Nils Petter Beckmarck

Den första upplagan av Beckmarcks Aritmetik trycktes år 1795.

Efter att Beckmarck ha gått igenom de sedvanliga fyra räknesätten för hela tal och bråk samt vikt, landmätare Scaler, behandlar han reguladetri på s. 89-94 i Kapitel VII under rubriken Om Förhållande och Proportioner. och senare i kapitel VIII.³⁵³ Han ger ungefär samma

351 Ibid, s.164.

352 Ibid, s.167.

353 Se kap.3.2 under Beckmarck, 1795.

definition av reguladetri som de författare som tidigare nämnts. Han skriver:

§. 99. Föremålet af Regula de Tri är således at söka en Term uti en analogie, när 3 äro gifne.

Huru man skall finna den samma är redan utfördt uti föregående Capitel. Vi skole nu visa tillämpning af samma Reglor.³⁵⁴

Ex. När 40 Man kunna på en bestämd tid gräfva 400 cubik famnar;

frågas huru många cubik famnar kunna 50 Man gräfva på samma tid?³⁵⁵

Efter det att Beckmarck förklarat förhållandet mellan de fyra termerna skriver han

Uppkommer analogien 40 : 50 :: 400 :x . Hvareft den obekante kallas x, …, at när x är den sista termen, så finnes den, om jag multiplicerar de båda mellersta termerna och dividerar produkten den yttersta, således är ^{50 400} 500 famnar.

x 40⋅

= = ³⁵⁶

I § 100 på s. 99 går han retoriskt genom en allmän regel, där den obekanta x befinner sig på den fjärde platsen. Han går igenom åtta exempel. Det enda som skiljer sig från exemplet ovan är en liten förändring av uppställningen och det förekommer också ett exempel på omvänd reguladetri.

Beckmarck nämner inte omvänd proportionalitet utan bara går igenom regeln i form av följande exempel:

Om en Fästning kan byggas på 200 dagar af 1000 Man;; frågas huru många Man behöfvas att bygga samma Fästning på 50 dagar?³⁵⁷

Direkt därefter följer lösningen:

354 Beckmarck, 1795, s.98.

355 Ibid, s.98.

356 Ibid, s.99.

357 Ibid, s.100.

Kalla x de Man som sökas, som blir fjerde Termen; 1000, som betecknar månnernas antal sättes således i 3:dje rumet. Af Frågan synes at flere Man behövas at bygga samma fästning på 50 dagar än på 200, således är x större än tredje termen; fördenskull bör 200 sättas i andra och 50 i första rumet och analogien blir

50 : 200 :: 1000 Man. : Man.;x 200 1000 x 50⋅

= =4000 Man.³⁵⁸

Beckmarcks lösning kan enligt min mening ge upphov till mer förvirring än Aurelius’, där regeln åtminstone ges namnet omvänd reguladetri. Beckmarck namnger den inte ens. Han förväntar sig att nybörjare med sunt förnuft skall kunna lösa problemet.

På sidorna 102-108 tar han upp många exempel där termerna är decimalbråk. Därefter ger han en tabell som hjälp vid sortförvandling.

Den har rubriken Tabell, som visar aliqvoterna af Riksdaler, Lispund och Tunnor Spannemål uti deras mindre sort fördelningar.³⁵⁹

På sidorna 112-117 behandlas sammansatt reguladetri. I första upplagan använder Beckmarck termen Regula de Tri Composito istället för sammansatt reguladetri

§. 105. Regula de Tri Compos. Lärer at uplösa sådane frågor, hvarest flere särskilte tal äro gifne, såsom när 5 tal äro gifne och det 6:te sökes, eller när 7 tal äro gifne och det 8:de sökes, o. s. v. I allmänhet bör altid antalet af de gifna talen vara udda. Och ibland alla de gifna talen kan ej mer än et enda vara af samma slag med det, som sökes, då de öfrige 4, 6 eller 8 m. m. alltid blifva af olika slag med det sökta, men dock så, at 2 och 2 af dem äro fins emellan af lika slag.³⁶⁰

Här ser man tydliga spår av Celsius’ framställning i den mycket kortfattade sammanfattningen utan någon förklaring. Därefter går han igenom algoritmen under rubriken Regler och tar till sist upp sju exempel. Algoritmen bygger på proportionalitet hos fyra kategorier, där varje kategori kan bestå av flera tal. Han vill att den obekanta, vanligen x, alltid skall placeras på den fjärde platsen. Resten påminner

358 Ibid, s.100.

359 Ibid, s.109.

360 Ibid, s.112.

om Aurelius’ förklaring; den obekanta är lika med produkten av talen på andra och tredje platserna dividerad med talet på den första platsen.

Reglor.

1:o Sät det talet, som sökes uti sista rumet och kalla det efter vanligheten x; ställ sedan det, som är af samma slag med x, uti andra, iagttagande at de ock äro af samma sort.

2:o Ställ alla de tal, som utgöra frågan uti andra rumet, under hvarandra, utom den som sökes, hvilken är redan stäld i sista rumet.

3:o Sät alla de tal, som äro öfrige, under hvarandra, uti första rumet.

4:o Laga at talen i första och andra rumen i samma rad alltid äro både af samma slag och samma sort.

5:o Granska talen i hvarje rad särskildt; om x bör vara större eller mindre än 3:dje Termen; borde x vara större, så skrifves teknet + vid det minsta talet af dem som stå i första och andra rumet samt samma rad, men bör x vara mindre, skrifves + vid det största ibland samma tal.

6:o Til slut multiplicera de talen, som ej hafva något + framför sig;

deras produkt blir dividendus; sedan hopmultiplicera de talen, som hafva teknet + framför sig, deras produkt blir divisor; när division verkställes blir qvoten det talet som skulle sökas.³⁶¹

Direkt efter regeln följer ett exempel med lösning.

Ex. Om 12 Hästar förtära 8 tunnor hafra på 4 dagar; frågas huru många hästar förtära 16 tunnor på 8 dagar?

8 Tunnor :16 Tunnor ::12 hästar : hästar 4 dagar 8 dagar.

+ x

+ ?³⁶²

Efter att han följt de sex punkterna skriver han i slutet så här:

4 16 12 4 2 8 3 4

Beckmarck försöker ge en förklaring av regeln, som bygger på ovannämnda exempel. Han kallar förklaringen för bevis.

361 Ibid, s.112-113.

362 Ibid, s.113.

363 Ibid, s.113.

Beviset på föregående Regel kan det gifna exemplet uplysa:

Frågan kan uplösas genom tvånne analogier af Regula de Tri, nemligen om 12 hästar förtära 8 tunnor på en gifven tid; frågas huru många förtära på samma tid 16 tunnor? analogien bör blifva;

8 tunnor:16 tunnor:12 häst: ^{12 16} 8

⋅ häst. Sedan fråg.? När ^{12 16} 8

⋅

hästar förtära en gifven qvantitet på 4 dagar; huru många hästar äta up samma gifva qvantite på 8 dagar? analogien blifver således

12 16 4 12 16

8 8 8

8 : 4 :: ^⋅ :x= ^{⋅ ⋅}_⋅ , hvilket värde är det samma, som vi genom Reglen hafva funnit.³⁶⁴

Beckmarks reguladetriuppställningar och uträkningar liknar dem som finns i den tredje upplagan av Celsius’ Arithmetica. Även om Beckmarck utvecklade metoden mer än vad Celsius gjorde så är Celsius’ framställning både ur matematisk och ur pedagogisk synvinkel mer övertygande än Beckmarcks.

Ett av de sista exemplen i Beckmarcks bok ges nedan. Här kan man också se påverkan från Celsius. Beckmarck utvecklade en metod där han använder termerna effekt och verkan. Samma typ av resonemang finns senare hos Zweigbergk som istället använder orden orsak-verkan.

När 3 Man på 8 dagar gräfva 60 famnar dike; huru många Man kunna då gräfva 1000 famnar på 12 dagar? Uti denna fråga äro famnarne effekter; man och dagar verkande orsaker; det är klart att antaler af famnarna ökas i samma mån, som produkten af Männenrnas och dagarnas antal ökas. Sålunda sättes x och 12 dagar i andra rumet, efter Man sökas, som är en af de verkande orsakerna.

Men deremot sättes 1000 famnar i fjerde rumet, som är en effekt af x och 12 dagar, samt 60 famnar i tredje, som är en effekt af 3 Man och 8 dagar, hvilka böra komma i första rumet. I följe häraf blir analogien denna: