därmed även en tredje metod, en metod där väntplatsen redigeras något ifall den valda platsen visar sig vara vältrakerad. Denna är dock inte implementerad i detta projekt.

2.2 Fast marching metoden

För att beräkna avståndet till en destination i det område som det är tillåtet att gå,i Ω, så används en metod vid namn fast marching method¹⁷. Denna metod löser numeriskt den icke linjära dierentialekvationen the Eikonal equation

|5u(x))| = F (x), x ∈ Ω (16)

vilken beskriver hur en vågfront breder ut sig med en hastighet av 1/F (x) .Ω ⊂ Rⁿ, F (x) är en känd funktion >0 i Ω, 5 är gradienten och |·| den euklidiska normen. Vid specialfallet F (x) = 1 i det tillåtna området och F (x) = ∞ i hinder blir resultatet u(x) det kortaste avståndet från x till den närmaste randen u|δΩ= 0. Genom att sätta randen till noll i destinationen fås en våg som startar i denna punkt och propagerar utåt i hela den giltiga domänen Ω.I detta fall beskriver u(x) det kortaste avståndet från alla punkter x ∈ Ω till destinationen vilket är den distanskarta som behövs i detta arbete. Den numeriska lösningsmetoden fast marching är väldigt lik Dijkstras som nner kortaste vägen i en graf.

2.3 Newtons rörelselag

Person i's önskade acceleration, ˜ai ges av summan av samtliga krafter. Då en person ej kan överstiga sin maximala gånghastighet så är dock ˜aiinte alltid den acceleration som faktiskt appliceras. En persons maximala hastighet antas vara sin önskade hastigheten multiplicerad med en konstant. Personers massa antas vara 1 så Newtons andra lag för person i blir:

˜ ai=X

j

(ω(ϕij)F^s_ij+ F^phys_ij ) + F^obst_in + F^random_i + F^p_i + F^grupp_i . (17) Vi har

d˜vi

dt = ˜ai, (18)

17Sethian. A Fast Marching Level Set Method for Monotonically Advancing Fronts. 1996.

där ˜vi är den önskade hastigheten och dx_i

dt = vi. (19)

För att säkerställa att person i's hastighet ej överstiger sin maximala, vi^max, så används:

v_i= ˜v_i

˜ vi

min(˜v_i, v^max_i ). (20)

2.4 Metod för tidsstegning

Då alla krafter beräknats vid tiden t, uppdateras personernas position och has- tighet enligt en forward Euler algoritm. Detta uppdateringsschema ser ut på följande sätt:

xt+1= xt+ vt∆t (21)

och

˜

vt+1= ˜vt+ ˜at∆t. (22)

För att garantera att hastigheten ej överstiger det maximala används ekvation(20).

3 Resultat/validering

Det nns många olika sätt att analysera och mäta resultaten från denna typ av simuleringar. De metoder som valts i denna rapport är att kolla den genom- snittliga tidsfördröjningen gentemot om alla personer ck gå den kortaste vägen i sin egna önskade hastighet. Om det inte skulle vara några andra personer att undvika så skulle fördröjningen vara noll. Den andra metoden som valts är att efter simuleringen stabiliserat sig göra en densitetsplott av var alla personer be- funnits sig i alla tidssteg. Detta ger en överskådlig bild över hur densiteten är fördelad i systemet.

3.1 Kända gruppdynamiska fenomen

För att se så att simuleringen fungerar korrekt så har den testats för några kända gruppdynamiska fenomen. De fenomen som jag valt att kolla på är ödet vid en askhals, dynamisk köbildning och temporär utvidgad korridor. I samtliga av testen i sektion (3.1.1), (3.1.2) och (3.1.3 ) skapas personer slumpmässigt i startzonen/startzonerna med en frekvens av 0.4 personer/sekund och antalet personer i simuleringen begränsas i dessa fall till 100 st. Då en person lyckats ta sig till sin destination så kan ytterligare en ny skapas.

3.1.1 Flaskhals

Det uppkommer oscillerande eekter då personer närmar sig en askhals från olika håll. Då en person lyckats komma igenom så hakar ofta andra vid, detta sker tills densiteten är så hög på den andra sidan och någon därifrån lyckas ta sig igenom, sedan fortsätter det på samma sätt¹⁸. För att testa om modellen

18Helbing et al. Self-organizing pedestrian movement. 2001.

kan återskapa detta fenomen så användes ett scenario med en vägg med en 2 meter bred öppning. En bild över scenariot kan ses i gur(3) nedan.

Figur 3: Ritning över scenariot som används för att kolla på ifall oscillerande eekter vid en askhalsen uppkommer.

Då detta fenomen är tidsberoende och någon implementation av att mäta detta inte är gjord så visas detta genom följande serie av bilder.

Figur 4: Några av de gröna personerna (rör sig från höger till vänster i bilden) har precis tagit sig igenom.

Figur 5: Några av de röda personerna (rör sig från vänster till höger i bilden) har precis tagit sig igenom.

3.1.2 Dynamisk/spontan köbildning

Personer som har ett gemensamt mål bilder ofta små grupper/led för att på så sätt lättare ta sig fram. Detta på grund av att om samtliga har samma gång- riktning så blir antalet undanmanövrar och krockar färre, vilket gynnar ödet¹⁹. För att testa om modellen kan återskapa detta fenomen så användes ett scenario med en 8 meter bred korridor som är 64 meter lång. Folk skapas slumpmässigt i någon av de båda startzonerna som är belägna på nederkanten av de båda myn- ningarna till korridoren. Personerna går därefter mot sina målområden som är

19Helbing et al. Self-organizing pedestrian movement. 2001.

belägna på ovansidan av de båda mynningarna, de båda ödena måste därmed korsa varandra. Personer skapas med en frekvens av 0.4 personer/sekund och antalet personer i simuleringen begränsas i detta fall till 100 st, då en person lyckats ta sig till sin destination så kan ytterligare en ny skapas. En bild över scenariot kan ses i gur(3) nedan.

Figur 6: Ritning över scenariot som används för att testa ifall dynamisk köbild- ning uppkommer.

I gur(7) nedan kan man tydligt se att bildning av små grupper/led upp- kommit. Detta tyder på att modellen i detta avseende fungerar korrekt.

Figur 7: Bild från simulering av av en korridor med ett korsande öde.

3.1.3 Temporärt vidgad korridor

En korridor får ett försämrat öde om den vid en viss sträcka är något bredare än resten²⁰. Detta undersöktes genom att studera skillnaden i ödet mellan de två scenariorna i gur(8) och gur(9).

20Kirkland et al. A Simulation of Attempts to Inuence Crowd Dynamics. (2003).

Figur 8: Visar geometrin för det raka korridoren.

Figur 9: Visar geometrin för det utvidgade korridoren.

Vid körningar för de båda scenariorna fås att den vidgade korridoren har en medelfördröjning som är 23 procent högre än för den raka korridoren. Så även om den totala arean som är tillgänglig att promenera på är större så blir framkomligheten lägre. Personer sprider ut sig lite då de får mer plats och då korridoren blir smalare igen så blir det trakstockning, därav den ökade fördröjningen.

3.2 Diskussion/slutsats

3.2.1 Funktionalitet

Det visar sig att programmet fungerar bra för de eekter som valts att testas, simuleringarna visar vad man sedan tidigare har vetat vilket tyder på att model- len fungerar korrekt. Modellen uppvisar dock en del underligheter. Människor i simuleringen har en tendens att ibland kunna fastna då de skall gå runt ett hörn. Detta händer väldigt sällan och då en annan person kommer så får de en liten skjuts och lyckas ta sig förbi hörnet, så detta påverkar inte resultatet nämnvärt och är inget som jag har lagt tid på att åtgärda.

Då GUIt är gjort för att lättare kunna skapa sina miljöer och detta är ett program som bara används av mig så är ingen större möda lagd på användar- vänligheten. GUIt fungerar som det skall endast om användaren vet vad och i vilken ordning saker skall göras.

Då man skapar väldigt trånga korridorer (ca en meter breda) som personer skall försöka ta sig fram i så kan det uppkomma eekter som inte är naturliga.

Då en person går där påverkas den av båda väggarna samtidigt och personen

kan i just denna situation börja studsa mellan väggarna. Detta är självfallet inte korrekt men korridorer av denna bredd är sällsynta och troligen inget scenario som är av intresse att simulera.

Även om dessa underligheter nns så verkar resultaten rimliga och simule- ringen antas därmed bra nog för att kunna kolla på andra, sedan tidigare ej studerade miljöer.

3.2.2 Felkällor

I denna samt i de esta andra simuleringsplattformar som jag studerat så antas många egenskaper vara konstanda över populationen, detta är självfallet inte sant och för att få en bättre representation av verkligheten borde dessa anpas- sas och varieras enligt verkligheten. Några av dessa är till exempel personers omfång, alla personer är inte exakt lika stora. Ett annat exempel är att perso- ner har olika benägenhet att undvika varandra, vissa är burdusa och går där de vill även om det innebär att de råkar stöta ihop med andra och andra försöker undvika kontakt så långt det går. Finns många liknande exempel och samtliga skulle kunna påverka resultaten av simuleringen.

3.2.3 Framtida utveckling

Det nns många sätt som denna simulering skulle kunna förbättras. En av de största sakerna är hur människor påverkas av väggar, i denna rapport så får de en kraft som stöter bort dem från väggen men en bättre metod skulle kanske vara att istället dämpa kraftkomposanten i riktning mot väggen. Detta skulle enligt mig vara en bättre modell och vissa av de problem som beskrivits skulle kunna avlägsnas. Hur personen i trånga korridorer skulle inte längre ha en benägenhet att studsa mellan väggarna och personer skulle inte kunna fastna vid hörn på samma sätt som de kan göra nu. I nuläget så planerar människor att gå den kortaste vägen mot sin tänkta destination och kan då välja att gå längre sträckor ganska nära inpå en vägg, detta skulle kunna xas genom att ändra potential fältet nära intill väggen och på så sätt få mer rundade och naturliga vägval. Detta skulle även medföra att personer inte skulle påverkas av krafter från väggar lika ofta och simuleringen skulle även gå lite snabbare. Ett problem som nns är att då antalet personen som tillåts i en simulering ökas så ökar även simuleringstiden markant. Även om det bara är säg hundra personer som faktiskt simuleras så tar simuleringen längre tid ifall det tillåts er. Detta på grund av att matriserna blir större och mer information måste skickas mellan funktionerna i programmet. Detta skulle kunna göras smidiga genom att anpassa matrisen allt eftersom det fylls på med människor och se över vad som faktiskt skickas och i större utsträckning se till att ingen onödig information behöver lagras. Under utvecklingen av detta program har jag provat mig på ett ertal metoder för att försöka få simuleringen att gå snabbare. Har till exempel använt mig av Matlabs inbyggda verktyg för kunna göra beräkningar parallellt på era kärnor i processorn. Men då Matlabs redan gör uppdelningar mellan kärnorna automatiskt på ett smart sätt så blev min egna metod faktiskt långsammare, så detta var inget som jag fortsatte med. En metod att kunna få upp hastigheten ytterligare skulle kunna vara att använda sig av grakkortets processorer för att göra vissa beräkningar. Grakkort har nämligen väldigt många kärnor och i nuläget inte används alls. Detta verkade fungera bra på min hemdator men då

Matlab krävde ett nyare/bättre grakkort än vad som fanns att tillgå på datorn som simuleringarna körs så var detta inget alternativ. I nuläget så planerar personer sin rutt utifrån att de vill gå så kort sträcka som möjligt. Man skulle kunna ändra på detta tillvägagångssätt och möjligen tillgodose personers vilja att gå så långt som möjligt inomhus eller kanske vill de undvika områden där det redan är mycket människor.

Det nns olika sätt att bestämma vilken hastighet en person vill hålla. För- utom metoden jag använder så nns det ett sätt där man vill vara framme en viss tid och anpassar hastigheten utefter det. För att få ännu mer realistiskt resultat kanske vissa personer skulle bestämma sin fart på detta sätt.

3.2.4 Slutsatser

Programmet uppvisar en del onaturliga fenomen men detta verkar inte vara något som påverkar resultaten märkbart. Även om simuleringen skulle kunna göras snabbare så är detta inget område som det lagts någon större ansträng- ning. I de scenarion som jag testat och i del fallstudie som kommer så är antalet människor sällan över 150 stycken och 150 personer kan simuleras i realtid så eektivisering kändes i nuläget inte nödvändigt.

4 Fallstudie

4.1 Beskrivning

I Umeå har det under det gångna året itigt diskuterats och debatterats an- gående apbegets vara eller icke vara. Vad är då apberget kan man fråga sig.

Apberget var en upphöjd scen med trappor och talartribun lokaliserad mitt på rådhustorget i Umeå centrum. På grund av ombyggnationer i området vid slu- tet av 2013 så revs apberget, vilket lämnade många Umeåbor upprörda. Enligt Hans Åkerlind, stadsarkitekten bakom apberget, så var en av anledningarna till att apberget byggdes att erbjuda Umeåborna en plats mitt bland all kommers som var inbjudande för att sitta ner, ta en paus och titta på människor. I nulä- get så har ett ny scen med talartribun byggts vid en annan position på torget.

Där apberget tidigare låg är det numera mer öppet vilket kan gynna/förenkla för människor att ta mig fram. För att testa hur mycket dessa scener egentligen är/var i vägen så har en simulering av rådhustorget gjorts. Denna simulering innefattar två olika scenarion. En med den gamla positionen av apberget och en med den nya scenen.

4.2 Position av apberget

Figur 10: Bild över Rådhustorget inklusive det gamla apberget.

Figur 11: Bild över Rådhustorget inklusive den nya scenen.

4.3 Fältstudie

För att kunna göra simuleringar under rätt förutsättningar så gjordes en fält- studie. Denna studie var enbart till för att få en uppfattning om hur mycket folk som rör sig på Umeå torg samt för att se vilka rutter som verkar vara vanligast.

För att kolla ödet av människor så identierades 8 st ingångar/utgångar i sy- stemet. Dessa kan ses i gur (12). Under en period av 3 min räknades antalet personer som kom och gick vid samtliga av dessa platser. Då det enbart var en

person som utförde studien så var det inte möjligt att hålla koll på er än 2 platser åt gången så räkningen skedde i tät följd efter varandra. Detta tillväga- gångssätt upprepades därefter en ytterligare gång. Resultatet av studien visar att under sammanlagt sex minuter så kom det 298 personer och 299 personer lämnade området. Vid starten av varje omgång uppskattades även det totala an- talet människor som befann sig inom det tänkta simuleringsområdet. Vid första räkningsomgången var det 113 personer och vid den andra 98 st. Under båda omgångarna så fanns även ett ertal platser där folk stod still. Detta var bland annat vid tre olika glassbarer där det i snitt stod ca 20 personer i kö. Vid några olika platser var det även vanligt att folk stod still eller satt ner. Dessa platser var bland annat 5 st bänkar, några uppställda konstföremål och en liten scen.

Denna undersökning gjordes på en solig onsdag på våren mellan tiderna 14:30 och 16:00.

Figur 12: Bild som visar de platser som känns relevanta. 1-8 är in och utgångar, 9-11 glassbarer och 12-14 sittplatser.

Tabell 1: Sannolikheterna att en person vill gå från ett speciell startplats (rad) till en speciell slutplats (kolumn)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 13,5 1 1,5 2

2 1 4,5 1 0,5 1

3 7,5 1 0,5 1 1

4 16 6 6 0,5 0,5 11

5 1 1 1 0,5 1,5 1

6 0,5 1 0,5

7 1,5 0,5 2

8 2,5 1 4,5 0,5 0,5

P_ij är sannolikheten att slumpa en gångväg från i till j och X är en poisson- fördelad slumpvariabel enligt ekvation(9). Y = P ∗Xdär Y är den fördelning-

en av människor som via undersökningen togs fram. Då både Pijoch X är obero- ende av varandra så kan en väntevärdesriktig estimering av Pijfås genom att di- videra sannolikheterna uträknade från undersökningen divideras med väntevär- det av poissonfördelningen av gruppstorlek, E(Y ) = E(Pij∗ X) = E(Pij)E(X). Vilket ger E(Pij) = E(Y )/E(X).

4.4 Resultat

Resultatet från simuleringen med det gamla apberget kan ses i gur(refg:centrumGamlaapbergetSIM) nedan, 60 minuter simulerades och resultatet blev en medelförsening på 2,4 se-

kunder.

Figur 13: Bilden visar den simulerade densiteten i Umeå centrum under rus- ningstid med det gamla apberget.

Resultatet från simuleringen med den nya scenen kan ses i gur(14) nedan.

I denna simulering blev medelförseningen 1,5 sekunder.

Figur 14: Bilden visar den simulerade densiteten i Umeå centrum under rus- ningstid med den nya scenen.

Dessa simuleringar visar att det inte är någon större skillnad mellan de båda placeringarna på scenen. Då 60 minuter simulerats och cirka 3000 personer har gått runt i centrum och till slut avlägsnat sig från området kan man se att skill- naden i medelförsening endast var cirka 0,9 sekunder. Vid den nya placeringen var gångtiden i snitt 39.2 sekunder och för den gamla 39.9 sekunder. Man kan alltså dra slutsatsen att den nya positioneringen gör så att gångavstånden och således även promenadtiden kortas något men dock ligger det inom en sekund vilket inte är särskilt mycket. Antalet människor som rör sig på centrum är re- lativt lågt och densiteten är därmed inte allt för hög och förseningar på grund av trängsel är försumbara.

4.5 Diskussion

Även om resultaten visar att gamla positionen var mer i vägen och att personer blev något mer försenade så var det med så kort tid att person inte skulle tänkas bry sig om det. Det är så mycket mer som spelar in på hur personer trivs. Som jag tidigare nämnde så var tanken med det ursprungliga apberget inte att vara osynligt och inte tvinga folk att gå runt. Tanken var att man skulle kunna sitta och titta på människor. Så att dra några konkreta slutsatser utifrån en simulering som detta är kanske att göra det lite för lätt för sig. Denna typ av simulering fungerar bra i så att säga tråkiga miljöer, miljöer där huvudmålet är att ta sig fram. Då personer är tänkta att bara strosa omkring så spelar promenadtid och medelförseningar kanske inte så stor roll.

Då jag inte har haft exakta mått på allt så estimerar jag vissa saker. Jag vet till exempel inte exakt var det gamla apberget var beläget eller exakt hur stora de olika restaurangvagnarna är. Men då detta är tänkt mer som en demonstration för modellen så anser jag att detta inte har någon större betydelse. För att se att modellen fungerar och för att skapa en övergripande bild så gör detta inte så mycket.

För att simuleringen skall kunna generera vettiga resultat är det viktigt att man har ett starkt underlag, undersökningen som gjorts är kanske inte den mest ingående och skulle kunna göras bättre. En bättre undersökning skulle möjligen kunna ge tydligare resultat. De allra esta stillastående personerna är lokaliserade där de inte direkt är i vägen för de övriga och då jag är intresserad av är hur människorna rör sig och inte i hur mycket folk står i kö till de olika vagnarna så har jag i denna simulering satt väntetiden vid de olika platserna till enbart en sekund. Detta för att få en densitetsplott som visar hur människor faktiskt rör sig. Då medelfördröjningarna simulerades så var dock väntetiden satt till 3 minuter.

Referenser

Aveni, Adrian F. The Not-So-Lonely Crowd: Friendship Groups in Collective Behaviour.

Helbing, Dirk. och Molnar, Péter. Social force model for pedestrian dynamics Physical Review E; Vol. 51, No.5, (1995)

Helbing, Dirk. och Tilch, Benno. Generalized force model of trac dynamics;

Physical Review E; Vol. 58, No. 1, (1998)

Helbing, Dirk., Farkas, I. och Vicsek, T. Simulating dynamical features of escape panic Nature; Vol. 407, (2000)

Helbing, Dirk., Molnár, Péter., Farkas, Illés J. och Bolay, Kai. Self-organizing pedestrian movement; Environment and Planning B: Planning and Design; Vol.

28, (2001): 361 - 383 .

Helbing, D., Buzna, L., Johansson, A. och Werner, T. Selforganized pedestrian crowd dynamics: Experiments, simulations, and design solutions. Transporta- tion Science Vol 39, No. 1, (2005)

Hughes, R. The ow of large crowds of pedestrians. Mathematics and Computers in Simulation vol. 4, No. 54. (2000)

Johansson, A. Data-Driven Modeling of Pedestrian Crowds Doktors avh., Tech- cische Universität Dresden, 2009

Johansson, Fredrik . Microscopic Modeling and Simulation of Pedestrian Trac.

Lic.avh., Linköping Universitet, 2013.

Johansson, Fredrik. Pedestrian Trac Simulation Platform. (2013)

Kirkland, Joel A. och Maciejewski, Anthony A. A Simulation of Attempts to Inuence Crowd Dynamics.(2003)

Moussaïd,Mehdi., Perozo, Niriaska., Garnier, Simon., Helbing, Dirk. och The- raulaz, Guy. The Walking Behaviour of Pedestrian Social Groups and Its Impact on Crowd Dynamics(2010).

Narin, Rahul., Golas,Abhinav., Curtis, Sean. och Lin, Ming C. Aggregated Dy- namics for Dense Crowd Simulation

Sethian, J.A.A Fast Marching Level Set Method for Monotonically Advancing Fronts Proc. Nat. Acad. Sci., vol. 93, nr.4, (1996) : 1591-1595

Treuille, A., Cooper, S. and Popovi¢, Z. Continuum crowds. ACM Transactions on Graphics; Vol. 25, No 3, (2006)

A Appendix - Parametervärden

En tabell med alla parametervärden.

Namn Symbol Fördelning Värde Referens

Önskad hastighet v_i^p N(1.37,0.3) (0.5, 2.25)ms⁻¹ a

tidsskala för önskad hastighet τ 0,6s a

Styrkan på den sociala kraften F₀^s 7 ms⁻² b

Skalan på den sociala kraften σ 0.59 m a

Framförhållning T_s 1,27 s a

Viktning av kraft λ 0 a

Styrkan på den fysiska kraften F₀^phys 3 ms⁻² a

Radien på en människa R 0,15 m a

Styrkan på kraften från väggar/hinder F₀^obst 10 ms⁻² a

Skalan på kraften från väggar/hinder σ^obst 0.2 m a

Storlek på den slumpad kraft F_i^random N(0,0.1) (-1,1) ms⁻² b

Viljan att hålla en interaktion med varandra βvis 4 c

Styrkan på den attraktiva kraften βatt 3 c

Styrkan på den repellerande kraften βrep 1 c

Referens a innebär att värdet är taget från F.Johansson (2013b), b från D.

Helbing och P. Molnar (1995) och c från M.Moussaïd et al. (2010).