R(s) Σ Y(s)
G (s) G (s)
R P
Regulator Process +
−
E(s) U(s)
Figur 1: Blockdiagram f¨or ett typiskt reglersystem
N˚ agot om PID-reglering
PID-regulatorn best˚ar av proportionell del, integrerande del och deriverande del. Varje del har sin finess. Ett typiskt reglersystem visas i Fig. 1. Regulatorns
¨overf¨oringsfunktion GR(s) kan f¨or en PID-regulator skrivas GR(s) = K
1 + 1
Tis + Tds
Vi ska nu inf¨ora varje del (P, I och D) efter hand och se vilka f¨ordelar var och en av delarna har.
P-reglering
Ren proportionell reglering kan skrivas
u(t) = Ke(t) = K(r(t) − y(t))
d¨ar r(t) ¨ar b¨orv¨ardet och e(t) ¨ar reglerfelet. Styrsignalen u(t) ¨ar allts˚a pro- portionell mot reglerfelet e(t). Ju st¨orre reglerfel desto st¨orre styrsignal. Hur mycket st¨orre best¨ams av regulatorns f¨orst¨arkning K. Hur beter sig regler- felet d˚a b¨orv¨ardet ¨ar ett enhetssteg r(t) = θ(t)? Det beror naturligtvis inte bara p˚a f¨orst¨arkningen K utan ocks˚a p˚a ¨overf¨oringsfunktionen hos det vi ska reglera (processen) dvs Gp(s). Om K inte ¨ar f¨or stort kommer stegsvaret (utsignalen fr˚an processen d˚a insignalen ¨ar ett enhetssteg) att sv¨anga in sig mot ett best¨amt v¨arde (dvs det ˚aterkopplade systemet ¨ar stabilt). Vilket v¨arde sv¨anger d˚a reglerfelet in sig mot i det fallet? F¨or att ta reda p˚a detta anv¨ands slutv¨ardesteoremet:
t→∞lim e(t) = lim
s→0sE(s)
F¨or att kunna g¨ora detta m˚aste E(s) tas fram:
E(s) = 1
1 + KGp(s)R(s) = 1 1 + KGp(s)
1 s Nu kan det kvarst˚aende reglerfelet ber¨aknas:
t→∞lim e(t) = lim
s→0sE(s) = lim
s→0s 1
1 + KGp 1
s = 1
1 + KGp(0) = 1 1 + Kk0 d¨ar k0 = Gp(0) ¨ar den statiska f¨orst¨arkningen. L¨agg m¨arke till att felet aldrig kan bli riktigt 0 men genom att v¨alja K stort kan felet g¨oras litet. F¨or stora K-v¨arden kan ge upphov till oscillationer eller till och med instabilitet.
K¨ansligheten f¨or brus ¨okar ocks˚a med f¨orst¨arkningen K. D¨arf¨or ¨ar stora v¨arden p˚a K ingen l¨osning f¨or att f˚a ner det kvarst˚aende reglerfelet. Re- glerfelet e(t) kan aldrig riktigt bli 0 eftersom d˚a skulle ju ocks˚a styrsignalen u(t) = Ke(t) bli noll.
PI-reglering
Ett s¨att att r˚ada bot p˚a problemet med kvarst˚aende reglerfel ¨ar att s¨atta in n˚agot slags “minne” som kommer ih˚ag hur mycket styrsignalen m˚aste h¨ojas f¨or att ¨arv¨ardet y(t) ska ¨okas upp till b¨orv¨ardet r(t). Ett s˚adant minne ¨ar en integrator. Den nya styrlagen blir
u(t) = Ke(t) + ki
Z t 0
e(τ )dτ = K
e(t) + 1 Ti
Z t 0
e(τ )dτ
Genom att laplacetransformera kan ¨overf¨oringsfunktionen f¨or PI-regulatorn listas ut:
U(s)
E(s) = GR(s) = K
1 + 1
Tis
Nu st¨aller vi samma fr˚aga som f¨or P-regulatorn: Hur stort blir kvarst˚aende reglerfelet d˚a b¨orv¨ardet ¨ar ett enhetssteg n¨ar en PI-regulator anv¨ands?
E(s) = 1
1 + GR(s)Gp(s)R(s) = 1
1 + K(1 +T1is)Gp(s) 1 s Slutv¨ardesteoremet ger d˚a
t→∞lim e(t) = lim
s→0sE(s) = lim
s→0s s
s + K(s + 1/Ti)GP(s) 1 s = lim
s→0
s
s + K(s + 1/Ti)GP(s) = 0 f¨orutsatt att GP(0) 6= 0, dvs processens statiska f¨orst¨arkning f˚ar inte vara
0. Detta visar att integralverkan i regulatorn garanterar eliminering av re- glerfelet i de fall d˚a Gp(0) 6= 0 och, givetvis, under f¨oruts¨attning att det
˚aterkopplade systemet ¨ar stabilt.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Reglerfel vid P−reglering
t
e(t)
Figur 2: Reglerfel vid P-reglering
PD-reglering
Vid enbart proportionell reglering (P-reglering) g¨aller oftast grundregeln att f¨orst¨arkningen K b¨or s¨ankas om det ¨ar f¨or mycket sv¨angningar i utsignalen.
Detta leder dock till att systemet blir l˚angsammare. Om man vill ha ett snabbare system som ¨and˚a ¨ar v¨ald¨ampat (dvs inte s˚a mycket sv¨angningar) s˚a f˚ar man ta till n˚agot mer ¨an P-reglering. I Fig. 2 visas reglerfelet f¨or ett system med P-reglering d¨ar K ¨ar lite f¨or stort. Observera att styrsignalen u(t) = Ke(t) bara beror av sj¨alva reglerfelet vid en viss tidpunkt. Detta inneb¨ar att styrsignalen f˚ar samma v¨arde t.ex. vid de tv˚a f¨orsta tidpunk- terna f¨or vilket reglerfelet har v¨ardet 0.2 (se Fig. 2). Detta verkar ju rent av dumt eftersom det vid f¨orsta tidpunkten (t1) ¨ar duktig nerf¨orsbacke (neg- ativ derivata) medan det ¨ar uppf¨orsbacke (positiv derivata) vid den andra tidpunkten (t2). Det verkar vara befogat att ta h¨ansyn till derivatan av re- glerfelet i styrlagen. Om man l¨agger till en term till i styrsignalen s˚a att styrlagen blir
u(t) = Ke(t) + kd
de
dt(t) = K
e(t) + Td
de dt(t)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
−0.4
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Reglerfel vid PD−reglering
t
e(t)
Figur 3: Reglerfel vid PD-reglering
s˚a blir det helt pl¨otsligt m¨ojligt att f˚a olika v¨arden p˚a styrsignalen u(t) vid de b˚ada tidpunkterna (t1 resp. t2). Detta g¨or att sv¨angningarna i reglerfelet kan d¨ampas ut (se Fig. 3). N˚agon kanske undrar om det inte finns I-del ocks˚a i regulatorn, eftersom reglerfelet verkar konvergera mot 0. S˚a ¨ar dock inte fallet, utan reglerfelet blir v¨aldigt litet till f¨oljd av att f¨orst¨arkningen ¨ar ganska stor (K = 50) i b˚ada fallen. Det ¨ar i sj¨alva verket systemet
GP(s) = 1 (s + 1)2
som reglerats med P-regulatorn GR(s) = 50 respektive PD-regulatorn GR(s) = 50 + 10s (K=50 och Td= 0.2 s).
PID-reglering
Kombinationen av alla tre delarna (P, I och D) resulterar s˚aledes i f¨oljande styrlag:
u(t) = K
e(t) + 1 Ti
t
Z
0
e(τ )dτ + Tdde dt(t)
Efter laplacetransformation av detta samband kan styrlagen uttryckas s˚a h¨ar:
U(s) = K
1 + 1
Tis + Tds
E(s) = GR(s)E(s)
Detta ¨ar standardformen av PID-regulatorn. Det finns ett par olika modi- fieringar av denna n¨ar det g¨aller brister hos derivatadelen (D-delen) av reg- ulatorn. Dessa ¨ar dels pulser (“spikar”) som dyker upp i styrsignalen pga deriveringen av de steg¨andringar som ofta f¨orekommer i b¨orv¨ardet och dels den h¨oga k¨ansligheten f¨or brus i ¨arv¨ardet. Motsvarande tv˚a modifieringar blir d˚a f¨oljande:
1. Derivering av b¨orv¨ardet tas bort:
U(s) = K
1 + 1
Tis
E(s) − TdsY (s)
2. L˚agpassfiltrering inf¨ors f¨or derivatadelen:
U(s) = K
1 + 1
Tis
E(s) − Tds
1 + TfsY (s) Tidskonstanten i derivatadelens l˚agpassfilter v¨aljs som
Tf = Td
N
d¨ar den s.k. filterfaktorn N ofta v¨aljs mellan 5 och 10. Observera att d˚a N → ∞ blir det vanlig derivering igen.
Allm¨ anna inst¨ allningsregler
F¨or de tre grundparametrarna K, Ti och Td g¨aller f¨oljande grundregler:
˚Atg¨ard Resultat
Oka K¨ + Snabbare insv¨angning + Mindre kvarst˚aende reglerfel
− S¨amre stabilitet (mer sv¨angningar)
− ¨Okad brusk¨anslighet
Minska Ti + Snabbare eliminering av reglerfelet
− S¨amre stabilitet (mer sv¨angningar)
Oka T¨ d + B¨attre stabilitet (mer d¨ampat, mindre sv¨angningar)
− Extremt ¨okad brusk¨anslighet
Speciella inst¨ allningsregler
En klassisk metod (fr˚an 1942) ¨ar Ziegler-Nichols sj¨alvsv¨angningsmetod. Den g˚ar ut p˚a f¨oljande:
1. ˚Aterkoppla systemet proportionellt justera f¨orst¨arkningen K s˚a att sys- temet precis sj¨alvsv¨anger (varken avtagande eller ¨okande amplitud). Det r¨acker att ge n˚agon puls eller ett steg in till systemet f¨or att testa detta.
2. Notera dels f¨orst¨arkningen Kc och dels periodtiden To f¨or sv¨angningen.
3. St¨all in regulatorparametrarna enligt f¨oljande tabell:
Regulatortyp K Ti Td
P 0.5Kc – –
PI 0.45Kc To/1.2 – PID 0.6Kc To/2 To/8
Metoden ger oftast ett ganska d˚aligt d¨ampat system men den ger en rimlig parameterinst¨allning att utg˚a ifr˚an f¨or att justera in en b¨attre inst¨allning.
Under de dryga 70 ˚ar som g˚att sen metoden lanserades har det dykt upp ett otal olika varianter och modifieringar av varierande kvalitet. Det finns dels metoder baserade p˚a sj¨alvsv¨angning (som ovanst˚aende) och dels metoder baserade p˚a stegsvaret f¨or systemet. Ziegler-Nichols hittade ocks˚a p˚a en stegsvarsbaserad metod som oftast ¨ar en aning s¨amre ¨an deras sj¨alvsv¨ang- ningsmetod.
Exempel p˚ a hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut
Som det n¨amnts i f¨oreg˚aende avsnitt finns det m˚anga inst¨allningsregler, s˚av¨al sj¨alvsv¨angningsbaserade som stegsvarsbaserade. D¨arf¨or ska det h¨ar bara ges ett exempel p˚a hur en stegsvarsbaserad metod kan se ut.
I Fig. 4 visas ett stegsvar f¨or ett system av ordning 3 med tidsf¨ordr¨ojning till- sammans med stegsvaret f¨or ett system av f¨orsta ordningen med tidsf¨ordr¨ojning (streckad kurva) som utg¨or en approximation till det heldragna stegsvaret.
Approximationen har tidsf¨ordr¨ojningen L = 3.5 s och tidskonstanten T = 7.5 s. Statiska f¨orst¨arkningen k0 ¨ar 2 f¨or b˚ada systemen.
Approximationsf¨orfarandet ¨ar standardm¨assigt och g˚ar ut p˚a att dra tangen- ten till inflektionspunkten (“maximalderivatapunkten”) hos det ursprung- liga stegsvaret (se Fig. 4). Tangentens sk¨arning med tidsaxeln blir d˚a L (tidsf¨ordr¨ojningen f¨or approximationen) och tidskonstanten f¨or approxima- tionen utg¨ors av bredden p˚a den r¨atvinkliga triangel vars h¨ojd ¨ar k0 och vars hypotenusa utg¨or en del av tangentlinjen. I det aktuella fallet erh˚alles s˚aledes tidskonstanten som 11 − 3.5 = 7.5 s. Denna approximation ¨ar av l˚ag kvalitet.
Original
Approxim at ion 1 (kass) Approxim at ion 2 (bra) 0.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
St egsvar m ed t vå olika approxim at ioner
t
y(t)
Figur 4: Stegsvar i original tillsammans med tv˚a approximativa stegsvar En b¨attre approximation (nr 2 i Fig. 4) erh˚alles genom att v¨alja T = 0.8(ty=0.8k0− ty=0.3 k0) ≈ 3.78 s och L = ty=0.3 k0−0.357·T ≈ 4.48 s (det egentliga systemets
¨overf¨oringsfunktion ¨ar (1+2s)2 3e−2s). Interpolation sker vid 30% och 80%.
En stegsvarsbaserad metod f¨or best¨amning av PID-parametrarna kan d˚a se ut s˚a h¨ar [1]:
1. V¨alj
K = 0.4 k0
s
1 + 8T 5L
2
2. V¨alj
Ti = 2Kk0(L + T )
1 + 2Kk0+ α(Kk0)2, 0 ≤ α ≤ 1
F¨or sm˚a v¨arden p˚a L/T och med prioritet p˚a lastst¨orningssvar v¨aljs α n¨armare 1, annars v¨aljs α = 0.
3. V¨alj
Td= 0.3(1 − e−0.7L/T)Ti
Referens
[1] M. Lilja,“A Simple PID Control Design for Systems with Time Delay”, Teknisk rapport, Avdelningen f¨or Industriell Elektroteknik och Automation, LTH, 2017, http://www.iea.lth.se/publications/Reports/LTH-IEA-7266.pdf
