Celsius

I sin framställning av reguladetri placerar Celsius talen i fyra olika rum. Termerna i de första och andra respektive tredje och fjärde rummen är av samma slag. Fjärde är den som sökes. I Celsius’ uppställning skall i det tredje rummet skrivas det tal som är av samma sort som det som sökes och motsvarigheterna till talen i tredje och fjärde rummen ska skrivs i första respektive andra rummet. Det krävs en viss analytisk förmåga för att bestämma vilket av de två första talen som skall skrivas i andra rummet. Man måste bestämma om det fjärde talet

342 Agrelius, 1754, s.293. Han fortsätter beskriva uppställningen och uträkningen.

343 Se uppgift X i Aurelius, 1614, s. LXXIX-LXXX .

344 Agrelius, 1754, s.299.

kommer att blir större eller mindre än tredje talet. Celsius skapar på det sättet en modell för både direkt och omvänd reguladetri. Han skriver:

§. 190. Schol. T.ex. efter varor äro proportionela emot deras värde i penningar, så ville man veta: när 9 alnar utaf någon vara kosta 15 daler, huru mycket kosta då 11 alnar? Hvarföre, sedan man satt up teknen : :: :, så sätter man i tredje rummet det talet, som är av samma slag med det som sökes, hvilket man kan finna af frågan, huru mycket? näml. penningar: harföre 15 daler kommer att stå i tredje rumet (: :: 15:); men de bägge talen, som betyda alnar, ställas i första och andra rummet, utaf hvilka det större talet 11 bör stå i andra rummet, efter 11 alnar kosta mera än 9 alnar, och således bör det fjerde talet hafva flera daler än det tredje, så att de gifna talen ställas således : 9 : 11 ::15 :, eller 3 : 11 :: 5 :, när man dividerat den första 9 0ch den tredje 15 med det allmänna största måttet 3 (§ 140), hvilka ginvägar och flera dylika man kallar praxix Italica, efter Italienerne hafva mestadelen dem uppfunnit och först brukat. När man således upstäldt de 3 gifna talen, så söker man igen det fjerde (§. 184), som blifver 18¹₃daler, 10 öre och 16 penningar (§. 186)³⁴⁵

Celsius löser några exempel och börjar därefter med omvänd reguladetri eller som han kallar indirekta eller inversa reguladetri. Här nedan citeras ett av varje.

I. Direkt reguladetri:

När en resande kan komma 15 mil på 18 timmar, frågas, huru många timmar fordras til 43 mil?

15 : 43 ::18 : . 6 43 51 Tim 36 min.

x ⋅3

= = ³⁴⁶

II. Omvänd reguladetri:

Om man visste af förfararenhet, at en hitorisk bok kunde läsas ut på 15 dagar, när man läsuti henne 2 timmar hvar dag, och man ville veta, på huru många dagar samma bok kunde utläsas, när manuti henne 6 timar hvar dag. … det mindre talet 2 bör stå i andra rummet: ty man kan finna förut af sakens omständighet, at det fjerde talet, som sökes, bör blifva mindre än det tredje, …

345 Celsius Anders, Arithmetica eller Räkne-konst, 1754, s.156-157.

346 Ibid, s.158.

6 : 2 ::15 : eller 3 : 1 :: 15 : (§.101) eller 1 :1 :: 5 : (§.106); hvarföre man straxt finner det fjerde talet vara 5 (§.22), så at man kan läsa ut boken på 5 dagar, när man läser 6 timar om dagen. På detta sättet finner man vara onödigt; at distinguera emellan Regula de Tri direkta och indirekta eller inversa.³⁴⁷

Celsius’ uppställning av omvänd reguladetri är alltså identisk med den för direkt reguladetri. Problem kvarstår emellertid. När man konstruerar en algoritm vill man att den skall kunna användas mekaniskt. Man vill samtidigt ha så få antal algoritmer som möjligt men när man minskar antalet algoritmer kommer ofta ett analytiskt inslag in. Det är vad som händer när Celsius försöker ge samma algoritm för direkt och omvänd reguladetri.

Celsius börjar sin genomgång av sammansatt reguladetri med att gå igenom ett exempel: Om 100 daler under 12 månader ger en ränta på 6 dalar, hur mycket blir räntan för 300 daler under 9 månader. Celsius förklarar att man här kan använda reguladetri två gånger. Han kallar därför regeln för Regula dupla, composita eller de quinque.³⁴⁸ Den består enligt honom av två enkla reguladetriberäkningar. I den första är tiden konstant lika med 12 månader och man får 100 : 300 :: 6 : x eller 1: 3:: 6 : x ,³⁴⁹ vilket innebär att 300 kronor ger en ränta på 18 kronor under 12 månader. I andra reguladetrin är kapitalet konstant lika med 300 kronor och man vill beräkna räntan efter 9 månader. Nu skall 18 placeras i tredje rummet. Vi får 12 : 9 ::18 : y, vilket slutligen ger svaret på frågan som är 13 daler eller 13 daler och 16 öre, med ¹₂ dåtidens enheter.³⁵⁰

Celsius bygger upp framställningen på ett sätt som liknar den i Euklides’ Elementa. Satser och definitioner bygger på tidigare gjorda definitioner och bevisade satser. Momenten numreras och han använder sig av paragrafbeteckningen §. I § 193 behandlas sammansatt reguladetri på det sätt som vi tidigare har beskrivit. Han tar där upp ett par exempel och drar därefter en generell slutsats som

347 Ibid, s.158-159. Fetstilen är min.

348 Ibid, s.161.

349 Celsius brukar förenkla talen innan han utför själva algoritmen som innehåller både multiplikation och division.

350 Ibid, s.161.

förenklar algoritmen för sammansatt reguladetri till en vanlig enkel reguladetri. I hans metod kan det i varje rum finnas flera faktorer än en. Det är denna metod som kommer att utvecklas av Zweigbergk och de tre olika typerna av reguladetri kommer så småningom att inordnas under denna mer generella metod. Celsius skriver:

Låt i allmänhet ett antal a af arbetare på tiden b kunna förrätta arbetet c, frågan kunde vara, huru mycket arbete ett antal d af arbetare kunna förrätta på tiden e? Efter den method, som hittills är brukad, skulle arbetet först proportioneras efter arbetarnas anatal, då finge : :: : , och sedan efter tiden, då den finge

Metoden illustreras av nedanstående exempel ur Celsius’

lärobok. Vi skall senare se att det både hos Beckmarck och Zweigbergk finns tydliga spår av Celsius’ idéer.

Om frågan vore sådan, när 5 arbetare på 8 dagar och 9 timmar dageligen förmå 15 famnar, huru många dagar skulle 12 man behöfva till 33 famnar, då de dageligen arbeta 11 timmar? Skulle analogien uppställas på följande sätt

5. 8 9 : 12 . 11 :: 15 : 33