Alligationsräkning

I alligationsräkning ges en metod för att lösa en viss typ av problem där det i regel finns mer än en lösning.

Såsom vi redan under Ramus nämnt, äro hithörande problem hos de gamle af den obestämda natur, att många lösningar derå kunna erhållas.⁴⁸⁹

Det kan vara intressant att studera termen alligation ur ett språkligt perspektiv. Enligt Wessén i Våra ord betyder alligation fastbindning.

486 Zweigbergk, 1856, s.145.

487 I Cap. XI, Simpel s.379-386 och Duplex s.386-400 i Agrelius, 1975.

488 Se t.ex. s. LXXXVII i Aurelius 1614.

489 Hultman, Tmf, årgång1, 1868, s.60.

Alligatio betyder fastbindning och alligáre, binda fast.⁴⁹⁰

En mer utförlig beskrivning av termen hittar vi i Webster från 1913 och en översättning av den engelska texten under Alligation är följande:

Alligation = legering. alligera = att räkna ut priset eller halten av flera uppgivna summor i en blandning.

1. Den handling där man knyter samman eller binder samman något baserat på ett band. Det kan också betyda själva händelsen när något binds samman.

2. (Aritmetik). En regel som är relaterad till lösningen av frågor som handlar om att avgränsa eller blanda olika ingredienser (ingrediens kan betyda ”en del/beståndsdel”) med olika kvalitéer eller värden.

Kommentar: Regeln har namngetts efter metoden/processen där man kopplar ihop termer genom speciella bindande tecken.

Alligation kan vara på två olika sätt, medial (genomsnittlig/medelstor) eller alternerande (omväxlande). Medial är den metod när man kan finna priset eller kvalitén på en blandning av flera enkla ingredienser vars priser eller kvalitéer är kända. Alternerande är då man kan finna mängden på varje enskild ingrediens (ur blandningen av flera enkla ingredienser) vars pris eller kvalitet är känd, vilket krävs för att göra en blandning av ett givet pris eller kvalitet.

Alltså: man kan tillämpa metoden alligation på två olika sätt 1. tillämpa när en avgränsad/exakt blandning krävs: omväxlande 2. tillämpa när priset eller kvalitén av blandningen ska fastställas:

medial⁴⁹¹

Den metod som behandlades i de gamla läroböckerna under rubriken alligationsräkning kan hänföras till den första kategorin dvs.

omväxlande eller alternerande. Man vill bestämma mängden av varje enskild ingrediens i en blandning om man både känner de olika ingridiensernas priser eller kvaliteter och det pris eller den kvalitet man vill att blandningen skall ha. Blandningens pris är ett viktat artimetiskt medelvärde av ingridiensernas priser.

490 Wessén Elis, Våra ord - deras uttal och ursprung, 1988.

491 http://onlinedictionary.datasegment.com/word/alligation. under Alligation - Collaborative International Dictionary of English v.0.48.

I den andra alligationsmetoden, den mediala metoden, känner man de ingående ingridiensernas priser och vill bestämma blandningens.

Zweigbergk skriver:

Alligationsräkning eller blandningsräkning lärer att besvara sådana frågor, som kunna förekomma, då flera ämnen af olika halt eller värde hopblandas till en massa.⁴⁹²

I problem som leder till alligationsräkning föredrar Zweigbergk algebran. ⁴⁹³ Björling anser att det bara är medelvärdesberäkning som skall tillhöra alligationsräkning. För att lösa andra blandningsproblem skall man använda algebra.⁴⁹⁴

Hultman tar upp ett exempel på alligationsräkning, där Stjernhjelm använder sig av algebran. Hultman hämtar följande uppgift från Stjernhjelms lärobok:

Ex. Jag hafver ett slag af silfvermynt, det jag intet känner, och vill gerna veta, hvad det håller i korn, sänker det derföre och finner, att 16 lod drifva vattnet till 68 steg i röret, der dock det finaste silfver icke drifver vattnet högre än till 64 steg. Fyra lod ren kroppar deremot drifva vattnet till 74 steg (ty 64 är till 74 i det närmaste som 25 till 29).⁴⁹⁵

Han skriver:

Stjernhjelm uträknar detta exempel medelst den egendomliga alligationsräkningen … sålunda:⁴⁹⁶

Derefter bildar han analogierna:

492 Zweigbergk, 1908, s. 208.

493 Zweigbergk, 1856, s. 151.

494 Björling E. G., 1837, s.89.

495 Hultman F.W , Tmf, Årgång 3, 1870, s.84-85.

496 Ibid, s.85.

10 delar af blandningen gifva 16 lod, hvad gifva 6 delar silver?

Svar: 9 lod 10⁴₅ grän silfver.

10 delar af blandningen gifva 16 lod, hvad gifva 4 deklar koppar ? Svar: 6 lod _{7 5}¹ grän koppar.

…

Om x= antalet lod silfver i myntet på 16 lod, och således 16 x− = antalet lod kroppar i samma mynt, leder ofvanstående problem till eqvationen:

( )

64x+74 16−x =16 68,⋅ Hvaraf

74 68 6

16 16,

74 64 10

x −

= ⋅ = ⋅

−

Hvilket är alldeles samma räknemetod, som den Stjernhj.

begagnat. Stj. begagnar vid flere exempel äfven algebran i st. f.

alligationsräkningen.⁴⁹⁷

En mer konkret uppfattning av vilken typ av problem som behandlas i alligationsräkning ger följande exempel av Aurelius:

V. Item/ En Apotekare sälier 1 Skålpund Pepar för 4 marck. 1 Pund Neglikor för 3 marck. 1 Pund Caneel för 6 marck. 1 Pund Safran för 10 marck. Item/ 1 Pund Ingefer för 8 marck. Huru mycket skal han tagha af hwart slagh/ så at ett Skålpund kan kosta 7. marck?

Alligere först Peparen och Ingferen tilhopa. Sedan Neliker⁴⁹⁸ och Safran. Til thet sidste/ efter allene Canele öfwerblifwer/så alligere honö medh Ingeferen/ så hafwer tu ett pund af thesse fem slagh tilhopa blandade för 7. mk.

497 Ibid, s.85.

498 I Aurelius första upplaga från 1624 finns två tryckfel. I stället för Neliker skrev man Canel och istället för 1/3 skrev man 3/13 för Canel. Kursivstilen är min.

Pepar. 4. 1.

Aurelius ger inga närmare förklaringar till sin metod. Samma uppgift finns i en artikel av Hultman om Clavius under rubriken Alligationsräkning. I Hultmans beskrivning av Clavius’ lösning finns nästan samma tabell som den vänstra delen i Aurelius framställning.

Hultman förklarar lösningen på följande sätt:

Man uppställer problemet på det sätt, som vidfogade schema visar.

Alla ämnen, hvilkas pris äro mindre än medelpriset, sättas ofvanföre detta; de öfriga nedanföre. Derefter kombineras hvart ämne, som står ofvan medelpriset, med ett hvilket som helst af dem, som stå nedanföre. Man iakttage blott, att alla ämnen få vara med. I detta exempel kombineras

peppar med ingefära, nelikor med saffran, kanel med ingefära.

Man börjar sedan räkningen med den första kombinationen (peppar och ingefära), i det man tager skillnaden mellan medelpriset 7 och pepparens pris 4, samt ställer den funna skillnaden 3 midt för ingefäran. Vidare uppskrifer man skilnaden 1 mellan ingefärans pris 8 och medelpriset 7 midt för pepparens. På samma sätt förfar man med den andra kombinationen (neglikor och saffran) samt med den tredje kombinationen (kanel och ingefära). Förhållandet mellan samman af de emot ett ämne stående skilnader och summan 13 af alla skilnaderna utvisar den mängd, som af i fråga varande ämne skall tagas, för att 1 skålpund af blandningen skall kosta 7 julier. Enligt detta skall här tagas ¹

13

499 Aurelius 1614, s. XCII-XCIII. Lösningen är helt korrekt men det finns ett tryckfel i den upplaga som jag har.

pepar, ³

13

neglikor, ¹

13

kanel, ⁴

13

saffran och ⁴

[

^skålpund

]

⁵⁰⁰ingefära.för att 1 skålpund af blandningen skall 13

kosta 7 julier.⁵⁰¹

Ett försök till förklaring av lösningen är följande: Man vill åstadkomma en kryddblandning sådan att ett pund kostar 7 Mark. Man blandar peppar med ingefära i proportion

(

^{8 7 : 7 4−}

) (

⁻

)

^{=1: 3,}

nejlikor och saffran i proportion

(

^{10 7 : 7 3−}

) (

^{− =}

)

^{3: 4} och slutligen kanel och ingefära i proportion

(

^{8 7 : 7 6−}

) (

⁻

)

^=1:1.Blandingen skall alltså bestå på av följande proportioner: peppar 1, ingefära 3 1 4,+ = nejlikor 3, saffran 4 och slutligen kanel 1. Summan av andelarna är 13. Vi får en blandning med 1/13 peppar, 4/13 ingefära, 3/13 nejlikor, 4/13 saffran och slutligen 1/13 kanel. Blandningen balanseras/kalibreras hela tiden mot 7 vilket innebär att kostnaderna för de kryddor som kostar mindre än 7 skall vägas upp av dem som kostar mer.

En alternativ förklaring ges nedan och och jag gör den i ett fall där antalet ingredienser är fem.

Anta att priserna per viktenhet i storleksordning är a, b, c, d, och e.

Den önskade blandningens pris skall vara k per viktenhet. Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att problemet skall kunna lösas är att

. a< < k e och vi behandlar det fall då t.ex. c < k < d.

500 Alla har enheten skålpund.

501 Hultman, Tmf, årgång1, 1868, s.61

3 4 5 6 7 8 9 10

Vi kombinera a och e, b och d samt c och d.

Det viktade aritmetiska medelvärdet är k

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Den optimala lösningen bestäms av kontexten.

Ett matematiskt problem som har olika korrekta lösningar är ur pedagogisk synvinkel utmanande. Uppgifter av denna typ kan användas vid samarbete mellan företagsekonomi och matematik. I många praktiska tillämpningar vill man t.ex. bilda en blandning av ingredienser med olika priser. Priset på blandningen är givet. Ofta uppfyller flera blandningar de givna villkoren och man vill då t.ex.

bestämma den lösning som ger minst produktionskostnad. Denna typ av problem som är mycket vanlig kallas linjära optimeringsproblem och de kan idag lösas med effektiva algoritmer även om antalet ingredienser är mycket stort.

In document Reguladetri - En retorisk räknemetod speglad i svenska läromedel från 1600-talet till början av 1900-talet (Page 168-174)