5. PRAKTISK METOD:
5.4 Studiens signifikans & statistiska modeller:
Figur 17: Beräkning av Jensens Alfa. De olika variablerna representerar följande:
!! = !"#$"#$ !"#$
!! = !"# !"#$%!"& !ä!"#!
!!= !"#$%"&'#"($"')%*%+ (underliggande index) !! = !"#$%ö!"#$%#&'()(*
! = !"#$%ö!"#$% !"#$%#&'(&)"*+) !"#$ ! = !"#$%ö!"#$% !"#$%$ä!!"#$ !"# (Jensen, 1968, s. 393)
Strecken ovanför vissa bokstäver betyder att denna variabel är ett genomsnittsvärde. För att kunna använda sig av denna modell krävs det att portföljens beta räknas ut först. Beta räknas ut på följande sätt (Jensen, 1968, s. 391):
! =!"# !!, !! !! !!
Figur 18: Beräkning av Beta. !!= !"#$%"&'#"($"')%*%+ (underliggande index) !!= !"#$"%&
Denna studie är baserad på daglig och månatlig data, vilken har omvandlats till medelavkastning årsvis för att ha samma mått på samtliga variabler och med hjälp av dessa kunna kalkylera Jensens Alfa. För att omvandla siffrorna till årsbasis användes följande formler:
å!"#$%#"&'(') = ! + !"#$"%&"$'()(# !"!− ! å!"#$%#"&'(') = ! + !å!"#$"%&"$'!(!) !"− !
Figur 19: Årsavkastning 1 & 2.
Ett Alfa som är 0 betyder att portföljen inte genererar någon abnormal avkastning medan ett högt Alfa innebär att avkastningen är abnormalt stor i förhållande till risken (Jensen, 1968, s. 391). Valet av detta mått grundar sig i möjligheten att jämföra portföljernas prestationer gentemot deras förväntade avkastning justerat till dess tagna risk. Om några portföljer kan uppnå abnormalt hög avkastning ses marknaden som ineffektiv. Men den abnormala avkastningen behöver inte enbart tyda på en ineffektiv marknad, det kan även bero på att en felaktigt vald modell har använts (Campbell et al., 1997, s. 24).
5.4 Studiens signifikans & statistiska modeller:
Det är viktigt att utvärdera signifikansen på en studies resultat. Om studien är av statistisk karaktär krävs det att en statistisk metod används för att säkerställa signifikansen. Det finns flera olika metoder och några av de vanligaste är t-test, z-test
och p-test. Ofta krävs det att hypoteser skapas och att en signifikansnivå bestäms för att utvärdera resultat. (Moore et al., 2009, s. 384). Nedan kommer förklaringar att presenteras angående de metoder som valts till studien.
5.4.1 Hypoteser:
För att kunna säkerställa den statistiska signifikansen för studien har författarna valt att ställa ett antal hypoteser som sedan skall testas. Hypotesernas avsikt är att mäta styrkan av stödet mot nollhypotesen (Moore et al., 2009, s. 379). Nollhypoteser har ställts upp för varje anomali och bransch vilket innebär att totalt 55 nollhypoteser ska testas. Alla hypoteser kommer att mäta samma tes. Det påstående som skall testas är huruvida avkastningen för anomalin är lika stor som avkastningen för den bransch varpå anomalin handlar. Hypoteserna kommer att svara på huruvida portföljerna kan uppnå högre riskjusterad avkastning, abnormal avkastning, än underliggande index och hypoteserna kommer se ut på följande sätt:
!!: !"!,!= !, !"#$%& !""#$ä!, !! = !! !!: !"!,!≠ !, !"#$%& !""#$ä!, !! ≠ !! !! = !"#$%ö!"#$% !"#!$%&'&(
!! = !"#$%&'($% !"#!$%&'&(
Om nollhypotesen kan bekräftas innebär det att anomalins avkastning är lika med branschindexets avkastning. Studien använder sig av en tvåsidig hypotes vilket innebär att värdet kan vara positivt respektive negativt. Positiva värden innebär att anomalin påvisar högre avkastning än branschindex medan negativ representerar det motsatta. Därefter skall den statistiska signifikansen på hypoteserna fastställas enligt nedan.
Vid hypotesprövning används enbart två alternativ, H0 och H1. En av dessa måste alltid förkastas medan den andra accepteras. Ett problem som kan uppstå är dock att två typer av inkorrekt beteende kan uppkomma. Dessa felaktiga beslut kallas vanligtvis för typ-1 och typ-2 fel. Typ-1 fel innebär att vi förkastar H0 när denna i själva verket är korrekt och typ-2 fel innebär att vi accepterar H0 när det är H1 som är korrekt (Moore et al., 2009, s. 408-409). Dessa fel kan förekomma när ett urval skiljer sig från hela populationen, men eftersom denna studie inkluderat samtliga underliggande aktier i varje branschindex anser författarna att risken för dessa typ-fel är minimal.
5.4.2 T-test & p-värde:
Statistiska tester används för att verifiera att ett resultat från en undersökning är signifikant. Det finns flera typer av statistiska tester och användning av konfidensintervall är en av de mest frekvent förekommande. Vanligtvis används statistiska tester för att jämföra observerad data med en hypotes för att utvärdera dess riktighet (Moore et. al, 2009, s. 377). I vårt fall använder vi oss av t-test för att undersöka huruvida våra portföljer är statistiskt signifikanta och ifall anomalier existerar på Stockholmsbörsen. Vi ställer enbart portföljens avkastning mot index och har därför bara en koefficient mot den underliggande variabeln.
Om vi skulle valt att genomföra ett ”joint hypotheses”, alltså med flera kofficienter, skulle ett F-test vara att föredra. F-testet har inte samma begränsning som t-testet,
vilket enbart kan testa en koefficient, utan möjlighet att ta flera variabler i beaktning (Studenmund, 2001, s. 120-121, 142). Men eftersom denna studie enbart är intresserad av att mäta avkastning för att utvärdera anomaliernas existens anser vi att t-test är ett bra val. T-test har dessutom, enligt Studenmund (2001, s 1221), blivit en standard för ekonomiska undersökningar. Anledningen till detta beror till stor del på metodens förmåga att beräkna variansen, samt dess goda förmåga att testa en studie när det stokastiska felet är normalfördelat.
För att beräkna ett t-värde som sedan ska användas för att utvärdera våra hypoteser måste först standardavvikelsen kalkyleras. Standardavvikelse är ett mått som mäter spridningen mellan observationerna och deras medelvärde. Portföljens och indexets standardavvikelse kan beräknas som kvadratroten ur variansen eller enligt nedanstående formel: ! = ! ! − ! !!− ! ! ! !!! Figur 20: Standardavvikelse ! = !"#"$%ä!"#, !"#!$%&'&( ! = !"#$%#&%#''()*+!* ! = !"#$% !"#$%&'()!*$% (Moore et al., 2009, s. 40, 452-454)
Figur 21: Normalfördelningskurva (Studemnund, 2001, s. 120)
Studien har testats med ett tvåsidigt t-test, likt grafen ovan, för att uppmärksamma huruvida anomalierna presterar bättre eller sämre än deras jämförselseindex. Författarna har valt att testa resultatens signifikans på två nivåer, 99 procentigt konfidensintervall och 95 procentigt konfidensintervall. Anledningen till detta val är att anomaliernas signifikans då kan säkerställas med olika styrka. Signifikansnivån kan beskrivas som sannolikheten att få ett stickprov som förkastar nollhypotesen, fast att nollhypotesen egentligen är sann.
När t-testet är gjort kan detta användas för att utvärdera hypoteserna som skapats. Om värdet från t-testet befinner sig innanför Acceptance Region i grafen ovan kommer H0 att accepteras, alltså är värdet insignifikant. Om värdet befinner sig i någon av ändarna som benäms ”Rejection Region” kommer H0 förkastas vilket innebär att resultatet är signifikant. Värdet som genereras från t-testet måste dock korregeras utifrån antaet frihetsgrader för att få fram det kritiska värdet som sedan utvärderas (Studenmund, 2001, s. 120-122).
Det går även att använda sig av p-värden för att utvärdera resultatets signifikans. I denna studie har p-värden används för att komplettera t-testet ovan. P-värdet är en siffra som kan användas för att verifiera signifikansnivån enligt figuren nedan. Låga p-värden genererar hög signifikansnivå medan höga p-värden är mindre signifikanta (Andersson et al., 2007, s. 298).
Figur 22: P-värden (Anderson et al., 2007, s. 300)
5.4.3 Regressionsanalys
Regressionsanalys används för att estimera kvantitativa ekonomiska förhållanden i ett urval. Metoden är en statistisk modell som försöker förklara förändringen på en variabel som en funktion av en annan variabel. Analysmodellen bygger på en linjär regression som ser ut som följande:
! = ! + ! ∗ ! Figur 23: Linjär regression ! = !"#$"%&" !"#$"%&'
! = !"#! ! = !"#$
! = !"#$%#&'# !"#$"%&' (Studenmund, 2001, s. 7-9)
Vi har använt oss av Regressionsanalysen i Microsoft Excel som dessutom presenterar standardavvikelse, t-värde, p-värde, alfa och beta. Från en regressionsanalys kan förklaringsgraden (R2) utläsas, det vill säga hur mycket av förändringen i variabel X som kan förklaras av variabel Y (Studenmund, 2001, s. 15). I vårt fall beskriver R2 hur stor del av portföljens avkastning som kan förklaras av index. Dessutom visas korrelationen mellan den beroende och den oberonde variabeln. Värdena från regressionsanalysen kan även användas för att utvärdera de hypoteser vi myntat om anomalierna.
Mindre än 0,01: Mycket starka bevis för att förkasta H0. Mellan 0,01 och 0,05: Starka
bevis.
Mellan 0,05 och 0,1: Svaga bevis.
Över 0,1: Otillräckligt för att förkasta H0.