Jämförande analys

Som vi ser är uppställningen hos Zweigbergk liksom t.ex. hos, Björling, Beckmarck och Celsius tydligt kopplad till proportionalitet där relationen mellan två orsaker är densamma som mellan deras respektive verkan. Vidare kallas förhållandet mellan två tal för analogi

453 Följande citat från Rosanders bok får illustrera stilen i boken: ”Om blott för få årtionden sedan någon hade yttrat, att två personer skulle kunna stå vid hvar sin ända af ett vidsträckt konungarike och tala med hvarandra genom en tråd, skulle han utskrattats som fantast och, om han fortsatt sitt påstående, lupit fara att inspärras minst på ett dårhus; och likväl existerar redan nu ej allenast detta i alla civiliserade länder, utan kommunikation finnes till och med mellan Europa och Amerika, på ett afstånd af minst 430 svenska mil. Hvad kan numera anses omöjligt? eller hvar skall det menskliga snillets uppfinningsförmåga slutligen stanna? Ur "Den Kunskapsrike Skolmästaren" Carl Rosander, Stockholm i september 1864”, http://www.svensk.info/ialsinte.htm.

eller proportion. För att bilda en sådan analogi måste storheterna ha samma enhet. Om förhållandet mellan a och b är lika som förhållandet mellan c och d, är de fyra talen proportionella. Detta är gemensamt för alla de författare som på något sätt behandlats i denna avhandling.

Aurelius markerar att första och tredje (a och c) ska alltid vara av samma sort. Detta gäller även det andra och det fjärde (b och d). Om t.ex. den första storheten är sidentyg som har meter som enhet och den andra är svenska kronor måste den tredje och den fjärde ska vara sidentyg i meter respektive svenska kronor. Vi har här fyra proportionella tal. En av de fyra, vanligen den fjärde är alltid obekant.

Hos t.ex. Rizanesander, Aurelius och Agrelius bygger reguladetri-algoritmen på proportionaliteten mellan fyra tal, men proportionalitet syns inte så tydligt i deras uppställningar och uträkningar För både Aurelius och Agrelius liksom för många andra läroboksförfattare är det gyllene regeln som är huvudregeln vid lösning av reguladetriproblem De utnyttjar att om fyra tal är proportionella så är det fjärde lika med produkten av två av övriga dividerat med det första. Detta fungerar bra om det handlar om direkt proportionalitet.

När det gäller om omvänd och sammansatt reguladetri får man emellertid svårigheter med denna metod. Vad kan t.ex. kvoten mellan antal meter av en sorts tyg och dess kostnad i kronor betyda? Sorten, som är antalet meter per krona, kan för många vara onaturlig och därmed svår att tillgodogöra sig. Det var kanske därför många författare som t.ex. Clavius, Biörk, Bure, Nyström och Wigforss valde att gå tillbaka till enheten medan Aurelius och Agrelius hade svårigheter att hantera omvänd reguladetri.

Användningen av gyllene regeln är alltså problematisk vid omvänd reguladetri (proportionalitet). Aurelius löser problematiken genom att ge en algoritm för uträkningen. Uppställningen i omvänd reguladetri är densamma som den för direkt reguladetri, men det är inte algoritmen! Detta kan lätt åstadkomma förvirring. Förvirringen kan förvärras när Aurelius löser en sammansatt reguladetriuppgift som innehåller omvänd reguladetri. Det skapas en pedagogisk paradox. Å ena sidan är reguladetri en tillämpning av gyllene regeln och å andra sidan kan man inte använda sig av den.

Agrelius löser problemet med omvänd reguladetri genom välja spegelbilden på uppställningen av direkt reguladetri. På så sätt gäller fortfarande gyllene regeln.

Vid sammansatt reguladetri är Agrelius och Aurelius uppställningar och uträkningar nästan identiska med den skillnaden att Agrelius har mer förklarande text. När det gäller sammansatt reguladetri som inkluderar en omvänd proportionalitet är det nästan ingen skillnad mellan Aurelius och Agrelius framställningar.

Vid omvänd reguladetri förväntar sig Beckmarck liksom Celsius att nybörjare kan använda sitt sunda förnuft för att lösa problemen. Vid uppställningen av en uppgift skall de kunna välja rätt plats genom att jämföra talens storlek. Björling försöker lösa både direkt och indirekt reguladetri med en och samma princip. Han använder enbart termerna reguladetri och sammansatt reguladetri. I den första metoden ingår både direkt och indirekt reguladetri.

Enligt min mening är Zweigbergks metod unik och man kan spåra den redan hos Celsius. Zweigbergk utvecklar en algoritm som reducerar bort både problematiken med sammansatt reguladetri och omvänd reguladetri. Många som Wigforss hävdade att det är bättre att gå tillbaka till enheten. Jo, detta är i själva verket en form av härledning av algoritmen. Zweigbergks metod bygger på det enkla argumentet att relationen mellan två likartade orsaker är lika med relationen mellan deras verkan. Om orsaker eller verkan eller bådadera består av flera faktorer eller bara en är i princip samma sak och det gäller även i omvänd reguladetri. När det gäller sammansatt reguladetri finns metoden i mycket outvecklad form hos Aurelius.

Från början brottades man med både omvänd och sammansatt reguladetri till dess Zweigbergk löste problemet och kunde formulera en enda algoritm som täckte alla olika fall. Bidragen från Zweigbergks efterföljare innebar delvis en återvändo till 1600-talet och det var bland annat en viktig orsak som medförde att reguladetri försvann som ett räknesätt.

Vi kan dela in läroböckerna med avseende på deras sätt att behandla reguladetri i tre grupper enligt nedanstående. Observera att vi gör

jämförelserna med facit i hand. Förmodligen har läroböckerna varit bra eftersom matematikforskningen i Sverige på mindre än 400 år gått från nästan ingenting till att under 1960 ha en ledande position i världen. Ett tecken på det är att professor Lars Hörmander 1962 fick den främsta utmärkelsen en matematiker kan få, nämligen Fieldsmedaljen.

Grupp 1. Läroböcker som för det mesta använder algoritmer för att lösa problemen utan någon koppling till proportionsläran. Man har inga förklaringar om varför man kan använda reguladetri. Det krävs mera minne än förståelse. Här befinner sig t.ex. Rizanesander, Aurelius och Agrelius.

Grupp 2. De författare som har gått från proportionsläran till reguladetri. Hit hör t.ex. Biörk, Celsius, Beckmarck, Björling, Zweigbergk och Wigforss.

Grupp 3. I denna grupp placerar jag Nyström, Wigforss. Här tillhör även Stenmark och många av författarna till Tidskriften för skolmatematik (1955-1957). Nyström varken utnyttjade proportionsläran eller behandlade reguladetrin som författarna i den första gruppen. Hans sätt att behandla reguladetrin är unikt genom att han konsekvent går tillbaka till enheten. De aritmetiska uträkningarna bygger på logiska resonemang. Nyström har inga bekymmer vare sig sammansatta reguladetri eller omvänd reguladetri. Vi skulle kunna placera t.ex. även Biörk här. Wigforss kunde gärna placeras i en grupp för sig själv, ty han vill gärna använda sig av proportionalitet men i 1925:s metodikbok försvagas reguladetrin, tills den 1952 helt och hållet tagits bort i Studieplan i matematik. Förmodligen medför denna process samt införandet av mängdläran, förstärkningen av algebran och införandet av miniräknare en försvagning av aritmetiken.

4 Kapitel 4 Tre bortglömda räkneregler som