Tentamen i Differentialkalkyl Kurskod M0029M Tentamensdatum 2008-04-29
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00
Jourhavande l¨ arare: Hans Johansson Tel: 0920-49 11 26
Betygsgr¨ anser: 14–18=3, 19–23=4, 24– =5.
Resultatet meddelas: Via studentportalen https://portal.student.ltu.se/.
F¨or att se n¨ar den r¨attade skrivningen kan
h¨amtas ut, bes¨ok hemsidan www.ltu.se/atorget.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Inga.
Till alla uppgifter skall fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, ekvationsl¨ osningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨or matematik
1. Visa att
n
X
k=1
k
2 k = 2 − n + 2 2 n
f¨or alla heltal n ≥ 1. (5 p)
Show that
n
X
k=1
k
2 k = 2 − n + 2 2 n
for all integers n ≥ 1. (5 p)
2. Best¨am f¨oljande gr¨ansv¨arden (a) lim
x→0
tan 2x
sin 3x (1 p)
(b) lim
x→∞
2 x + x 2 · ln x
3 x + x 10 (2 p)
(c) lim
x→1
x 3 − 1
x 2 − 1 (2 p)
Find the following limits (a) lim
x→0
tan 2x
sin 3x (1 p)
(b) lim
x→∞
2 x + x 2 · ln x
3 x + x 10 (2 p)
(c) lim
x→1
x 3 − 1
x 2 − 1 (2 p)
3. (a) Visa att
f (x) = 2x + cos π 2 x
¨ar omv¨andbar. (2 p)
(b) Best¨am (f −1 ) 0 (2). (3 p)
(a) Show that
f (x) = 2x + cos π 2 x
is invertible (one-to-one). (2 p) (b) Find (f −1 ) 0 (2). (3 p)
4. Rita kurvan
y = x 2 + 1 x 2 − 1 .
Best¨am eventuella asymptoter samt eventuel- la lokala extrempunkter. (5 p)
Sketch the graph of
y = x 2 + 1 x 2 − 1 .
Determine any asymptotes and any local ex-
trema. (5 p)
5. Best¨am en ekvation f¨or tangenten till kurvan 2 e x+y − xy = 3
i punkten (−1, 1). (5 p)
Find an equation of the tangent to the curve 2 e x+y − xy = 3
at the point (−1, 1). (5 p)
6. L¨ os en och endast en av de tre f¨ oljande uppgifterna
Solve one and only one of the following assignments
6.1 Visa produktregeln f¨or derivator, dvs d
dx (f (x) · g(x)) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Show the Derivative Product Rule, i.e.
d
dx (f (x) · g(x)) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
(5 p) (5 p)
6.2 L˚ at f vara deriverbar i intervallet [a, b] och l˚ at f (a) = f (b).
Visa att det finns minst en punkt c ∈ (a, b) s˚ a att f 0 (c) = 0. (Rolles sats) (5 p)
Suppose that f is differentiable on the inter- val [a, b] and let f (a) = f (b). Show that there exists at least one point c ∈ (a, b) such that f 0 (c) = 0. (Rolle’s theorem) (5 p)
6.3 Visa att
x ≥ ln(1 + x) f¨or x > −1.
Show that
x ≥ ln(1 + x) for x > −1.
(5 p) (5 p)
Tentamen M0029M(080429) - Kortfattade l¨ osningsskisser
Med f¨orbeh˚ all f¨or ev. felaktigheter.
Uppgift 1
P˚ ast˚ aende
n
X
k=1
k
2 k = 2 − n + 2
2 n (1)
Startsteget (n = 1) VL: 1
2 1 = 1/2. HL:2 − 1 + 2
2 1 = 1/2, dvs. p˚ ast. (1) sant f¨or n = 1.
Induktionssteget
Induktionsantagande:
P˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or n = p, dvs.
p
X
k=1
k
2 k = 2 − p + 2 2 p . Visa: P˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or n = p + 1, dvs.
p+1
X
k=1
k
2 k = 2 − (p + 1) + 2 2 p+1 =
= 2 − p + 3 2 p+1 .
p+1
X
k=1
k 2 k =
p
X
k=1
k
2 k + p + 1 2 p+1 =
= (Ind. antagandet) = 2 − p + 2
2 p + p + 1 2 p+1 =
= 2 − 1
2 p p + 2 − p + 1
2 = 2 − (p + 1) + 2
2 p+1 , och vi ¨ar klara.
Slutsats
Enligt induktionsaxiomet och ovanst. punkter, ¨ar p˚ ast˚ aendet (1) sant f¨or varje heltal n ≥ 1.
Uppgift 2
(a)
tan 2x sin 3x → 2
3 d˚ a x → 0.
(b)
2 x + x 2 · ln x
→ 0 d˚ a x → ∞.
(c)
x 3 − 1 x 2 − 1 → 3
2 d˚ a x → 1.
Uppgift 3
(a)
f 0 (x) = 2 − π
2 sin( πx 2 ) > 0 f ¨ar v¨axande och d¨armed omv¨andbar.
(b) x = (f −1 )(2) ⇔ f (x) = 2, dvs x = 1.
(f −1 ) 0 (1) = 1 2 − π 2 sin( πx 2 )
x=1
= 1
2 − π 2 = 2 4 − π . Uppgift 4
y = x 2 + 1 x 2 − 1 y 0 = − 4x
(x 2 − 1) 2
Station¨ ara punkter: x = 0.
Lokala max-/min-punkter: x = 0 (lok. max-pkt).
Asymptoter: y = 1, x = ±1.
–10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 10
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
