Algebraicko-geometrická varianta eukleidovské konstrukce pravidelných
mnohoúhelníků
Bakalářská práce
Studijní program: B1101 Matematika
Studijní obory: Matematika se zaměřením na vzdělávání
Geografie se zaměřením na vzdělávání (dvouoborové)
Autor práce: Michaela Kutschkerová
Vedoucí práce: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Liberec 2020
Zadání bakalářské práce
Algebraicko-geometrická varianta
eukleidovské konstrukce pravidelných mnohoúhelníků
Jméno a příjmení: Michaela Kutschkerová Osobní číslo: P17000280
Studijní program: B1101 Matematika
Studijní obory: Matematika se zaměřením na vzdělávání
Geografie se zaměřením na vzdělávání (dvouoborové) Zadávající katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Akademický rok: 2018/2019
Zásady pro vypracování:
Abstrakt: Je známo relativně málo pravidelných n-úhelníků (kde n je liché číslo), které lze narýsovat pouze s využitím pravítka a kružítka, tj. jsou takzvaně euklidovsky konstruovatelné. Které to jsou je známo již od dob J. C. F. Gausse, který je charakterizoval. Nejjednodušším z nich je rovnostranný trojúhelník, který umíme zkonstruovat už od základní školy. Konstrukce pravidelného pětiúhelníku je také běžně známá, v případě sedmnáctiúhelníku už to ale tak jednoduché není. U složitějších n-úhelníků (pro n rovno 257, nebo 65537) je konstrukce prakticky téměř neproveditelná.
Cílem práce je zrekapitulovat základní teoretické poznatky o eukleidovsky konstruovatelných pravidelných mnohoúhelnících. Dále pak jako algebraickou strukturu (resp. struktury) popsat soubor paralel mezi vybranými aritmetickými operacemi mezi konstruovatelnými a přirozenými čísly a jejich geometrickou reprezentací. Výsledkem by tedy měl být soubor jednoduchých parametrizovaných geometrických konstrukcí, které mi umožní konstruovat složitější algebraické výrazy. Výstup této bakalářské práce pak bude podkladem pro systém (využívající symbolické výpočty v Matlabu a geometrický software GeoGebra) pro automatické generování eukleidovských konstrukcí složitějších mnohoúhelníků.
Požadavky: Základní znalosti z obecné algebry a geometrie, základní znalost anglického jazyka.
Rozsah grafických prací:
Rozsah pracovní zprávy:
Forma zpracování práce: tištěná/elektronická
Jazyk práce: Čeština
Seznam odborné literatury:
Felix Klein: Famous problems of elementary geometry, překlad Wooster Woodruff Beman, David Eugene Smith, Dover Publications, Revised edition, 2013.
David Stanovký: Základy algebry, Matfyzpress, Praha, 2010.
Ján Štalmašek: Geometrické konštrukcie, SVTL, Bratislava, 1959.
Euklides: Základy, editor Petr Vopěnka, pět svazků knih I-IV, V-VI, VII-IX, X, XI-XII, OPS, Plzeň, 2008–2013.
Vedoucí práce: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
Datum zadání práce: 21. února 2019 Předpokládaný termín odevzdání: 30. dubna 2020
prof. RNDr. Jan Picek, CSc.
děkan
L.S.
doc. RNDr. Jaroslav Mlýnek, CSc.
vedoucí katedry
Prohlášení
Prohlašuji, že svou bakalářskou práci jsem vypracovala samostatně jako původní dílo s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s ve- doucím mé bakalářské práce a konzultantem.
Jsem si vědoma toho, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.
Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci nezasahuje do mých au- torských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu Technické univerzity v Liberci.
Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědoma povinnosti informovat o této skutečnosti Technickou univerzi- tu v Liberci; v tomto případě má Technická univerzita v Liberci právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.
Současně čestně prohlašuji, že text elektronické podoby práce vložený do IS/STAG se shoduje s textem tištěné podoby práce.
Beru na vědomí, že má bakalářská práce bude zveřejněna Technickou uni- verzitou v Liberci v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů.
Jsem si vědoma následků, které podle zákona o vysokých školách mohou vyplývat z porušení tohoto prohlášení.
1. května 2020 Michaela Kutschkerová
Anotace
Je zn´amo relativnˇe m´alo pravideln´ych n-´uheln´ık˚u (mnoho´uheln´ık˚u o n vrcholech), kde n je lich´e prvoˇc´ıslo, kter´e lze nar´ysovat pouze s vyuˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka, tj. jsou takzvanˇe eukleidovsky konstruovateln´e. Kter´e to jsou, je zn´amo, jiˇz od dob J. C. F. Gauße, kter´y je charakterizoval. Nejjednoduˇsˇs´ım z nich je rovnostrann´y troj´uheln´ık, kter´y um´ıme zkonstruovat uˇz od z´akladn´ı ˇskoly. Konstrukce pravi- deln´eho pˇeti´uheln´ıku je tak´e bˇeˇznˇe zn´am´a, v pˇr´ıpadˇe sedmn´acti´uheln´ıku uˇz to ale tak jednoduch´e nen´ı. U zbyl´ych dvou n-´uheln´ık˚u (pro n rovno 257, nebo 65537) je konstrukce prakticky t´emˇeˇr neprovediteln´a.
C´ılem pr´ace je zrekapitulovat z´akladn´ı teoretick´e poznatky o eukleidovsky kon- struovateln´ych pravideln´ych mnoho´uheln´ıc´ıch. D´ale pak jazykem algebraick´ych struk- tur pop´ıˇseme soubor paralel mezi vybran´ymi aritmetick´ymi operacemi (mezi tzv.
konstruovateln´ymi a pˇrirozen´ymi ˇc´ısly) a jejich geometrickou reprezentac´ı. V´ysledkem by tedy mˇel b´yt soubor jednoduch´ych parametrizovan´ych geometrick´ych konstrukc´ı (geometrick´ych mikroalgoritm˚u), kter´e mi umoˇzn´ı konstruovat sloˇzitˇejˇs´ı algebraick´e v´yrazy. V´ystup t´eto bakal´aˇrsk´e pr´ace pak bude podkladem pro syst´em (vyuˇz´ıvaj´ıc´ı symbolick´e v´ypoˇcty v Matlabu a geometrick´y software GeoGebra) pro automatick´e generov´an´ı eukleidovsk´ych konstrukc´ı sloˇzitˇejˇs´ıch pravideln´ych mnoho´uheln´ık˚u.
Kl´ıˇcov´a slova:
eukleidovsk´a konstrukce; konstrukce kruˇz´ıtkem a prav´ıtkem; Wanzelova metoda;
konstuovateln´a ˇc´ısla; pravideln´e mnoho´uheln´ıky; konstrukce pˇeti´uheln´ıku; konstrukce sedmn´acti´uhen´ıku; Fermatova prvoˇc´ısla
Abstract
There is only a few regular n-gons (polygons with n vertices), where n is an odd prime, that can be constructed only by using ruler and compass, i.e. by using so- called Euclidean construction. It is well known which polygons can be constructed since J. C. F. Gauß, who charaterzied them. The simplest one is an equilateral triangle, that we are able to draw since elementary school. The construction of a regular pengagon is also very simple and relatively known. On the other hand, construction of regular heptadecagon starts to be really complicated. The other two n-gons (for n equal to 257, or 65537), it is practically impossible to do the construction.
The goal of this thesis is to summarize the basic theoretical knowlege about regular polygons that can be drawn by using the ruler-and-compass construction.
Further, by epmloying the language of algebraic sturctures, we describe a represen- tation of selected parts of arithmetics (of so-called constructible and natural num- bers) in geometry. We obtain in this way a set of simple paramatrized geometric constuctions (geometric microalgorithms), that can be used for geometric construs- tions of more complicated algebraic expressions. The outcome of this thesis is a base for a system (employing the symbolic calculations in Matlab and GeoGebra geomet- ric software) for automated generating of ruler-and-compass constructions of more complicated regular polygons.
Key words:
Euclidean constructions; ruler-and-compass construction; Wanzel method; construc- tible numbers; regular polygons; construction of pentagon; constructionof heptade- cagon; Fermat primes
Podˇekov´an´ı
R´ada bych podˇekovala, sv´emu vedouc´ımu bakal´aˇrsk´e pr´ace, panu Martinu Pleˇsinge- rovi, za cenn´e rady, vˇecn´e pˇripom´ınky a vstˇr´ıcnost pˇri konzultac´ıch a vypracov´an´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace.
Obsah
Anotace 4
Abstract 5
Seznam obr´azk˚u 11
Pouˇzit´e znaˇcen´ı a zkratky 12
1 Uvod´ 13
2 Eukleidovsk´a konstrukce 15
2.1 Co pouˇz´ıv´ame k eukleidovsk´ym konstrukc´ım? . . . 15
2.2 Jak prav´ıtko a kruˇz´ıtko ke konstrukc´ım pouˇz´ıv´ame a co vznik´a? . . . 15
2.3 Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzina bod˚u) . . . 16
2.3.1 Trivi´aln´ı pˇr´ıpady: Pr´azdn´a a jednoprvkov´a mnoˇzina . . . 16
2.3.2 Dvouprvkov´a mnoˇzina . . . 16
2.3.3 n-prvkov´a mnoˇzina . . . 17
2.4 Eukleidovsky konstruovateln´e body a eukleidovsk´a konstrukce . . . . 18
3 Wanzelova metoda 20 3.1 Algebraizace eukleidovsk´e konstrukce . . . 20
3.1.1 Obecn´e mechanismy vzniku nov´ych bod˚u . . . 21
3.1.2 Pˇr´ıklad pouˇzit´ı — p˚ulen´ı ´uhlu . . . 26
3.1.3 Pˇr´ıklad eukleidovsky nekonstruovateln´e ´ulohy — sedmi´uheln´ık 27 3.2 Eukleidovsky neˇreˇsiteln´e ´ulohy . . . 28
3.2.1 N´aznak d˚ukazu neˇreˇsitelnosti zdvojen´ı krychle . . . 28
3.2.2 N´aznak d˚ukazu neˇreˇsitelnosti rektifikace kruˇznice . . . 28
3.2.3 N´aznak d˚ukazu neˇreˇsitelnosti kvadratury kruhu . . . 29
3.2.4 N´aznak d˚ukazu neˇreˇsitelnosti trisekce ´uhlu . . . 29
3.3 Pomocn´e konstrukce: kolmice a rovnobˇeˇzka . . . 30
3.3.1 Kolmice . . . 30
3.3.2 Rovnobˇeˇzka . . . 31
4 Eukleidovsky konstruovateln´e mnoho´uheln´ıky a Gaußova vˇeta 32 4.1 Gaußova vˇeta . . . 32
4.2 Co znamen´a konstruovat pravideln´y n-´uheln´ık? . . . 33
4.3 Gauß˚uv teoretick´y v´ypoˇcet konstrukce n-´uheln´ık˚u . . . 34
4.3.1 Uˇziteˇcn´e definice a vˇety . . . 34
4.3.2 Struˇcn´y n´aznak Gaußova teoretick´eho v´ypoˇctu konstrukce n- ´ uheln´ıku . . . 35
4.4 Uk´azka v´ypoˇctu na konkr´etn´ım pˇr´ıkladu konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku 37 4.4.1 Hled´an´ı primitivn´ıho koˇrene . . . 38
4.4.2 Rozdˇelen´ı period . . . 38
4.4.3 Vlastn´ı ˇreˇsen´ı . . . 39
4.4.4 Z´avˇereˇcn´y vztah . . . 41
5 Konstrukce vybran´ych pravideln´ych mnoho´uheln´ık˚u 42 5.1 Rovnostrann´y troj´uheln´ık . . . 42
5.2 Ctverecˇ . . . 42
5.3 Pravideln´y pˇeti´uheln´ık . . . 44
5.3.1 Ovˇeˇren´ı konstruovatelnosti deseti´uheln´ıku a z nˇeho vypl´yvaj´ıc´ı konstruovatelnost pˇeti´uheln´ıku . . . 45
5.3.2 Konstrukce pˇeti´uheln´ıku . . . 45
5.4 Pravideln´y ˇsesti´uheln´ık . . . 45
5.4.1 Konstrukce pravideln´eho ˇsesti´uheln´ıku . . . 47
5.4.2 D˚ukaz konstrukce pravideln´eho ˇsesti´uheln´ıku . . . 47
5.5 Pravideln´y patn´acti´uheln´ık . . . 47
5.5.1 Konstrukce pravideln´eho patn´acti´uheln´ıku . . . 48
5.5.2 N´aznak d˚ukazu konstruovatelnosti pravideln´eho patn´acti´uhel- n´ıku . . . 49
5.6 Pravideln´y sedmn´acti´uheln´ık . . . 49
5.6.1 Konstrukce pravideln´eho sedmn´acti´uheln´ıku . . . 49
6 Pomocn´e konstrukce pˇri konstrukci n-´uheln´ık˚u 53 6.1 Zdvojen´ı poˇctu vrchol˚u aneb konstrukce (2n)-´uheln´ıka, kde n je lich´e 53 6.2 Zdvojen´ı poˇctu vrchol˚u aneb konstrukce (2n)-´uheln´ıka, kde n je sud´e 53 6.3 Souˇcin dvou nesoudˇeln´ych licho´uheln´ık˚u . . . 54
6.3.1 Co je Eukleid˚uv algoritmus? . . . 55
6.3.2 Na ˇcem je Eukleid˚uv algoritmus zaloˇzen´y? . . . 55
6.3.3 Jak bude Eukleid˚uv algoritmus vypadat v naˇsem pˇr´ıpadˇe? . . 55
7 Systematick´y postup konstrukce n-´uheln´ık˚u 56 7.1 Algebraizace pojmu ´useˇcka v rovinˇe . . . 56
7.2 Un´arn´ı a bin´arn´ı operace provediteln´e v rovinˇe bez jednotkov´e ´useˇcky 57 7.2.1 Konstrukce souˇctu ´useˇcek . . . 57
7.2.2 Konstrukce rozd´ılu ´useˇcek . . . 59
7.2.3 Konstrukce pˇrirozen´eho n´asobku ´useˇcky . . . 59
7.2.4 Konstrukce pˇrirozen´eho pod´ılu ´useˇcky . . . 61
7.2.5 Konstrukce aritmetick´eho pr˚umˇeru . . . 63
7.2.6 Konstrukce geometrick´eho pr˚umˇeru . . . 64 7.3 Un´arn´ı a bin´arn´ı operace neprovediteln´e bez znalosti jednotkov´e ´useˇcky 66
7.3.1 Konstrukce odmocniny ´useˇcky . . . 66
7.3.2 Konstrukce pˇrevr´acen´e hodnoty ´useˇcky . . . 67
7.3.3 Konstrukce souˇcinu dvou ´useˇcek . . . 68
7.3.4 Konstrukce pod´ılu dvou ´useˇcek . . . 71
7.3.5 Konstrukce druh´e mocniny d´elky ´useˇcky . . . 73
7.4 Dˇelen´ı ´useˇcek se zbytkem . . . 74
7.5 Operace provediteln´e v eukleidovsk´e rovinˇe s ´uhly . . . 75
7.5.1 Sˇc´ıt´an´ı ´uhl˚u . . . 76
7.5.2 Rozd´ıl ´uhl˚u . . . 77
7.5.3 Pˇrirozen´y n´asobek ´uhl˚u. . . 78
7.5.4 Pˇrirozen´y pod´ıl ´uhl˚u . . . 78
8 Z´avˇer 79
Seznam obr´azk˚u
2.1 Pr´avˇe dva body A a B n´am staˇc´ı k zaveden´ı souˇradnicov´eho syst´emu. 16
2.2 Konstrukce cel´ych ˇc´ısel. . . . 17
2.3 Konstrukce racion´aln´ıch ˇc´ısel. . . . 17
3.1 Konstrukce ´useˇcky d´elky souˇctu dan´ych ´useˇcek. . . . 24
3.2 Konstrukce rozd´ılu useˇcek. . . . 24
3.3 Konstrukce souˇcin ´useˇcek. . . . 24
3.4 Konstrukce pod´ıl ´useˇcek. . . . 25
3.5 Konstrukce odmocniny. . . . 25
3.6 P˚ulen´ı ´uhlu. . . . 26
3.7 Konstrukce x-ov´ych souˇradnic bod˚u E, F . . . . 30
3.8 Konstrukce kolmice. . . . 31
3.9 Konstrukce rovnobˇeˇzky. . . . 31
5.1 Konstrukce rovnostrann´eho troj´uheln´ıku. . . . 42
5.2 Konstrukce ˇctverce. . . . 43
5.3 Konstrukce ˇctverce. . . . 43
5.4 Konstrukce ˇctverce. . . . 44
5.5 Konstrukce pˇeti´uheln´ıku (krok 1). . . . 46
5.6 Konstrukce pˇeti´uheln´ıku (krok 2). . . . 46
5.7 Konstrukce pˇeti´uheln´ıku (krok 3). . . . 46
5.8 Konstrukce ˇsesti´uheln´ıku. . . . 47
5.9 Konstrukce patn´acti´uheln´ıku (krok 1). . . . 48
5.10 Konstrukce patn´acti´uheln´ıku (krok 2). . . . 48
5.11 V´ysledn´y patn´acti´uheln´ık. . . . 49
5.12 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 1). . . . 50
5.13 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 2). . . . 50
5.14 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 3). . . . 51
5.15 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 4). . . . 51
5.16 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 5). . . . 52
5.17 Konstrukce sedmn´acti´uheln´ıku (krok 6). . . . 52
5.18 V´ysledn´y sedmn´acti´uheln´ık. . . . 52
6.1 Konstrukce ˇsesti´uheln´ıku. . . . 54
6.2 Konstrukce osmi´uheln´ıku. . . . 54
7.1 Souˇcet dvou ´useˇcek – vstup. . . . 58
7.2 Souˇcet dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 58
7.3 Souˇcet dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 59
7.4 Rozd´ıl dvou ´useˇcek – vstup. . . . 60
7.5 Rozd´ıl dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 60
7.6 Rozd´ıl dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 60
7.7 Pˇrirozen´y n´asobek ´useˇcky – vstup. . . . 61
7.8 Pˇrirozen´y n´asobek ´useˇcky – algoritmus. . . . 61
7.9 Pˇrirozen´y n´asobek ´useˇcky – v´ystup. . . . 61
7.10 Pˇrirozen´y pod´ıl ´useˇcky – vstup. . . . 62
7.11 Pˇrirozen´y pod´ıl ´useˇcky – algoritmus. . . . 62
7.12 Pˇrirozen´y pod´ıl ´useˇcky – v´ystup. . . . 63
7.13 Aritmetick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – vstup. . . . 63
7.14 Aritmetick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 64
7.15 Aritmetick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 64
7.16 Geometrick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – vstup. . . . 65
7.17 Geometrick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 65
7.18 Geometrick´y pr˚umˇer dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 66
7.19 Odmocnina z ´useˇcky – vstup. . . . 67
7.20 Odmocnina z ´useˇcky – algoritmus. . . . 67
7.21 Odmocnina z ´useˇcky – v´ystup. . . . 68
7.22 Pˇrevr´acen´a hodnota ´useˇcky – vstup. . . . 68
7.23 Pˇrevr´acen´a hodnota ´useˇcky – algoritmus. . . . 69
7.24 Pˇrevr´acen´a hodnota ´useˇcky – v´ystup. . . . 69
7.25 Souˇcin dvou ´useˇcek – vstup. . . . 70
7.26 Souˇcin dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 70
7.27 Souˇcin dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 70
7.28 Pod´ıl dvou ´useˇcek – vstup. . . . 71
7.29 Pod´ıl dvou ´useˇcek – algoritmus. . . . 72
7.30 Pod´ıl dvou ´useˇcek – v´ystup. . . . 72
7.31 Druh´a mocnina ´useˇcky – vstup. . . . 73
7.32 Druh´a mocnina ´useˇcky – algoritmus. . . . 74
7.33 Druh´a mocnina ´useˇcky – v´ystup. . . . 74
7.34 Dˇelen´ı ´useˇcek se zbytkem – vstup. . . . 75
7.35 Dˇelen´ı ´useˇcek se zbytkem – algoritmus. . . . 76
7.36 Dˇelen´ı ´useˇcek se zbytkem – v´ystup. . . . 76
7.37 Konstrukce souˇctu dvou ´uhl˚u. . . . 77
7.38 Konstrukce rozd´ılu dvou ´uhl˚u. . . . 77
Pouˇzit´e znaˇcen´ı a zkratky
Znaˇcen´ı V´yznam
N = {0, 1, 2, . . .} mnoˇzina (polookruh) pˇrirozen´ych ˇc´ısel Q mnoˇzina (tˇeleso) racion´aln´ıch ˇc´ısel R mnoˇzina (tˇeleso) re´aln´ych ˇc´ısel R+ mnoˇzina kladn´ych re´aln´ych ˇc´ısel R+0 mnoˇzina nez´aporn´ych re´aln´ych ˇc´ısel T(x) tˇelesov´e rozˇs´ıˇren´ı tˇelesa T o prvek x A, B, C, . . . body eukleidovsk´e roviny
AB, u(A, B) useˇ´ cka (u) s krajn´ımi body A a B;
geometrick´y a algebraick´y z´apis
|AB| d´elka ´useˇcky AB
∼ podobnost ´useˇcek;
u(A, B) ∼ u(C, D) ⇐⇒ |AB| = |CD|
p(A, B) pˇr´ımka p zad´ana body A a B
k(A, |AB|) kruˇznice k se stˇredem v bodˇe A a polomˇerem rovn´ym velikosti ´useˇcky AB
E2 mnoˇzina vˇsech bod˚u eukleidovsk´e roviny E22 = E2× E2 mnoˇzina uspoˇr´adan´ych dvojic bod˚u v rovinˇe U = {u(A, B) : A, B ∈ E} mnoˇzina vˇsech ´useˇcek v rovinˇe; izomorfn´ı s E22 Ux = {u(A, B) ∈ U : |AB| = x} mnoˇzina (tˇr´ıda) vˇsech ´useˇcek d´elky x;
Ux = [u(A, B)]∼ ⊂ U
U = U /∼= {Ux : x ∈ R+0} faktorov´a mnoˇzina tˇr´ıd ´useˇcek r˚uzn´ych d´elek u0 ∈ o, |u0| = 0, 0 ∈ U nulov´a ´useˇcka (zdegenerovan´a do bodu) u1 ∈ 1, |u1| = 1, 1 ∈ U jednotkov´a ´useˇcka
f : U × U −→ U bin´arn´ı operace na mnoˇzinˇe vˇsech ´useˇcek U f : U × U −→ U tat´aˇz bin´arn´ı operace na faktorov´e mnoˇzinˇe U
1 Uvod´
V dobˇe vzniku eukleidovsk´e geometrie mˇela ˇreck´a matematika za sebou zhruba tˇri stolet´ı intenzivn´ıho a velmi plodn´eho v´yvoje. Na z´akladˇe poznatk˚u, kter´e byly bˇehem ˇctvrt´eho, p´at´eho a ˇsest´eho stolet´ı pˇred naˇs´ım letopoˇctem shrom´aˇzdˇeny, sepsal Euk- leides z Alexandrie Z´aklady, ve kter´ych shrnul vˇetˇsinu matematick´ych poznatk˚u sv´e doby vybudovanou dle princip˚u Aristotela [2, str.12]. Dnes jiˇz v´ıme, ˇze knihy Euk- leidov´ych z´aklad˚u poch´az´ı od v´ıce autor˚u a jsou zˇc´asti zaloˇzeny na starˇs´ıch zdroj´ıch (viz [3, str.30]).
Eukleidovsk´a geometrie je zaloˇzen´a na axiomech a definic´ıch. Pojem eukleidovsk´e konstrukce se vyskytuje pˇredevˇs´ım v zad´an´ı matematick´ych ´uloh. ´Ukolem b´yv´a urˇcit, zda z dan´eho objektu je moˇzn´e pomoc´ı eukleidovsk´e konstrukce vytvoˇrit jin´y objekt, kter´y m´a dan´e vlastnosti ˇci zda je moˇzn´e konstrukci geometrick´eho ´utvaru prov´est eukleidovsky. Ve sv´e bakal´aˇrsk´e pr´aci, se budu zejm´ena zab´yvat eukleidovskou kon- struovatelnost´ı mnoho´uheln´ık˚u.
Nˇekter´e pravideln´e mnoho´uheln´ıky lze eukleidovskou geometri´ı zkonstruovat jed- noduˇsˇse, nˇekter´e ne. C´ılem pr´ace je tedy jednak pokusit se ˇcten´aˇri pˇribl´ıˇzit proble- matiku eukleidovsk´e konstrukce, zrekapitulovat z´akladn´ı teoretick´e poznatky o eu- kleidovsky konstruovateln´ych pravideln´ych mnoho´uheln´ıc´ıch, vytvoˇrit syst´ematick´y postup d´ılˇc´ıch konstrukc´ı mnoho´uheln´ık˚u i konstrukc´ıch samotn´ych mnoho´uheln´ık˚u a tak´e mimo jin´e parametrizovat geometrick´e konstrukce, kter´e budou slouˇzit jako podklad pro konstrukci sloˇzitˇejˇs´ıch algebraick´ych v´yraz˚u.
Bakal´aˇrsk´a pr´ace obsahuje vˇcetnˇe ´uvodu a z´avˇeru devˇet kapitol. Druh´a kapitola je vˇenovan´a eukleidovsk´e konstrukci obecnˇe. Uv´ad´ı ˇcten´aˇre do t´ematu eukleidovsk´e konstrukce. Bude zde struˇcnˇe pops´ano, co se k eukleidovsk´ym konstrukc´ım pouˇz´ıv´a, jak´ym zp˚usobem a co vznik´a. ˇCten´aˇr z´ısk´a povˇedom´ı o nutn´e podm´ınce poˇc´ateˇcn´ı mnoˇziny. Budou zde tak´e zavedeny pojmy eukleidovsky konstruovateln´e body a eu- kleidovsk´a konstrukce. Tˇret´ı kapitola je vˇenov´ana algebraizaci eukleidovsk´e kon- strukce, kter´a je zavedena pomoc´ı Wanzelovy metody. V r´amci t´eto kapitoly si tak´e vysvˇetl´ıme obecn´e mechanismy vzniku nov´ych bod˚u. Uvedeme zde tak´e pˇr´ıklad, na kter´em si vysvˇetl´ıme p˚ulen´ı ´uhlu a tak´e pˇr´ıklad nekonstruovateln´eho mnoho´uheln´ıku.
Ve tˇret´ı kapitole tak´e zm´ın´ıme dvˇe obecnˇe zn´ame a obecnˇe uˇzteˇcn´e pomocn´e kon- strukce – konstrukci kolmice a rovnobˇeˇzky.
Ctvrt´ˇ a kapitola bude vˇenovan´a eukleidovsky konstruovateln´ym mnoho´uheln´ık˚um a Gaußovˇe vˇetˇe. Vysvˇetl´ıme si, jak´e mnoho´uheln´ıky jsou konstruovateln´e, co zna- men´a konstruovat pravideln´y mnoho´uheln´ık algebraicky. Gaußovu vˇetu sice pˇr´ımo nedok´aˇzeme, ale pokus´ıme se vysvˇetlit Gauß˚uv teoretick´y v´ypoˇcet konstrukce mno- ho´uheln´ık˚u. Na z´akladˇe v´ystavby, kterou ˇcten´aˇr z pˇredeˇsl´ych kapitol z´ısk´a, bude
ˇcten´aˇri vysvˇetleno, jak´ym zp˚usobem je moˇzn´e z rovnice mnoho´uheln´ıku z´ıskat d´elku strany vyj´adˇrenou pouze pomoc´ı algebraick´ych operac´ı a druh´e odmocniny.
V p´at´e kapitole pak rozebereme jednotliv´e konstrukce z´akladn´ıch pravideln´ych eukleidovsky konstruovateln´ych mnoho´uheln´ık˚u. V ˇsest´e kapitole se budeme zab´yvat pomocn´ymi konstrukcemi pˇri konstrukci mnoho´uheln´ık˚u. Konkr´etnˇe se pod´ıv´ame na konstrukci mnoho´uheln´ık˚u pomoc´ı zdvojen´ı poˇctu vrchol˚u jiˇz zkonstruovateln´eho mnoho´uheln´ıku, pˇriˇcemˇz budeme rozliˇsovat, zda p˚uvodn´ı mnoho´uheln´ık mˇel lich´y nebo sud´y poˇcet vrchol˚u. Tak´e se pod´ıv´ame, jak pˇri znalosti konstrukce dvou li- cho´uheln´ık˚u s navz´ajem nesoudˇeln´ym poˇctem vrchol˚u, ˇreknˇeme m a k, zkonstruovat (m · k)-´uheln´ık.
Sedm´a kapitola se bude vˇenovat systematick´emu postupu konstrukce mnoho-
´
uheln´ık˚u. Na zaˇc´atku si budeme algebraizovat pojem ´useˇcka v rovinˇe. Jednotliv´e z´akladn´ı aritmetick´e operace pˇreloˇz´ıme do jazyka ´useˇcek a eukleidovsk´ych konstrukc´ı – jak´ych si geometrick´ych mikroalgoritm˚u. Uvid´ıme, ˇze nˇekter´e konstrukce jsou ne- provediteln´e bez znalosti jednotkov´e ´useˇcky. Uk´aˇzeme tak´e, jak nˇekter´e aritmetick´e operace pˇreloˇzit do jazyka ´uhl˚u a eukleidovsk´ych konstrukc´ı.
2 Eukleidovsk´a konstrukce
Term´ınem eukleidovsk´a konstrukce, nˇekdy t´eˇz konstrukce kruˇz´ıtkem a prav´ıtkem, oznaˇcujeme konstrukci geometrick´ych objekt˚u pouze s pouˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka a s dodrˇzen´ım cel´e ˇrady dalˇs´ıch omezen´ı, kter´ymi se budeme v´ıce zab´yvat v t´eto kapitole.
2.1 Co pouˇz´ıv´ame k eukleidovsk´ym konstrukc´ım?
Pˇri eukleidovsk´ych konstrukc´ıch pouˇz´ıv´ame prav´ıtko a kruˇz´ıtko speci´aln´ım zp˚usobem.
S prav´ıtkem pracujeme jako s dokonal´ym prav´ıtkem, kter´e splˇnuje ˇradu v praxi ne- splniteln´ych pˇredpoklad˚u:
(i) m´a nekoneˇcnou d´elku, (ii) m´a pouze jednu hranu,
(iii) na prav´ıtku nen´ı vyznaˇcena ˇz´adn´a znaˇcka a ˇz´adnou dalˇs´ı nem˚uˇzeme dodˇelat.
S kruˇz´ıtkem t´eˇz pracujeme jako s dokonal´ym kruˇz´ıtkem, kter´e opˇet splˇnuje pˇredpo- klad, jeˇz v praxi nelze splnit:
(iv) kruˇz´ıtkem je moˇzn´e sestrojit kruˇznici o libovoln´em polomˇeru.
2.2 Jak prav´ıtko a kruˇz´ıtko ke konstrukc´ım pouˇz´ıv´ame a co vznik´a?
Konstrukce jsou pojmenov´any podle slavn´eho ˇreck´eho matematika, Eukleida z Ale- xandrie (4.– 3. stolet´ı pˇr. n. l.). Stavebn´ım kamenem eukleidovsk´e geometrie jsou definice a axiomy, naz´yvan´e jakoˇzto postul´aty. ˇCili z´akladn´ı vlastnosti, popisuj´ıc´ı vztahy mezi z´akladn´ımi geometrick´ymi ´utvary. Pro vˇsechny eukleidovsk´e konstrukce plat´ı, ˇze se skl´adaj´ı z pˇeti z´akladn´ıch opakovateln´ychelement´arn´ıch konstrukc´ı. Kon- strukce pˇr´ımek a kruˇznic, kter´e vyuˇz´ıvaj´ı jiˇz sestrojen´ych bod˚u a konstrukce nov´ych bod˚u v pr˚useˇc´ıc´ıch pˇr´ımek a kruˇznic. Element´arn´ımi konstrukcemi je tedy myˇsleno n´asleduj´ıc´ı:
(a.) Zkonstruov´an´ı pˇr´ımky p proch´azej´ıc´ı dvˇema body A a B, A 6= B; p(A, B).
(b.) Zkonstruov´an´ı kruˇznice k se stˇredem v bodˇe A a polomˇerem dan´ym vzd´alenost´ı dvou bod˚u B a C, B 6= C; k(A, |BC|).
(c.) Vytvoˇren´ı bodu, jakoˇzto pr˚uniku dvou r˚uznobˇeˇzn´ych pˇr´ımek.
(d.) Vytvoˇren´ı jednoho nebo dvou bod˚u, jakoˇzto pr˚useˇc´ık˚u pˇr´ımky a kruˇznice.
(e.) Vytvoˇren´ı jednoho nebo dvou bod˚u, jakoˇzto pr˚useˇc´ık˚u dvou kruˇznic.
Eukleidovskou konstrukc´ı je tedy m´ınˇena konstrukce, pˇri kter´e bylo pouˇzito pouze prav´ıtko a kruˇz´ıtko s vlastnostmi (i)–(iv), s vyuˇzit´ım pouze pˇeti v´yˇse zm´ınˇen´ych element´arn´ıch konstrukc´ı. Nav´ıc jeˇstˇe poˇzadujeme:
(f.) Koneˇcn´y poˇcet jednotliv´ych element´arn´ıch krok˚u konstrukce, viz [6, str.40].
2.3 Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzina bod˚u)
Ned´ılnou souˇc´ast´ı kaˇzd´e konkr´etn´ı konstrukce je poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzina bod˚u. Ve struˇc- nosti prodiskutujeme a naznaˇc´ıme jak´e moˇznosti a ´uskal´ı se skr´yvaj´ı za r˚uznˇe velkou poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzinou bod˚u.
2.3.1 Trivi´aln´ı pˇr´ıpady: Pr´azdn´a a jednoprvkov´a mnoˇzina
Je zˇrejm´e, ˇze v pˇr´ıpadˇe pr´azdn´e mnoˇziny bod˚u se nic nedˇeje, nebot’ nen´ı k dispozici dostatek bod˚u na konstrukci jak´ehokoliv geometrick´eho objektu. V pˇr´ıpadˇe jedno- prvkov´e mnoˇziny opˇet nelze nic zkonstruovat. Jedn´ım bodem nelze v´est konkr´etn´ı pˇr´ımku ani kruˇznici, nebot’ nen´ı d´an ˇz´adn´y polomˇer.
2.3.2 Dvouprvkov´a mnoˇzina
Z trivi´aln´ıch pˇr´ıpad˚u vypl´yv´a, ˇze je zapotˇreb´ı, aby byla zadan´a mnoˇzina minim´alnˇe dvouprvkov´a. Ve chv´ıli, kdy m´ame zad´any dva body, zavedeme si souˇradnicov´y syst´em. A to pro jednoduchost n´asledovnˇe. M´ame zad´any dva body, bod A a bod B. Bod A urˇc´ıme jakoˇzto poˇc´atek souˇradnicov´eho syst´emu, to znamen´a: A = [0, 0].
Bod B bude v n´ami vytvoˇren´em souˇradnicov´em syst´emu m´ıt souˇradnice B = [1, 0].
Je patrn´e, ˇze z toho vypl´yv´a podstatn´a informace. Nyn´ı dva body definuj´ı jedniˇcku.
Obr´azek 2.1: Pr´avˇe dva body A a B n´am staˇc´ı k zaveden´ı souˇradnicov´eho syst´emu.
Tedy zkonstruovan´e body A, B umoˇzn´ı definovat poˇc´atek souˇradnicov´eho syst´e- mu, zorientovat ho a definovat velikost jednotky. Souˇradnicov´y syst´em m´ame vy- tvoˇren´y. Nyn´ı si poloˇzme z´akladn´ı ot´azku. Co vˇsechno je moˇzn´e s touto vˇedomost´ı zkonstruovat?
Obr´azek 2.2: Konstrukce cel´ych ˇc´ısel.
Je zˇrejm´e, ˇze lze zkonstruovat pˇrirozen´a, potaˇzmo cel´a ˇc´ısla eukleidovskou kon- strukc´ı kruˇznic. Minim´alnˇe na ose x se budou nach´azet body se souˇradnicemi cel´ych ˇc´ısel viz bod C = [3, 0].
Obr´azek 2.3: Konstrukce racion´aln´ıch ˇc´ısel.
Pokud m´ame zad´any dva body, jsme schopny tak´e p˚ulit, konstruovat racion´aln´ı ˇc´ısla viz bod P = [12, 0]. Ve chv´ıli, kdy m´ame tedy dva body, tak je moˇzn´e konstruovat libovolnˇe mnoho konstrukc´ı (napˇr. uˇz proto, ˇze pˇrirozen´ych ˇc´ısel je nekoneˇcnˇe mnoho viz obr.2.2 ). To je situace, z kter´e pˇri naˇsich konstrukc´ıch budeme vych´azet.
2.3.3 n-prvkov´a mnoˇzina
V pˇr´ıpadˇe n-prvkov´e mnoˇziny, kde n ≥ 3 um´ıme sestrojit vˇse, co v r´amci dvouprv- kov´e mnoˇziny. Nav´ıc vˇsak m˚uˇzeme realizovat i nˇekter´e sloˇzitˇejˇs´ı konstrukce napˇr.
v pˇr´ıpadˇe, ˇze tˇret´ı bod je tzv. eukleidovsky nekonstruovateln´y (podrobnˇeji viz kapi- tola2.4). Tedy pokud budou v poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzinˇe napˇr. body A = [0, 0] a B = [1, 0],
jako doposud, a nav´ıc bod C = [π, 0], pak budeme zjevnˇe schopni prov´est kvadra- turu (na prvn´ı pohled alespoˇn nˇekter´ych, pozdˇeji uvid´ıme, ˇze vˇsech) kruh˚u, kter´e jsme schopni zkonstruovat.
2.4 Eukleidovsky konstruovateln´e body a eukleidovsk´a konstrukce
V pˇredchoz´ıch sekc´ıch jsme si proˇsli jednotliv´e aspekty eukleidovsk´e konstrukce a jejich v´yznam. Nyn´ı tyto poznatky m˚uˇzeme shrnout v matematickou definici.
Definice 1 (Mnoˇzina eukleidovsky konstruovateln´ych bod˚u). Necht’ M0 je (poˇc´a- teˇcn´ı) mnoˇzina bod˚u roviny, kter´a je alespoˇn dvouprvkov´a, |M0| ≥ 2. Oznaˇcme sym- bolem M1 mnoˇzinu, kter´a obsahuje body mnoˇziny M0 a vˇsechny body, kter´e lze z´ıskat element´arn´ımi eukleidovsk´ymi konstrukcemi, aplikovan´ymi na vˇsechny body mnoˇziny M0 vˇsemi moˇzn´ymi zp˚usoby (zkonstruujeme vˇsechny pˇr´ımky a kruˇznice, kter´e zkon- struovat lze, a vˇsechny jejich pr˚useˇc´ıky). Podobn´ym zp˚usobem budeme postupovat d´ale. Indukc´ı tak dostaneme mnoˇzinu Mn, n ≥ 2, jako mnoˇzinu obsahuj´ıc´ı body mnoˇziny Mn−1 a vˇsechny body z´ıskan´e element´arn´ımi eukleidovsk´ymi konstrukcemi, kter´e aplikujeme na vˇsechny body mnoˇziny Mn−1. Body, kter´e n´aleˇz´ı sjednocen´ı
M = [
j∈N
Mj
naz´yv´ame eukleidovsky konstruovateln´e body.
Poznamenejme, ˇze r˚uzn´e mnoˇziny Mj jsou navz´ajem ve vztahu podmnoˇzin a nadmnoˇzin tak, ˇze tvoˇr´ı ˇretˇezec
M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ · · · .
Poznamenejme d´ale, ˇze pokud by poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzina bod˚u M0 byla pr´azdn´a nebo jednoprvkov´a, pak by mnoˇzina eukleidovsky konstruovateln´ych bod˚u byla M = M0. Povˇsimnˇeme si, ˇze v pˇr´ıkladu v sekci 2.3.3 pracujeme s poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzinou M0 = A, B, C, kter´a obsahuje bod C = [π, 0], kter´y nen´ı konstruovateln´y ze zb´yvaj´ıc´ıch dvou bod˚u. Coˇz n´am umoˇzn´ı prov´est jinak nerealizovatelnou kvadraturu kruhu.
Pˇredchoz´ı definice se zab´yvala vˇsemi body roviny, kter´e byly pomoc´ı element´ar- n´ıch konstrukc´ı dosaˇziteln´e. N´asleduj´ıc´ı definice se zab´yv´a eukleidovskou konstrukc´ı jako takovou. Tedy postupem, kter´y jiˇz sleduje nˇejak´y konkr´etn´ı c´ıl. Nebudeme tedy, na rozd´ıl od definice pˇredchoz´ı, konstruovat vˇsechny body, ale jen nˇekter´e.
Definice 2 (Eukleidovsk´a konstrukce, viz [15, str.139]). Eukleidovskou konstrukc´ı, nebo t´eˇz konstrukc´ı pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka rozum´ıme posloupnost mnoˇzin
K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn,
tedy koneˇcn´ych mnoˇzin bod˚u v rovinˇe takov´ych, ˇze Ki+1= Ki∪ {X}, kde X vznikne jako:
• pr˚useˇc´ık pˇr´ımek p(A, B) a p(C, D),
• pr˚useˇc´ık pˇr´ımky p(A, B) a kruˇznice k(D, |EF |) se stˇredem D a polomˇerem
|EF |,
• pr˚useˇc´ık kruˇznic k(A, |BC|) a k(D, |EF |), pro nˇejak´e body A, B, C, D, E, F ∈ Ki.
Poznamenejme, ˇze mezi mnoˇzinami Mj z definice 1 a Kj z definice 2 je zˇrejm´y vztah
Kj ⊆ Mj,
ovˇsem za pˇredpokladu M0 = K0. D´ale poznamenejme, ˇze na kaˇzd´y krok konstrukce se m˚uˇzeme d´ıvat jako na prvn´ı krok modifikovan´e konstrukce s jinou poˇc´ateˇcn´ı mnoˇzinou gM0 = Kj.
3 Wanzelova metoda
V r´amci t´eto kapitoly se zamˇeˇr´ıme na algebraick´y pohled na eukleidovskou kon- strukci. Nejdˇr´ıve se na eukleidovskou konstrukci pod´ıv´ame pomoc´ı Wanzelovi me- tody, n´aslednˇe si pˇredstav´ıme obecn´e mechanismy vzniku nov´ych bod˚u. Souˇc´ast´ı t´eto kapitoly bude tak´e pˇredstaven´ı ˇctyˇr slavn´ych ´uloh, jeˇz jsou eukleidovsky nekon- struovateln´e.
3.1 Algebraizace eukleidovsk´e konstrukce
Nyn´ı si zavedeme souˇradnicov´y syst´em, kter´y n´am umoˇzn´ı zaveden´ı mnoˇziny euk- leidovsky konstruovateln´ych ˇc´ısel.
Definice 3 (Mnoˇzina eukleidovsky konstruovateln´ych ˇc´ısel). Mnoˇzina poˇc´ateˇcn´ıch bod˚u M0 z definice 1 je alespoˇn dvouprvkov´a, necht’ tedy A, B ∈ M0. Necht’ je d´ale v rovinˇe z pˇredchoz´ı definice d´an kart´ezsk´y syst´em souˇradnic takov´y, ˇze A = [0, 0], B = [1, 0]. Souˇradnice konstruovateln´ych bod˚u, tj. bod˚u mnoˇziny M z definice 1, se naz´yvaj´ı konstruovateln´a ˇc´ısla, viz [5, str.454].
Z pˇredchoz´ı definice je jasn´e, ˇze mnoˇzina eukleidovsky konstruovateln´ych ˇc´ısel z´avis´ı na volbˇe resp. velikosti M0. D´ale se budeme soustˇredit zejm´ena na euklei- dovsky konstruovateln´a ˇc´ısla vznikaj´ıc´ı z |M0| = 2. Pˇripomeˇnme definici v algebˇre velmi d˚uleˇzit´e a pro n´as uˇziteˇcn´e struktury se dvˇema bin´arn´ımi operacemi, a sice tˇelesa.
Definice 4 (Tˇeleso). Tˇelesem rozum´ıme algebraickou strukturu, tedy mnoˇzinu T, na kter´e jsou definov´any dvˇe bin´arn´ı operace (+, ·) takov´e, ˇze:
i vzhledem k operaci (+) je v T abelovskou (aditivn´ı) grupou s neutr´aln´ım prvkem 0,
ii vzhledem k operaci (·) je v T \ {0} multiplikativn´ı grupou, a operace splˇnuje distributivn´ı z´akon: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Operace obvykle naz´yv´ame operace sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı, viz [1, str.18].
Mˇejme body v rovinˇe body A = [0, 0] a B = [1, 0], resp. dvojici re´aln´ych ˇc´ısel.
V r´amci t´eto pr´ace budeme pracovat s tˇelesem T, kter´e obsahuje 0, 1 ⊆ T ⊆ R.
Nejmenˇs´ı tˇeleso, kter´e to splˇnuje, je tˇeleso Q, coˇz vych´az´ı z definice 4(i) (T ⊆ R) a z definice 4(ii) (Q ⊆ T).
