Formell syntax och semantik

Begreppet ”f¨orsta ordningens predikatlogik” syftar – som sagt – p˚a en typ av artificiellt, logiskt spr˚ak, med en viss typ av syntax och semantik. Ett ”exemp-lar” av spr˚aket ¨ar uppbyggt utifr˚an ett lexikon. Lexikonet inneh˚aller individ-konstanter och predikatindivid-konstanter. Var och en av de senare har en best¨amd st¨allighet (ett heltal). Lexikonets inneh˚all best¨ammer man med tanke p˚a den till¨ampning man har, d.v.s. de utsagor man vill kunna analysera och analysens syfte. Man beh¨over ˚atminstone en individkonstant f¨or varje objekt man vill kun-na kun-namnge och varje egenskaps- och relationsbegrepp svarar mot en predikats-konstant.

Variabler – som inte ing˚ar i lexikonet, utan alltid finns i obegr¨ansad m¨angd – m˚aste kunna k¨annas igen som s˚adana. Det spelar ingen roll hur de ser ut, men det ¨ar vanligt att man best¨ammer sig f¨or att anv¨anda ”x”, ”y” och ”z”, eventuellt med index, t.ex. ”x8”, som variabler. D˚a f˚ar vi det obegr¨ansade antal variabler som vi i princip beh¨over i spr˚aket.

Givet ett lexikon (som definierar individkonstanter och predikatkonstanter) kan vi definiera spr˚akets uttryck och uttryckskategorier –TERMER ochFORM

-LER– p˚a f¨oljande s¨att.

I nedanst˚aende syntax f¨or predikatlogiken anv¨ands s.k. metavariabler (t.ex.

”P”, ”t₁” ”F₁” och ”v”). Dessa st˚ar f¨or godtyckliga uttryck av en angiven typ.

Metavariablerna ing˚ar i det metaspr˚ak vi anv¨ander f¨or att formulera predikat-logikens syntax och semantik. Detta metaspr˚ak ¨ar en blandning av svenska och m¨angdl¨ara ut¨okad med metavariabler (och diverse tekniska begrepp). Metava-riablerna kan s¨attas samman med varandra och med andra symboler f¨or att be-skriva uttryck. Exempelvis st˚ar ”(F₁∧ F₂)” f¨or det uttryck vi f˚ar om vi i denna ordning skriver en v¨ansterparentes, uttrycket F1, konjunktionstecknet (∧), ut-trycket F₂ och en h¨ogerparentes. (Parenteser och konjunktionstecken i meta-spr˚aket st˚ar allts˚a f¨or samma tecken i predikatlogiken. Samma sak kommer att g¨alla liknande tecken.)

Detta ¨ar predikatlogikens syntax. Inga uttryck utom de som definieras av precis en av nedanst˚aende satser ing˚ar i den predikatlogik som definieras av ett givet lexikon.

• EnTERM ¨ar enINDIVIDKONSTANT eller enVARIABEL.

• Kombination av predikat med deras argument:

– Om P ¨ar en 1-STALLIG PREDIKATKONSTANT¨ och t en TERM, s˚a ¨ar P(t) enFORMEL.

– Om P ¨ar en 2-STALLIG PREDIKATKONSTANT¨ och t₁ och t₂ tv˚a

TERMER, s˚a ¨ar P(t₁, t₂) en FORMEL.

– Om P ¨ar en 3-STALLIG PREDIKATKONSTANT¨ och t₁, t₂ och t₃ tre

TERMER, s˚a ¨ar P(t₁, t₂, t₃) enFORMEL.

– UrPREDIKATKONSTANTER med h¨ogre st¨allighet skapasFORMLER p˚a motsvarande s¨att.

• Applikation av satslogiska operatorer:

– Om F ¨ar enFORMEL, s˚a ¨ar¬F enFORMEL.

– Om F₁och F₂ ¨ar tv˚aFORMLER, s˚a ¨ar(F₁∧ F₂) enFORMEL. – Om F₁och F₂ ¨ar tv˚aFORMLER, s˚a ¨ar(F₁∨ F₂) enFORMEL. – Om F₁och F₂ ¨ar tv˚aFORMLER, s˚a ¨ar(F₁→ F₂) enFORMEL. – Om F₁och F₂ ¨ar tv˚aFORMLER, s˚a ¨ar(F₁↔ F₂) enFORMEL.

• Applikation av kvantifikatorer:

– Om F ¨ar enFORMELoch v enVARIABEL, s˚a ¨ar∃v[F] enFORMEL. – Om F ¨ar enFORMELoch v enVARIABEL, s˚a ¨ar∀v[F] enFORMEL. Denna syntax kr¨aver att parenteser omsluter alla konnektivuttryck och att hak-parenteser visar kvantifikatorernas r¨ackvidd. P˚a detta s¨att kommer inga tvetydi-ga uttryck att till˚atas, men i praktiken kan man utel¨amna sj¨alvklara parenteser.

En av po¨angerna med predikatlogiken ¨ar att vi kan ge den en precis, formellt definierad semantik. F¨or det ¨andam˚alet anv¨ander man, som sagt, m¨angdl¨ara, som allts˚a ¨ar en viktig del av grunden f¨or denna typ av semantik.

En tolkning ¨ar en funktion som tilldelar en individ till varje individkonstant och en extension till varje predikatkonstant. Tolkningen ligger utanf¨or predikat-logiken, i den bem¨arkelsen att den inte kan formuleras i den predikatlogik som den tolkar. Normalt finns en tolkning av konstanterna som ligger i avsikter-na hos den som ¨ar upphovsman till formleravsikter-na. Den formella semantiken m˚aste allts˚a vara formulerad s˚a att olika tolkningar kan ge inneb¨ord ˚at konstanterna.

Exempelvis skulle formeln ”P(a)” kunna betyda Seine ¨ar en flod, Karl XII var en kung eller Seine var en kung och ett or¨akneligt antal andra saker (eftersom

”a” kan st˚a f¨or vilket objekt som helst och ”P” f¨or vilken egenskap som helst).

En tolkning, T, m˚aste respektera nedanst˚aende (tidigare n¨amnda) restriktio-ner (D ¨ar dom¨anen). Dessa villkor g¨aller givet ett visst lexikon av individ- och predikatkonstanter. Varje t¨ankbar funktion som uppfyller f¨oljande villkor ¨ar en tolkning.

Det g¨aller f¨or alla uttryck (konstanter) k i lexikonet att

Predikatlogik

T(k) ∈ D om k ¨ar en individkonstant eller T(k) ⊆ Dⁿom k ¨ar en n-st¨allig predikatkonstant.

Dessutom m˚aste vi ha ett s¨att att h˚alla reda p˚a variabler och de objekt vi (tillf¨alligtvis) kopplar till dessa. F¨or detta ¨andam˚al anv¨ander vi oss av en variabeltilldelningsfunktion (VTF). Denna fungerar precis som tolkningen – men anv¨ands p˚a annat s¨att – och tilldelar varje individvariabel en individ. Om g

¨ar enVTF, s˚a kan vi uttrycka detta s˚alunda:

Det g¨aller f¨or varje variabel v att g(v) ∈ D.

Varje funktion som uppfyller detta villkor ¨ar enVTF.

Givet en tolkning och en VTF kommer alla termer att st˚a f¨or individer i dom¨anen och alla formler f¨or sanningsv¨arden. Dessa semantiska v¨arden kan beskrivas med hj¨alp av notationen ”[[U]]^T,g” f¨or uttrycket U:s semantiska v¨arde relativt tolkningen T ochVTF:en g. Vi kan relativt l¨att sammanfatta de principer som best¨ammer vilka dessa v¨arden ¨ar. P˚a s˚a s¨att erh˚aller vi en formellt specifi-cerad semantik f¨or predikatlogiken. Det blir en sats per typ av predikatlogiskt uttryck:

• Om U ¨ar en INDIVIDKONSTANT eller en PREDIKATKONSTANT, s˚a [[U]]^T,g= T(U).

• Om U ¨ar enVARIABEL, s˚a [[U]]^T,g= g(U).

• Om U ¨ar en FORMEL P(t) (d¨ar P ¨ar en 1-STALLIG PREDIKATKONSTANT¨ och t en TERM), s˚a [[U]]^T,g=Som och endast om [[t]]^T,g ∈ T(P); annars [[U]]^T,g=F.

• Om U ¨ar en FORMEL P(t₁, t₂) (d¨ar P ¨ar en 2-STALLIG PREDIKATKON¨

-STANT och t₁ och t₂ tv˚a TERMER), s˚a [[U]]^T,g =S om och endast om h[[t₁]]^T,g, [[t₂]]^T,gi ∈ T(P); annars [[U]]^T,g=F.

• Om U ¨ar en FORMEL P(t₁, t₂, t₃) (d¨ar P ¨ar en 3-STALLIG PREDIKATKON¨

-STANT och t₁, t₂ och t₃ tre TERMER), s˚a [[U]]^T,g = S om och endast omh[[t₁]]^T,g, [[t₂]]^T,g, [[t₃]]^T,gi ∈ T(P); annars [[U]]^T,g=F.

• FORMLERuppbyggda avPREDIKATKONSTANTERmed h¨ogre st¨allighet be-handlas p˚a motsvarande s¨att.

• Om U ¨ar en FORMEL ¬F (d¨ar F ¨ar en FORMEL), s˚a [[U]]^T,g=S om och endast om [[F]]^T,g=F. Och [[U]]^T,g=Fom och endast om [[F]]^T,g=S. (Se tabell 4.2.)

• Om U ¨ar en FORMEL (F₁∧ F₂) (d¨ar F₁ och F2 ¨ar tv˚a FORMLER), s˚a [[U]]^T,g =S om och endast om [[F₁]]^T,g =S och [[F₂]]^T,g =S; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=F. (Se tabell 4.1.)

• Om U ¨ar en FORMEL (F₁∨ F₂) (d¨ar F₁ och F2 ¨ar tv˚a FORMLER), s˚a [[U]]^T,g=Som och endast om [[F₁]]^T,g=Soch/eller [[F₂]]^T,g=S; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=F. (Se tabell 4.1.)

• Om U ¨ar en FORMEL (F₁→ F₂) (d¨ar F₁ och F₂ ¨ar tv˚a FORMLER), s˚a [[U]]^T,g=Fom och endast om [[F₁]]^T,g=Soch [[F₂]]^T,g=F; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=S. (Se tabell 4.1.)

• Om U ¨ar en FORMEL (F₁↔ F₂) (d¨ar F₁ och F₂ ¨ar tv˚a FORMLER), s˚a [[U]]^T,g=Som och endast om [[F₁]]^T,g= [[F₂]]^T,g; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=F.

(Se tabell 4.1.)

• Om U ¨ar en FORMEL∃v[F] (d¨ar F ¨ar enFORMEL och v enVARIABEL), s˚a [[U]]^T,g=Som och endast om det finns enVTF, h, som ¨overensst¨ammer (se nedan) med g ifr˚aga om alla argument utom eventuellt v och som ¨ar s˚adan att [[F]]^T,h=S; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=F.

• Om U ¨ar en FORMEL ∀v[F] (d¨ar F ¨ar en FORMEL och v en VARIABEL), s˚a [[U]]^T,g=Som och endast om det g¨aller f¨or varjeVTF, h, som ¨overens-st¨ammer med g ifr˚aga om alla argument utom eventuellt v och som ¨ar s˚adan att [[U]]^T,h=S; i ¨ovriga fall [[U]]^T,g=F.

Det mest komplicerade i denna semantik ¨ar hanteringen av kvantifikatorerna.

Det ¨ar h¨ar VTF:erna kommer in. Genom att utg˚a fr˚an den aktuella VTF:en, g, kan vi beakta de VTF:er som ¨ar precis som g, men m¨ojligtvis tilldelar den ak-tuella variabeln ett annat v¨arde. Semantiken ovan talar om ¨overensst¨ammelse just i den bem¨arkelsen. Att h ¨overensst¨ammer med g ifr˚aga om alla argument utom eventuellt v inneb¨ar att g(w) = h(w) f¨or varje variabel w utom m¨ojligen v. (V¨ardena hos ”g(v)” och ”h(v)” kan vara ett och samma eller olika.) P˚a detta s¨att fixerar vi alla variablers tilldelningar utom v:s tilldelning. Denna metod f¨or att formulera semantiken f¨or ”∃” och ”∀” fungerar ¨aven f¨or fall d¨ar flera variab-ler och kvantifikatorer ¨ar inblandade.⁵

I en formel kan en variabelf¨orkomst vara bunden av en kvantifikator (t.ex.

”x” i ”¬∃x[H(x) ∧ G(x, p)]”) eller obunden (t.ex. ”x” i ”H(x) ∧ G(x, p)”). Hos en formel med enbart bundna variabler beror sanningsv¨ardet bara p˚a tolkning-en, och ¨ar oberoende av VTF:en. (I semantiken ovan ser vi att en kvantifika-tor ”bryter” den inblandade variabelns koppling till VTF:en.) En formel som

5Anv¨andningen avVTF:er p˚a detta s¨att ¨ar tagen fr˚an Dowty, Wall & Peters (1981).

Predikatlogik

”H(x) ∧ G(x, p)” – med en fri variabel – kan dock f˚a olika sanningsv¨arde be-roende p˚a vilken VTF man ber¨aknar det utifr˚an. Vitsen med variabler ¨ar att de skall bindas av kvantifikatorer. Formler med fria variabler svarar inte mot n˚agra utsagor. De uttrycker inte n˚agot slags ”vanlig” betydelse. I j¨amf¨orelse med naturligt spr˚ak framst˚ar variabler d¨arf¨or som ganska onaturliga. Formler utan fria variabler (helt utan variabler eller med alla sina variabler bundna av kvantifikatorer), d.v.s. de som ¨ar satser, har d¨aremot ett best¨amt sanningsv¨arde i relation till en tolkning. F¨oljande principer sammanfattar tilldelningen av san-ningsv¨arden till satser:

EnFORMELF ¨ar sann relativt en tolkning T om och endast om det f¨or varje

VTF, g, g¨aller att [[F]]^T,g=S.

EnFORMELF ¨ar falsk relativt en tolkning T om och endast om det f¨or varje

VTF, g, g¨aller att [[F]]^T,g=F.

Vi kan betrakta formeln ”¬∃x[H(x) ∧ G(x)]” och se vad den formella seman-tiken f¨or predikatlogik s¨ager om den.

[[¬∃x[H(x) ∧ G(x)]]]^T,g=Som och endast om [[∃x[H(x) ∧ G(x)]]]^T,g=Fom och endast om inte [[∃x[H(x) ∧ G(x)]]]^T,g=Som och endast om

det inte finns en VTF, h, som ¨overensst¨ammer med g ifr˚aga om alla

argument utom eventuellt x och som ¨ar s˚adan att

[[H(x) ∧ G(x)]]^T,h=Som och endast om

det inte finns en VTF, h, som ¨overensst¨ammer med g ifr˚aga om alla

argument utom eventuellt x och som ¨ar s˚adan att

[[G(x)]]^T,h=Soch [[H(x)]]^T,h=Som och endast om

det inte finns enVTF, h, som ¨overensst¨ammer med g ifr˚aga om alla argu-ment utom eventuellt x och som ¨ar s˚adan att h(x) ∈ T(G) och h(x) ∈ T(H) om och endast om

det inte finns n˚agon individ i i dom¨anen som ¨ar s˚adan att i∈ T(G) och i∈ T(H). (Denna slutgiltiga formulering av sanningsvillkoren f¨oljer av att det inte finns n˚agra restriktioner p˚a v¨ardet av ”h(x)”.) Detta sanningsvillkor kan ocks˚a uttryckas: T(G) ∩ T(H) 6= /0.

Som vi ser blir den formella semantikens beskrivningar ganska komplicerade om vi betraktar en sammansatt sats. Denna semantik f¨or predikatlogiken ¨ar till f¨or att ge en matematisk v¨aldefinierad redog¨orelse f¨or vad dess uttryck betyder.

Syftet med detta ¨ar att skapa en fast grund f¨or semantiken. Vill man anv¨anda predikatlogiken, g¨or man dock b¨ast i att skaffa sig en mer intuitiv f¨orst˚aelse f¨or hur den fungerar (vilket kan kr¨ava en del arbete).