Lärare: Lars Bergström

Institutionen för matematik

Tentamen i Matematik M Ämneskod M0013M

MAM235

Tentamensdatum 2008-10-24

Totala antalet uppgifter: 5 Skrivtid 09.00-14.00

Lärare: Lars Bergström

Jourhavande lärare: Lars Bergström Tel: 2057

Resultatet meddelas i studentportalen senast: 15 arbetsdagar efter tentamensdagen

Tillåtna hjälpmedel: Inga.

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar

och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Ef-

ter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta prob-

lem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.

1. Låt z = f ( x , y ) = x + y .

a) Bestäm ekvationen för tangentplanet till ^{f ( x , y )} i punkten (2,1). (2p) b) Beräkna riktningsderivatan D

f ( 2 , 1 ) då u har samma riktning som

vektorn _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 4

3 . (3p)

2. Bestäm ∫ ^{− + +}

C

x

yx dx xy y dy

e ) ( sin )

(

då C är den medurs orienterade randen

till området x

+ y

≤ 4 , x ≥ y 0 , ≥ 0 . (5p)

3. Bestäm flödesintegralen ∫∫ ^⋅

S

ds N

F ˆ där vektorfältet

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

= y

x x F

3 cos

2

och ytan S

innesluter volymen V definierad enligt V : x

+ y

≤ 1 _, 0 ≤ z ≤ 3 . (5p)

4. Funktionen f (x ) är definierad enligt f (x ) =

⎩ ⎨

⎧−

, 1

, 1

π π

<

<

<

<

− x

x 0

0 , f ( x + 2 π ) = f ( x ) Bestäm Fourierserien till f (x ) . (5p)

5. Bestäm u ( t x , ) som uppfyller

2

x u t

u

∂

= ∂

∂

∂

, 0 ≤ x ≤ π , t > 0 u ( 0 , t ) = u ( π , t ) = 0 , ∀ t

u ( x , 0 ) = sin x + 3 sin 7 x , 0 ≤ x ≤ π (5p)

Svar till tentamen i M0013M 2008.10.24

1. a) ( 1 )

3 2 ) 1 2 ( 3 2

3 + 1 − + −

= x y

z b)

30 3 7

2. − 2 π

3. 0

4. sin( 5 ) ...)

5 ) 1 3 3 sin(

) 1 (sin(

) 4

( x = x + x + x +

f π , ( 2 ( 1 cos( π ))

π ⁿ

b

= n − )

5. u ( x , t ) = e

sin( x ) + 3 e

sin( 7 x )