Resultatet meddelas på studentportalen. Via studentwebben kan man få informa- tion om när skrivningen finns att hämta ut på studenttorget.

Tentamensdatum 2011-10-26

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgränser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Resultatet meddelas på studentportalen. Via studentwebben kan man få informa- tion om när skrivningen finns att hämta ut på studenttorget.

Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare.

Till alla uppgifter ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, införda beteckningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng.

Luleå tekniska universitet

Institutionen för teknikvetenskap och matematik

Uppgift 1

(a) Förenkla så långt som möjligt a b + b

a + 2 a b − b

a

(2 p) (b) För vilka x gäller olikheten

x + 3 > 2x x − 2

(2 p) (c) För den spetsiga vinkeln v gäller sin v = a, 0 ≤ a ≤ 1. Bestäm sin 2v

uttryckt i a. (2 p)

Uppgift 2

(a) Lös ekvationen lg x − 2 · lg 7 = 2. (2 p)

(b) Bestäm samtliga lösningar till ekvationen sin 3x =

√ 3

2 . (2 p)

Uppgift 3

Bestäm f

(x) om f (x) =

(a) arctan(x

). (2 p)

(b) x

+ 2e

. (1 p)

(c) ln x · (x

− 1)

. (2 p)

Uppgift 4 (a) Bestäm

x→∞

lim ( p

x

+ x − x)

(2 p) (b) Bestäm

x→−2

lim

x

− 16 x

+ 4x

+ 3x − 2

(3 p) L’Hospitals regel får inte användas.

2 (4)

Betrakta funktionen

f (x) = 2x

− 2x − 8 x − 5

(a) Bestäm eventuella asymptoter samt eventuella lokala max- och min-

punkter till f (x). (4 p)

(b) Skissera grafen y = f (x). (1 p)

Uppgift 6

Lös en och endast en av följande uppgifter.

Uppgift 6.1

(a) Betrakta den omvändbara funktionen f (x) = 4x

1 + x

. Beräkna f

(2). (2 p)

(b) Visa att

d

dx arcsin x = 1

√ 1 − x

(3 p) Uppgift 6.2

(a) Bestäm riktningskoefficienten (lutningen) hos den räta linje som går genom punkten P : (−2, 0) och som är en tangentlinje till kurvan y =

√ x. Observera att punkten P inte är en tangeringspunkt. (3 p)

(b) Bestäm tangentlinjens ekvation, förutsättningar enligt deluppgift (a). (2 p)

Uppgift 6.3

Löparbanan på en idrottsarena har formen av en rektangel med en halvcir- kel i varje kortända. Längden runt innerbanan är exakt 1/4 mile = 1320 feet.

Om rektangeln som innesluts av banan ska ha maximal area, vilka dimen- sioner måste då rektangeln ha? Svaret anges i feet och avrundas till heltal.

(5 p)

Uppgift 6.4

Ett flygplan A befinner sig vid en viss tidpunkt 144 km öster om en flyg- plats F och färdas västerut med farten 200 km/h. Vid samma tidpunkt be- finner sig, på samma höjd som A, ett annat flygplan B 60 km norr om F och färdas norrut med farten 150 km/h.

(a) Rita en figur över situationen vid aktuell tidpunkt. Markera tydligt flygplanens positioner relativt flygplatsen, samt flygplanens färdrikt-

ningar. (1 p)

(b) Hur snabbt ändras avståndet mellan flygplanen A och B vid denna

tidpunkt? Svaret avrundas till heltal. (3 p)

(c) Ökar eller minskar avståndet mellan flygplanen A och B vid denna

tidpunkt? Motivera. (1 p)

4 (4)