Luleå tekniska universitet Institutionen för matematik
Tentamen i Diskret matematik Ämneskod M0009M/M0036M-0003 Tentamensdatum 2011-08-22
Skrivtid 09.00-14.00
Totala antalet uppgifter 6
Lärare Thomas Gunnarsson
Jourhavande lärare Thomas Gunnarsson tel 0920-491850 Resultatet meddelas via studentportalen senast 15 arbetsdagar efter tentamensdatum
Tillåtna hjälpmedel Inga
Till alla uppgifter skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även delvis lösta problem kan ge poäng.
Enbart svar ger 0 poäng.
Betygsgränser 3 14-18 4 19-23 5 24-
1. a) Gör en Huffman kod för kodning av symbolerna a, b, c, d, e, f, g, h, i och j då vikterna ges av
symbol a b c d e f g h i j
vikt 1 1 2 2 6 3 4 5 9 4
Gör en tabell för hur a, b, c, d, e, f, g, h, i och j kodas. Ange också hur ”hej” kodas.
(3 p) b) Hur många bitar tjänar man om man använder Huffmankoden från a) jämfört med att använda ett fixt antal bitar för varje symbol? Man sänder symboler i det antal som
vikterna anger, dvs 1 a, 1 b, 2 c:n, 2 d:n, 6 e:n, 3 f, 4 g:n, 5 h:n, 9 i och 4 j? Det fixa antalet bitar väljes så litet som möjligt (1 p) c) Rita en ändlig automat vars ingångsspråk består av alla strängar som är kodade enligt Huffmankoden från deluppgift a). Automaten skall skriva ut respektive symbol a, b, c, d, e, f, g, h, i och j när motsvarande sträng med 1:or och 0:or lästs. Automaten bör återgå till starttillståndet då en sträng för en symbol avkodats. (1 p)
2. a) Gör en sanningsvärdestabell för utsagan
€
[ p ∨ ¬(q →r)]∨ [(( p ∧ r) → p) ∨ ¬( p ∨ q)]. Hela tabellen skall fyllas i. Är utsagan en tautologi? (2 p) b) Bestäm den disjunktiva normalformen till det booleska uttrycket
€
(x 1+ x 2) * (x2+ x3) (2 p) c) Rita en logisk krets för
€
(x 1+ x 2) * (x2+ x3) (1 p)
3. a) Konstruera en 1-felskorrigerande matriskod med hastighet 6/10 för kodning av elementen
€
w ∈ Z2
6. (3 p)
b) Visa hur
€
101010
[ ] kodas. (1 p)
c) Visa hur avkodningen fungerar då det uppstått ett fel på plats 5 i svaret från b).
Visa också om och hur matriskoden upptäcker om det blivit fel både på plats 5
och plats 6 i svaret från b). (1 p)
4. Låt
€
sn = (2 * k2*
k =1 n
∑ 3k+ 6 * k2).
a) Ställ upp en rekurrensekvation för
€
sn. (1 p)
b) Ansätt en partikulärlösning till ekvationen i deluppgift a). (1 p) c) Visa med induktion att
€
sn = −3 + n + 3n2+ 2n3+ (3 − 3n + 3n2)3n för
€
n ≥ 1 (3 p)
5. a) På hur många olika sätt kan bokstäverna i ordet ”reseförsäkringar” omordnas om r:n ej får stå ihop och delsträngen ”rese” och delsträngen ”ring” hålls ihop?
(2 p) b) Hur många möjligheter finns om istället delsträngen ”kring” hålls ihop och e:na inte får stå ihop och s:n inte får stå ihop? (2 p)
c) Rita en ändlig automat vars ingångsspråk utgörs av alla ord som fås genom omordning av bokstäverna i ordet ”reseförsäkringar” och som skriver ut en 1:a om delsträngen ”resa” förekommer i ordet. I annat fall skrivs inget ut (1 p)
6. a) Bestäm
€
[179]−1 mod 2011. Använd Euklides utvidgade algoritm. (2 p) b) Beskriv hur krypteringssystemet RSA fungerar och används. Ange också varför
RSA är säkert. (2 p) c) Formulera Fermats lilla sats (dvs. den sats som kan användas för att visa att
krypteringssystemet RSA fungerar). Ange också resten då
€
502011 delas med 13.
(1 p)
