Dissertatio de curvis reciprocis, cujus partem posteriorem cons. ampl. fac. phil. Ups. publico subjiciunt examini Johannes Bredman ... et Gustavus Ernest. Sprinchorn, Nericius. In audit. Gust. maj. die 15 Nov. 1800. Horis p. m. solitis., P. 2

DIS SERTATIO DE

CURVIS

_RECIPROCIS,

——— CUJUS Partem Posteriorem

CONS. AMPL. FAC, PHIL. 'UPS..

PUBLICO SUBJICIUNT EXAMINI

JOHANNES BREDMAN,

PhiI,, MA G.

jet

GDSTAVÜS

ERNEST.

_SPRINGHORN,

n ekiciusi

In Audit. Guft. _{Maj. Die 15 Nov. igoo.}

Boris _{p. m. Solitis»}

UP _SÅLIJE»

'Tyfogr.-VIR I

_S,

IN SACRAM RHGIAM MAJFSTATEM

MAG NJE Q SPEC TATJE U

CELEBERRIMO, EXPERIEKTiSSIMOOnE D.-sro

Docr.

SVENONl

,

Medico S. R. M. Primario, Reg, Cqllegii Medici

Adsess.orIj. Societatis Med. Dan. Membro,

AMPLISSIMO A tqu je PRJECLAKISSIMO D:no

Mag. SVENONlG.ABK.

_HEDIN9

Ad Reg. Gymn. Stregnes. Matheseos

Lectoru-ADMODUM REVERENDO et PKjECLARISSUW'O Du*o

€

ARO

LO

GEST,

HEB

IN

$

S. R. C. a _Sacris, Pastori _ad Ecclesias Lillkyrka _et Oby*

FATRONIS 7ETERNUM COLENDIS

SACR UM

Bebuif5 Vofait'

VI

_RO,

ADMODUM REVER. et PRiECLARISSIMO,

D;no

PETRO

MC

_JSANDER,

s, R. C, a SACR1S, ECCLESIARUM ODENSALA et HUSBY

PASTOR! et RRiEPOSITO,

PATRONO O P

TI MO,

%£ui, integro fere

abhinc biennio in

partem

duUisjimarum

Tibi

zur arum vocatus* Patemum Ef in me Tuum quotidie expgriar

animum _{btneßciaque Patriis non} minor_a, placidus qucefo _Adm. Rev. Vir accipias, quod, qua unicc

posßum,

.venembundam

gra-tisßmi Pectoris

memoriam*teßatum

eam,

votaque,

pro

Tua

Fa¬

milie? que Te dignisfimee

profperitate, pia

mente concepta toties.

femperque

coneipienda,

ß7*

in

publico

aißm

nuneupare. Permanßurus, ium vixero

N O M 1 N I S T U I

Cultor humillimus G. E, SPRINGHORN.

4^ ) 13 ( i

§. I O.

In åuabus curvh _{Reripvocis Subtangens uniui iß aå}

Subfangentem alterms, ordinatis utriusqm linea femper a*

quuhbus pofitis, in inverfa tatione Tangv ad Coiangv.

Kam _{*Fig. 4.) MP : F i : : Stev .• Co/u : : y : F7\}

ed-eoqoe expresfio _{Subtangencls IP in curva data eft}

y Cofv

■— —

, fed Sinv curvae unius srquarur Cofv curvae altcriuS

Sinv

(§. 1.), ergo expresflo Subtangentis Reciprocse etil

y Sinv

stque Subtangens dar« ad Subtaogentem

Red-y Cofv y Sinv Cofv Sinv

proc«, yr —:— : —— :: — _{.*7-7- •* * Coiangv :}

Sinv _{Cojv Sinv Cojv}

Cofv «SVffiA Tangv5 (nam Coiangv == —™, åc Tangv s=

_J,

h.

e»

iöverfe ut _{Tangv ad Coiangv,}

CorolL i. Quories Tangv _{Coiangv, toties}

Subtao-gentes utriusque curvce inter i'e quoque funt «quates,

Hoc ve ro _{accidit, quando t? fit «quaiis bemire&o»} s. Com _{Tangv toties infinita evadat, quoties Co-*} tangv o, & contra, _{fequitur» ut Subtangens unius}

curvae ht _{infinna, dum Subtangens}

alterius evanefcar.

Fit vero _{langv =}

®c, _{quando Ang, v zz Rcéfo, &}

langv = o, quanuo v o,

§. II.

/» _{duabus Reciprocis Subnormalis}

unius eft ad

Subnor-malem _{alterius in dire&a ratione}

langv ad Coiangv, Nam

2 T : FM: ; TM : TN : : Cofv _{: Sinv :: y :}

AfV,

_unde

ex-♦ ) H C 4

f^ y §jnv

expresfio Subnorm&Iis PN curvse dats? ed —-—>,

adeo-Co/z;

y _Cojv

que erit expresfio Subnormalis curvae Reciprocse ——-~f

htnv Sc Subnormalis dat» ad Subnormalcm _Reciprocae,

ut y Sinv y Cofv Sinv Cojv

; ; —» : —- ; ; _{Tango : Contangv,}

Cofv Smv Cofv Smv

Coroll, i. Sobnormales utriusque _{curvas inter fe funt}

sequales, quando Ang.v, Semireélus evadst, Quoties

ve-ro Subnormalis in akerutra linéa _{evanefcir, tories in al¬} tera fit _{infinka, & contra.}

y Cofv

2. Cum expresfio _{Subtangentis *7— in una curva} Smv

cadem _{fit, ac expresfio Subnormalis in altera, åc e}

con-y Sinv

trario, expresfio Subnormalis - ■ ■ - illius lioese eadem

Cofv

fit ac _{expresfio Subtangentis hujus, fequitur, ut Su hrän¬}

gens unius curvae femper fit aequalis Subnorrnali akerius,

&, contra.

$. Segmentum axis 7/V, inter Tangenrem 8c

Nor-malern _{inrereeprum, in utraque curva femper eft sequale»}

12.

In duahus _{Reciprocis Tangens unius e'ß ad Tangentem} aiterius in i nver_{fa ratione Sinv ad Cofv. Normalis vero}

u-nius ad Normalem aiterius in dire&a ratione Sinv ad _Cofv, Nam eft PM ; TM : : Sinv : i : : _{y :} TMy _unde

ex-y '

presfio Tangentis in curva data ed TM z=z~— ,

adeo-Ssnv

fy ) 15 ₍

4-I l

Sinv _Cojv h. e. inverfe ut Sinv ad Cofv.

Porro cum _{angulus PMN ^2 PTM r=}

w _{, erit FM,"}

MV = _{Ca/y ; 1 =}

y : MN, unde _{expresfio Normalis}

jy

A/iV in curva asta eft

"prjp»

adeoqus

ejusdem)

expresfio

y

in _Reciproca

*77777, & Normalis datae ad Normalem

Re-Coroll. i. _Tangens

unius curvae _{aequalis eft}

Norma-li _{alterius, & vice verfa, Nam}

expresfio _{Tangentis in}

una _{eadem eft ac}

expresfio Normalis in _altera,

a. _{Ttngentes duarum}

Reciprocarum inter fe _paral¬

lel« evadunt ad _{angulum v Semire£lum.}

Evaneficente

vero _{vel Sinv vel}

Cofv, _angulum redum _{protra£la? con¬}

tinent. Hinc _{Tangens unius}

curvae in tot _pun£tis paralle-la eft axi _{abfcisfarum, in}

quot _{Tangens alterius, axi}

or-dinatarum.

3. Si axis Åbfcisfsrurn ab altera curva sd _aogulos

refilos _{fecetur, & Normalis vel}

Suboormalis _ejusdem

curvae in _{punfto inrerfeßionis}

non _{evanefcac, erit »lic} A

_(ymp

_to?

us åkeri curvae _Reciproca

ciprocar, ut : : Sinv : _Cef

v.

Cojv Sinv _{Cojv Sinv}

C g

♦ ) 16 C #

4, Taugens uniiis curvae

eundem

femper

angulum

cum axe Abfcisfcrum continet, sc Normalis alteriüs cur»

vae cum eodcm ixe.

§. 13,

In duuhus Reciproeh Radius cwvntura unius eß ad f*i»

flium curvätu*& alterms tn mverja ratione Swv ad Cofv.

Coradn v-ro jeu Subofculatrices junt in inverfa rattone

Tangv ad Cotangv. Smt rad ii

ofcuii

MC & mC in

pirn®

fto curvae infinite propinqui, qui fua

incerfeclione

_cen¬

trum curvarurae to C determuiant, t quo dufti eft refta CRy sxi TN parallellv donec ordinatse MT,

produÖae

$ _{opus eft, occurrar. Proprer limilia}

_{marigula MEQ &}

MIP erii» _{polito ME} rz u} TP : TM : :

^ME

: MC : :

u

CofvJ : z : : u : MC, adeoque MC = rrrr» Jam cum ra-Cojy

dins MC conftans _{intelligi posftr, quamdiu} ex centro C

ircus infinite _parvos Mm defcribitur» erit ftaxio ipfius Cofvdu — udCofv

MC nihilo _{sequalis, fen} ~ ©?uodeas

Cofv2

Cofvdu

—■. Eft vero du =s dy, quum PB hoc momeoto et«

dCojv

Cofv dy

iam conftans cenfsri _{posftr, adedque ME}= u == —~ -9

'

a_Cojv u

Inventus vero eft MC == —, quare fubftiruro valöre

Lojv

ipfius uy erir exprtsfio Rada curviiurse in Lioea d-atass

dy e dy

7~—. atque hinc eiusdemefxpresfio in, Reciproc^ = 7—;™*.

d_{Cofv d hinv}

Eft vero é_{Cofv = — dv Sitiv% & d Sinv = av Cojv^} qui-bas

4% ) i?

(

4

bys itaque

(ubüitutis

,

erit

tandem

radius

curvaturae

m

dy

data curva ad radium in

Reoproca,

ut «—

«J3?-

~ _{.. : — ~} ; _——~} h. c.

inverfe

ut

Sinv

ad Cofv,

dvCoJv

' '

Sin

v

Cojv

Cofvdy Cofv dy

Invenimus Coradium ME =

»fcu

— ~ —»

&»udy Sinv dy

qui itaque

in

Reciproca

evadet

=

fea

promde

erif

Coradius

unius

ad

Gor&dium

sucerms

}

Ut

Cojvdy Sinvdy Cojv

Sinv

—

—

Cotangv;— Tänj,%^3 V

dv Sinv avCojv Sinv Coj h. e* inverfe ut Tangv ad Cotangv.

Coroll i* Re£la EC, quse radium

MC

Sc coradium

ME coaoeüitj in utraque curva

aequalis

t

iE

Eft

ernrn

O_{fv dy}

IP i PM : i ME : EC,

feu Cofv

:

Sim

: ■ (2 _Oj~r_i»: i

EC,

Sinv_dy

lande in curva data erit EC = ~~7M< >

adeoqu«

in

ejus

dLoJv

Cofv dy

Reciprocar EC = — ,

fed

utraque

fcaec

expresfio,fum-dSinv

dy

tis revera fiuxionrbus Cofv Sc Sinv, evadit -i- _d— ,

qucd

v

itsque monftrat,

bas

re&as

in

urrafue

curva tion,

om

figois, differre.

2, Cum expreifiohes radii _curvaturae

in

duabus

Re-dprocis diveriö

afficiantur

iig.no,

indicium

eft,

quod

ra-\i

) 18 _{( 4^}

adit ad _{pUgns in}

ter fe oppofiras _{feipper vérg^nt, feu} juoü Suära curva <usm _{concavitatero alterius}

concavitar?5

& _{corivexitaiem altenus}

convexirsti. _{op'ponat. Diréöe}

ramen _{oppofiti feu inter fe}

pa-ra-lieli radii non _fiunt,

niü evadente _{anguio z; Semire&o Hoc}

enirri ca.fu

Tan-gentes, sei quas radii ofeuli fem_{per fufit normales, inrer}

fe _{parailcise evadunt (§.}

12. CorolL. 2

5-.3«- _{Anguius, & Tangente unius curvae & axe}

abfeis-farum _{comprehenfus, argulo,}

& Norman _{ürenus ein vre}

«Sc eodem axe _{conrenro, coorrarie ett}

oppofnus.

, 4» Curvaturae in utraque .iinea, ad _sequalcs

ordina-tas, in direöa funt rltione Sinv ad _{Cojv Sunt enirr?}

cur-vaturae _{duorum Circulorum inverie}

ut radw _^Equaliter

itaque ambee lineas funt curvatae cantuni ad _ang,

v Se-mire&um»

§. 14.

In ducibus _{Peciprocis fluxiones arearum inter}

f« _{funt in}

inverfa ratione _{Tangv ad Cotangv. Fluxiones vero}

ipfavum

linear_{um, in inverja ratione Sinv ad}

Cojv. Eft enim in

da-Cojv dy Sinv dy ta curva dx = _{——, Sc 10} Reciproca dx r= -—— Sinv r Co/v Ccfvydy {§. 1). Ursde in illa erit fluxio areae _{ydx =}

ar-Sinv

Sinv _ydy

que in hac ydx= fed hae _{expresfiones inter fe}

Co]v Sinv

tum, ut ad _{> h.-e, Inverfe ut}

Tangv

ad_Cotangv,

_ Ferro, pofita linea AM s s, eil PM ; TM _{: :}

Sinv : i : : _dy

: dz} und® erit fluxio curyss datae dz rs

4* ) (' 4- !

dy dy

—-, adeoque fluxi© Redprocae dz z= -•— 3 fed ißa flu«

&'»t? Lojv

ii

xioncs _funt» ut — ad-——-, h. e. ioveiTe ut Sinv ad

Sinv Loj_v

Cajv.

§. 15,

Quum ambae lineoe Reciprocse ranta gaudeant

pro-pinqimate, qisanta jam vid imös, facillimum eft inventu, quod, data alterutra cur va vel fecundum aequationem ve!

figuram , alters quoque eodem modo expresfa iine mul~ to la.bore _{reperiri pösfir. Qua ratione ex} data

quacun-que _{a>quatione aequatio Reciprocae deriverur, fupra jam}

offen fum eft , reflat iraque, ut paueis monftremus , quo

modo ex curva _{jam de {'erinra ejus Reciproca delineari}

posfit. Quod fl accidat, ut aequatio Reciprocar

Algebrai-ca _{fit, curva} modo confveto _{facile coriftruirur, fin fits¬} tem Tranfeendens es_{fet, conftru&io pari fere facilitate}

peragi poteft fequenti modo : Sit eum in finem data quaedam curva, ex. gr. Parabola Apolloniana AB (Fig. 5.), & quseratur ejus Reciproca ad axem abfeisfartixn JHKt

qui fimul ejus efl Diameter Abfolura. Ducanrur quot»

cunque rectae axi parallele , quo inter fe propiores,

eo melius _{? atque e punbtis M, m,}

jj.y See. quibus curva ab illis _{ffecatur, re£tx MN, mn, y.v, ad curvam norma¬}

les, Sc axem in /V, n, v fecantes. A pun&o _quocunque

T in _{proxima parallel« ducarur re&a TS ad axemf adeo}

ut _{anguli TSA Sc MNÅ fint aequsles Sc inter fe oppofiti,}

etque protrsharur re&a AT" ad alteram para-lelarum in C. Per C ducarur ad axem re&a _{FI), adeo ut CDA =s mnA,} atque per E red-a GF\ ita ur EFA er™ pvA, & lic

dtin-ceps , ttque erunr pun&a 7\ C> P, Cr, See, in Recq _ro¬

ta _{qusfica ,quaoi praefcnti cafu fcimus esfe Logarithimcarn.}

) 20 c 41"

Cum cnirn _{parallelae FQ fibl invicem valde propin- J}

quae fint, reftae 7d>, GD% EF, &c. uruc Tangémes cur«

v® in _{7', C, F,} &c. _{ae{timan posfunt, fed (per conftr.)} HUT*, _{ungentes cum fixe angulos coiripre-hendum äquales}

&_{oppofuqs angulis, quos Normales aIterins curveecum}

eo-dem axe _{formant, ergo curva per pun&a}

7, C, F,

tran-fiens _{Reciproca eris curvae data;}

_AÉ

_{{§. 12. Coroll. 4%}

& _{§, 13. Coroll, 3 ). Ducatur iraque revera per pun&a} 7, C, E, G, öcc. curva Af/, quae _{proiongara furfum ad} punctum / femper nititur, ur normalis evadar ad axem

UK, quoniarn altera curva ./fi? produ&a fem_per sd pa-ralleiismum cu.rn codem axe tendit _{(§. 12, Cor. 2). Cum}

vero curva /Ii? normaliter rranseat axem in _{pun&o /I,} ad _{quod pun&um Normalis aequatur dimidio Paramem,}

idem axis HK _{Afymptotus erit Reciprocae deorfurn}

pro¬ ducta? _{(§. 12. Coroll. 3,. Adcurare löquendo, re'£tae 7*5,} CD, AF, Tangentes dici nequeunr, nifi paralleiae PQ

inter fe infinite _{propinquae evadant, fufficiens tatnenhaec} methodus eft ad _{Reciprocae duclutn infpiciendum. Ex}

aliis _{Reciproearum pröpriératibus mutuis, antea}

monftra-tis,(imiliter curva _{Reciproca defcrsbi posfet. Sic in}

prse-fenti _{exemplo facihs habetur methodus, inge quod}

Sub-normalis curvae _{dar®, adeoque erjam Suhtangens}

Reci¬

procae (§. 11. Coroll. 2)5 lit conftans-, quaoi ramen brevi-ratis _{gratis omitteoius.}

Hlnc quoque facilis deducitqr methodus quamcun-que curvam, _{aequatiooe q uadam Tranfcendenti expresfam,}

cujus tarnen _{Reciproca Algebraicaeft, delineandi.}

Poftu-Cum hscc _{sequ.atio Ålgebraice integrari}

nequeat, videa-§. 16,

y

4* ) si i

4-tur, annon ejus

Reciproct

Gcometrica

fit-

Ex data

st-dy ffy~ a% ,

quatione habetur «fr sk > uaae in Reciproct ydy

gris dr = —~5 quse integrata asquaticnem reddir

y2-f»a2

Algebraicam x zrz Vja-f*<22 i C.

Conftruatur

hacc

ae-quano, qucE ad Hyperbolam aequilareram eft5 & reprse-feritet DhF5 def {Fig. 6.) curvam inde provenientem,

ad quam Reciproca eodem modo, nc in praecedenti

e-xemplo invemn posfet. Labor vero non par um

diminui-tur, fi ad _{fequentia animum prius atrendamus: Cum axis}

Abfcisfarum AB a curva ad _{angulos re£tos io} puoctis B,

e3 fecetur, in quibus _{Subtangens curva? non} evanefcit, _e~

rit ilie axis _{Afymprotus Reciprocae (§. 12. Cor. 3.),} cum Afymptori CG> _{Cg Tangentes evadanr Hyperbolae} 10 infinitum _{producta?, fed anguli GCB 8c gCA} femire-£ti _{fint, erit uirimus nifus Reciprocse, furfuoi producta?,} ut _{psrallela bat re£lis GC. gC, (§. 12. Coroll. 2). Hiac} ductuf _{Reciprocae ftatitn facile perfpicitur, Sc absque o*} srtni _{pratparanone delineari poreft curva. Conftat feil,}

quatuor partibus, quarum quae ad rsmos fupra axern BD

Sc ed _{pertioent, per Bl 8c ri re(pe£live funr}

reprasfenta-fae, _{quibus ad inferiorem axis parcem fimiies refpondenr}

Sine® /_{g_, pq. Curva iraq-ue, partibus Rl% ri7 PQj pq:}

conft&as, quafi Geometrie* eft imago asquaiiouis Trau»

fceodentis x

X

„

IT

♦

n

«

1

♦

«r *

dyFy'i—a*

habuisferausdx=— —— , arque in Reciproca Ä=

*

—!_-», feu jr = |/j2-^-^s , quac itidem aequatio Vy1

Hyperbolse arquiltrerae eil:, fed cujus sbfcisfae x in exe

fecundo HK funr numeratae. Cum in _{pun&o E Tangens}

Hyperbolae axi abfcisfarum parallela fit, eilt Reciprocae Tangens ad idem pun£lum eidem axi normalis, & cum

angulus» ab Afymptoto Sc axe formatus, fit Semire£ius, Reciproca, magis magisque continuara, femper ad

paral-lelismurn cum _Afymptoto

_Hyperbolae

_tender,

_Hinc

fa-cile defcribitur _{curva, quae etjam quatuor conftar parti«}

busi qutrum quae ad ramcs Hyperbolse EF Sc ED

per-finent, lineis EM Sc EN, quae ver© ramis ef Sc

ed _{refpondent, curvis em Sc e n repraefentari pos°}

funt. Eodem _{prorfus modo Tra£loriam,}

eequatio-dyyj —ja

ne ax n== _{expresfam,atque ope}

cir-—

y.

culi, radio a defcripn, qui ejus _{Reciproca efi, delinea«}

tam, quatuor conftitui ramis, ad axem abfcisfarum, tara» quam Afymptocum, reUtis, monfirare posfemus,

ftd

PT

Ife"..

«SS- ■4. F) " ( ♦

e" »