5. PRAKTISK METOD:
5.3 Beräkningar av avkastning och risk:
För denna studie har en mängd beräkningar gjorts, samtliga har utförts i Microsoft Excel. Vilka formler som har används samt hur beräkningarna är utförda kommer att presenteras under rubrikerna nedan. Det är avkastningen som kommer vara i fokus då studien ämnar undersöka huruvida det går att använda sig av kalenderanomalier för att uppnå abnormal överavkastning. Författarna har beräknat avkastningen för valda anomalier på samtliga tio branscher och på OMXSB. Dessutom har branschernas avkastning kalkylerats för att kunna jämföras med portföljerna. Avkastningen på samtliga branscher går att finna under kapitel 6, Resultat & Analys.
Transaktionsavgifter kommer att exkluderas i denna studie. Anledningen till detta är att det finns en mängd olika mäklare på marknaden varav de flesta har olika courtageavgifter. På grund av det begränsade tidsintervallet för genomförandet av studien kommer därför transaktionsavgifter inte kunna inkluderas på ett realistiskt och gediget sätt. Dessa har därför exkluderats snarare än att beräknas på ett felaktigt vis.
Flertalet formler har används i Microsoft Excel, exempelvis för att beräkna genomsnittlig avkastning enligt nedan:
! = !!!! !! !
Figur 12: Genomsnittlig avkastning. ! = !"#$%&#'(()'! !"#!$%&'&(
! = !"#!$ !"#$%&'()!*$%
!!= !"#!$%&'&( !"# !"#$%&'%!
(Bodie et al., 2011, s. 847; Moore et al., 2009, s. 31)
När samtliga mått av avkastning har kalkylerats är det viktigt att ta hänsyn till given risk. Några av de vanligaste metoderna för att justera en portfölj utifrån dess risk är Sharpes Ratio, Treynors Measure, Jensens Alfa och Informations Ratio (Bodie et al., 2011, s. 849-850). Samtliga mäter resultat i förhållande till risk och vi har valt att använda oss av Jensens Alfa för denna studie. Anledningen till detta val baseras på metodens komplexitet och förmåga att vara konsekvent. CAPM är en finansiell modell som beräknar en portföljs förväntade avkastning och Jensens Alfa utgår från denna för att beräkna överavkastningen (Jensen, 1968, s. 389). Att Jensens Alfa bygger på CAPM, som är vida känd och mycket använd modell inom finansiella sammanhang (Berk & DeMarzo, 2011, s. 401), var en starkt bidragande orsak till vårt val.
5.3.1 Ränta på ränta:
För att utvärdera portföljernas totala avkastning över tiden har en ränta på ränta beräkning används. Denna beräkning visar hur mycket respektive portfölj har avkastat sedan den första mätdagen. I ränta på ränta återinvesteras den tidigare värdeökningen eller värdeminskningen och resultatet blir därmed den effektiva avkastningen på portföljen. Nedan visas hur ränta på ränta har använts för att beräkna avkastningen i kronor på portföljerna. Vi har utgått från 1 krona som ursprungsbelopp och beräknat utvecklingen i kronor såsom formeln nedan beskriver, men även i procent.
!"! = ! ∗ (! + !)!
Figur 13: Ränta på ränta. !"! = !"#$%&'# !ä!"#
! = !"#$"!%&#'()*$$ ! = !"#!$%&'&(
Formeln beräknar portföljens värde i slutet av mätperioden, även kallat future value (Berk & DeMarzo, 2011, s. 89). Metoden har används på avkastningen såväl som portföljernas värdeförändring för att kunna fastställa dess utveckling och sammanställa resultaten i grafer och tabeller.
5.3.2 Förväntad Avkastning:
För att beräkna den förväntade avkastningen (E(ri,t)) framåt i tiden förespråkar Bodie
et al., (2011, s. 267) en formel som baseras på avkastning och sannolikhet. Men eftersom denna studie ska utvärdera data baserat på de senaste 13 åren behöver dessa inte estimeras. Istället har författarna valt att använda respektive portföljs underliggande branschindex som förväntad avkastning för att utvärdera portföljerna.
5.3.3 Faktisk avkastning:
Den faktiska avkastningen är summan av alla utdelningar och prisökningar i den underliggande varan för en specifik tidsperiod. Denna studies resultat är direkt beroende av den avkastning som de syntetiska portföljerna påvisar, vilket påvisar vikten av detta mått. För de olika kalenderanomalierna kommer dagsdata respektive månadsdata att användas vilket innebär att avkastningen kommer användas i liknande termer. För att beräkna den totala avkastningen rekommenderar Berk & DeMarzo (2011, s. 253) följande formel:
! =!"#!+ !! !!!! − ! Figur 14: Faktisk avkastning 1. !"#! = !"#$%&'&(
!! = !"#$%& !"#$ !!!! = !"#$%& !"å!
Vi har däremot redan inkluderat utdelningarna eftersom vi använder oss av ICBs branschindex, där dessa är inkluderade. Därför har vi valt att använda nedanstående formel, vilken är ett mått på avkastning på eget kapital (Berk & DeMarzo, 2011, s 253). Denna formel har använts för samtliga branscher för att beräkna den faktiska avkastningen. Avkastningarna som beräknats per dag eller månad har applicerats i formeln för ränta på ränta. Detta för att beräkna portföljernas effektiva ränta under hela tidsperioden, vilken vi använt som faktisk avkastning.
! = !!− !!!! !!!!
Figur 15: Faktisk avkastning 2.
5.3.4 Abnormal avkastning:
Skillnaden mellan den förväntade avkastningen och den faktiska kallas för abnormal avkastning. Detta är ett mått på hur mycket en portfölj har överavkastat i förhållande till dess förväntningar.
!"!,!= ! − ! !!,! Figur 16: Abnormal avkastning. !"!,!= !"#$%&'( !"#!$%&'&(
Den abnormala avkastningen som beräknats kan även ses som en riskpremie, vilken en investerare erhåller för att bära risken av investeringen (Berk & DeMarzo, 2011, s. 306). Detta mått är det som används i studiens hypotesprövningar då dessa utvärderar huruvida portföljerna genererat abnormal avkastning.
5.3.5 Jensens Alfa:
Det är viktigt att beakta risk när en portföljs utveckling ska bedömas. Portföljer som påvisar ovanligt mycket avkastning är ofta riskablare än jämförbara portföljer med lägre avkastning. Det är därför viktigt att inkludera en riskfaktor för att utvärdera en portföljs resultat. För att mäta en portföljs förmåga att skapa överavkastning i förhållande till risk, grundat på dess investeringsstrategi, är Jensens Alfa ett beprövat alternativ. Jensens Alfa är en modell utvecklad från Sharps (1963) Capital Assets
Pricing Model, CAPM (Jensen, 1968, s. 389). Att enbart mäta en portföljs resultat
inkludera Jensens Alfa. Modellen har använts för att korrigera resultatet utifrån portföljernas risk. Givet portföljens beta och marknadsavkastning beräknas portföljens alfa med följande formel:
!!− !! = !!+ ! !!− !! + ! Figur 17: Beräkning av Jensens Alfa. De olika variablerna representerar följande:
!! = !"#$"#$ !"#$
!! = !"# !"#$%!"& !ä!"#!
!!= !"#$%"&'#"($"')%*%+ (underliggande index) !! = !"#$%ö!"#$%#&'()(*
! = !"#$%ö!"#$% !"#$%#&'(&)"*+) !"#$ ! = !"#$%ö!"#$% !"#$%$ä!!"#$ !"# (Jensen, 1968, s. 393)
Strecken ovanför vissa bokstäver betyder att denna variabel är ett genomsnittsvärde. För att kunna använda sig av denna modell krävs det att portföljens beta räknas ut först. Beta räknas ut på följande sätt (Jensen, 1968, s. 391):
! =!"# !!, !! !! !!
Figur 18: Beräkning av Beta. !!= !"#$%"&'#"($"')%*%+ (underliggande index) !!= !"#$"%&
Denna studie är baserad på daglig och månatlig data, vilken har omvandlats till medelavkastning årsvis för att ha samma mått på samtliga variabler och med hjälp av dessa kunna kalkylera Jensens Alfa. För att omvandla siffrorna till årsbasis användes följande formler:
å!"#$%#"&'(') = ! + !"#$"%&"$'()(# !"!− ! å!"#$%#"&'(') = ! + !å!"#$"%&"$'!(!) !"− !
Figur 19: Årsavkastning 1 & 2.
Ett Alfa som är 0 betyder att portföljen inte genererar någon abnormal avkastning medan ett högt Alfa innebär att avkastningen är abnormalt stor i förhållande till risken (Jensen, 1968, s. 391). Valet av detta mått grundar sig i möjligheten att jämföra portföljernas prestationer gentemot deras förväntade avkastning justerat till dess tagna risk. Om några portföljer kan uppnå abnormalt hög avkastning ses marknaden som ineffektiv. Men den abnormala avkastningen behöver inte enbart tyda på en ineffektiv marknad, det kan även bero på att en felaktigt vald modell har använts (Campbell et al., 1997, s. 24).