Institutionen för matematik
Tentamen i Linjär analys Ämneskod M0018M
MAM243 Tentamensdatum 2009-01-12 Totala antalet
uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-14.00
Lärare: Mikael Stenlund Jourhavande
lärare: Lars Bergström Tel: 0920-492057
Resultatet meddelas
senast: 15 arbetsdagar efter tentamensdagen
Tillåtna hjälpmedel: Beta (Mathematics Handbook).
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.
Mikael Stenlund 12:e januari 2009. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. Den dubbelsidiga Laplace transformen av en begr¨ansad funktion ger en transform som ser ut som f¨oljer
Y (s) = s
s3+ s2− 2, d¨ar en pol ¨ar s = 1.
Best¨am den begr¨ansade funktionen samt definitionsstrimlan f¨or ovanst˚aende uttryck.(5p) 2. Best¨am en allm¨an l¨osning till
d2y
dt2 + 2dy
dt + y = e−t2, t ∈ R,
tex. med hj¨alp av Fouriertransformen. L¨osningen f˚ar uttryckas med hj¨alp av en integral dock ej med Fouriers inversionsformel eller n˚agon annan inversionsformel. (5p) 3. a) Best¨am intervall f¨or konvergens och divergens f¨or potensserien
X∞ n=1
(x + 1)n
n2 . (3p)
b) ¨Ar f¨oljande serie konvergent eller divergent? Bevisa ditt p˚ast˚aende.
X∞ n=2
1 n(ln(n))
(2p) 4. L¨os f¨oljande differentialekvation med hj¨alp av Fourierserier.
d2y
dt2 + y = f (t), t ∈ R.
d¨ar f (t) =
(1, −π ≤ t < 0
0, 0 ≤ t < π och f (t + 2π) = f (t). (5p)
5. Ber¨akna kurvintegralen I
CF · dr
d¨ar C ¨ar kurvan som ¨ar snittet mellan cylindern x2 + y2 = 5, och planet z = y som genoml¨ops moturs sett fr˚an punkten (0,0,10). Kraften F ¨ar lika med (y, −x, z2).
(5p)
6. L¨ os endast en av f¨ oljande uppgifter A, B eller C.
A Bevisa f¨oljande p˚ast˚aende X∞ n=1
|an| < ∞ =⇒
X∞ n=1
an ¨ar konvergent.
Ge dessutom ett exempel p˚a att omv¨andningen inte kan g¨alla. (5p)
B Anv¨and definitionen av distributionsderivata f¨or att bevisa att om f ¨ar en o¨andligt m˚anga ggr deriverbar funktion och U ¨ar en distribution att d˚a g¨aller
d
dt(f U ) = df
dtU + fdU
dt i distributionsmening.
(5p) C Anv¨and definitionen av enkelsidig Laplacetransform L f¨or att h¨arleda f¨oljande formler.
a) L(f0(t))(s) = sL(f(t))(s) − y(0) (2p)
b)
L(sin(wt)))(s) = w
s2+ w2, Re(s) > 0.
F¨orklaring varf¨or Re(s) > 0 ¨ar n¨odv¨andigt skall vara med. (3p)
