3 M¨angder och sanning
3.7 M¨angdl¨ara och sanningsvillkor
I sanningsvillkorssemantiken brukar man formulera sanningsvillkor i termer av de abstrakta begrepp som m¨angdl¨aran ger oss. Exempelvis kan en mening som inte alla svampar ¨ar ¨atliga s¨agas vara sann om och endast om extensionen till svamp inte ¨ar inkluderad i extensionen till ¨atlig. (Kortfattat: S* ¨A.) Ett annat exempel ¨ar meningen det finns svampar som ¨ar b˚ade ¨atliga och giftiga, som blir ”S∩ ¨A∩ G 6= /0”. (Med ord: Snittet av svampar, ¨atliga ting och giftiga ting
¨ar distinkt fr˚an tomma m¨angden.)
E F
G H
M N D
E= M − N F = M ∩ N G= N − M
H = (D − N) − M = M ∪ N
nr E F G H definition
1 − − − − /0
2 − − − + M∪ N
3 − − + − N− M
4 − − + + M
5 − + − − M∩ N
6 − + − + (M ∪ N) − (M ∩ N)
7 − + + − N
8 − + + + M∪ N
9 + − − − M− N
10 + − − + N
11 + − + − (M ∪ N) − (M ∩ N)
12 + − + + M∩ N
13 + + − − M
14 + + − + M∪ N
15 + + + − M∪ N
16 + + + + /0
Figur 3.1: Diagram som visar hur tv˚a m¨angder (M och N) indelar dom¨anen (D). Varje area motsvarar elementen som definierar en m¨angd. M¨angden D
¨ar kvadraten vid vars ¨ovre v¨anstra h¨orn denna bokstav st˚ar. M och N ¨ar de b˚ada cirklar som snuddar vid dessa bokst¨aver. Som vi ser – eller kunde inse genom abstrakt resonerande – uppdelas D p˚a detta s¨att utt¨ommande i fyra icke ¨overlappande delm¨angder, E, F, G och H. Dessa svarar allts˚a mot de av svarta linjer avgr¨ansade vita omr˚adena. De tv˚a givna m¨angderna, M och N, kan, via de fyra ”obeskurna” m¨angderna, kombineras till maximalt 16 olika m¨angder. Tabellen visar hur dessa kan definieras.
M¨angdl¨ara och sanningsvillkor
Relationer
symbol negerad symbol namn
∈ 6∈ element
= 6= ekvivalens/”lika med”
⊆ * inklusion/delm¨angd
Operationer
symbol antal argument namn
∪ 2 union
∩ 2 snitt
− 2 differens
X (strecket ¨over) 1 komplement
Tabell 3.2: Relationer och operationer i m¨angdl¨aran.
Dessa analyser av hela meningar s¨ager, som synes, ingenting om vilka dessa extensioner ¨ar. S˚a l˚angt har allts˚a (n¨astan) ingen lexikal analys gjorts (f¨orutom att det blivit best¨amt att vissa ord st˚ar f¨or egenskaper). Av tradition behandlas fr¨amst den kompositionella aspekten av den logiska semantiken.
Aven i lexikal semantik kan dock m¨angdl¨arans begrepp anv¨andas f¨or att for-¨ mulera viktiga typer av samband. Definitioner ¨ar, som vi s˚ag i avsnitt 2.3.1, ett ofta anv¨ant s¨att att formulera ords betydelser. Dessa handlar om extensioner och kan d¨arf¨or uttryckas i m¨angdteoretiska termer. Ordet valp kan t.ex. definieras som icke fullvuxen hund. I m¨angdl¨arans termer blir det ”V = H − F”.
Flera viktiga relationer (se avsnitt 2.6) mellan ord ¨ar ocks˚a baserade p˚a exten-sionella f¨orh˚allanden: Begreppslig underordning (hyponymi) svarar mot ex-tensionell inklusion (delm¨angd). Begreppet bord ¨ar exempelvis underordnat be-greppet m¨obel, eftersom den f¨orsta extensionen ¨ar inkluderad i den andra. Alla bord ¨ar m¨obler. B⊆ M, kort och gott. ¨Omsesidig uteslutning mellan ord har ocks˚a en extensionell bas. Begreppen bord och lampa ¨ar varandras motsatser i den meningen att de har icke-¨overlappande extensioner (d.v.s. B∩ L = /0). (Mot-satspar som stor – liten och varm – kall kan inte f¨orst˚as p˚a detta s¨att, som vi s˚ag i avsnitt 2.3.4.)
En analys baserad p˚a m¨angdl¨ara kan allts˚a f˚anga viktiga sammanhang i natur-liga spr˚aks semantik och knyta ihop de lexikala (ordens bidrag) och kompositio-nella (syntaxens bidrag) komponenterna. Resultatet blir en typ av logisk analys som kommer att tillskriva satser en viss propositionell struktur. M¨angdl¨arans begrepp artikulerar allts˚a en grundl¨aggande inneh˚allslig form hos propositio-ner och d¨armed hos v˚art t¨ankande. V˚ar f¨orm˚aga att resopropositio-nera om verkligheten har sin grund i att vi kan se olika logiska samband mellan olika kategorier.
Utan den vore kunskaper och intelligent beteende ot¨ankbara. N¨ar man funde-rar p˚a m¨angdl¨arans abstrakta begrepp, b¨or man komma ih˚ag att de avspeglar avg¨orande drag i m¨anniskors s¨att att kommunicera och hantera sina liv.
3.7.1 Problemet med vaghet
Ett problem f¨or den extensionella semantiken och till¨ampningen av m¨angdl¨ara
¨ar vaghet. Vaghet g¨aller ofta lexikala begrepp och faller d˚a utanf¨or analysen av satser. Om vi t.ex. analyserar Pompe ¨ar ett husdjur som inte sover genom satsen
”p∈ H − S”, s˚a ger oss den eventuella vagheten hos husdjur och sover inte n˚agra problem, eftersom vi f¨or ¨ovrigt inte g˚ar in p˚a vilka m¨angderna H och S ¨ar.
Sanningsvillkoren f¨or en sats kan allts˚a ofta formuleras utan att vagheten hos de i satsen ing˚aende begreppen blir ett problem. I detta fall st¨ammer sanningsvill-koret ”p∈ H − S”, oavsett vilken avgr¨ansning av begreppen husdjur och sover man skulle f¨oredra. Den analyserade satsen f¨oruts¨atter endast att Pompes re-lation till de b˚ada extensionerna ¨ar v¨aldefinierad. Eventuella tvivelaktiga fall kommer inte med i bilden.5
3.8 Relationsextensioner
Skillnaden mellan egenskaper och relationer ligger, som vi tidigare n¨amnt, i att egenskaper tillskrivs enskilda ”vanliga” objekt, medan relationer tillskrivs tv˚a eller flera objekt betraktade i en viss ordning. Objekt kan ocks˚a st˚a i rela-tioner till sig sj¨alva. F¨or att kunna konstruera extensioner f¨or relationsbegrepp beh¨over vi en typ av objekt som kallas n-tupler. Variabeln n st˚ar h¨ar f¨or ett antal:
En n-tupel ¨ar en struktur med n stycken linj¨art ordnade ”platser” som var och en upptas av ett (godtyckligt) objekt. Som tidigare framh˚allits finns det ingen spe-ciell ordning mellan elementen i en m¨angd. I samband med relationer beh¨over man dock m¨ojligheten att s¨aga vilket av tv˚a eller fler objekt som ¨ar det f¨orsta, vilket som ¨ar det andra, o.s.v., av ett antal logiskt ihopknutna objekt. Det ¨ar just denna m¨ojlighet som n-tuplerna ger oss.
Dessa n-tupler representerar allts˚a en ny typ av abstrakt struktur. Ist¨allet f¨or 2-tupel s¨ager man vanligen ordnat par. Ett ordnat par skrivs ”hx, yi”, d¨ar x ¨ar det f¨orsta och y det andra objektet. H¨ar g¨aller allts˚a atthx, yi 6= hy, xi, om x 6= y.
(Notera att{x, y} = {y, x} g¨aller generellt, eftersom m¨angder inte ¨ar ordnade.)
5Man skulle kunna hantera vaghet formellt genom att definiera en typ av m¨angdl¨ara i vilken elementrelationen har ersatts av en relation som kan f˚anga grader av elementskap. Denna skulle kunna passa ihop med en teori om begreppsliga prototyper (avsnitt 2.3.5).
Relationsextensioner
En ordnad 3-tupel (eller trippel) skrivs ”hx, y, zi” och en ordnad 4-tupel (eller kvadruppel) ”hx, y, z, wi”. Vidare generalisering ¨ar uppenbar. (Lite f¨ordjupning om n-tupler finns i avsnitt 3.11.1.) Ett och samma objekt kan f¨orekomma p˚a tv˚a eller fler av en n-tupels platser. Exempelvis kan man para ihop ett objekt med sig sj¨alv, som i det ordnade parethParis, Parisi.
Extensionen till st¨orre ¨an kan nu skrivas ”{hx, yi | x ¨ar st¨orre ¨an y}”. En sats som Fido ¨ar st¨orre ¨an Pompe kan d˚a uttryckas:
h f , pi ∈ {hx, yi | x ¨ar st¨orre ¨an y}
Vi m˚aste ocks˚a till˚ata m¨ojligheten att tillskriva en relation till ett par d¨ar det f¨orsta objektet ¨ar samma som det andra. Exempelvis kan det vara s˚a att Pelle betraktar sig sj¨alv. Han st˚ar i s˚a fall i betraktanderelationen till sig sj¨alv, vilket kan formuleras ”hp, pi ∈ B”. Denna uttrycksm¨ojlighet har vi tuplerna att tacka f¨or.
Notera att det tekniska begreppet ”ordnat par” ger oss ett slags objekt som relationsbegrepp kan s¨agas vara till¨ampliga p˚a. P˚a samma s¨att som en egenskap definierar en extension, d.v.s. m¨angden av de objekt som har egenskapen ifr˚aga, s˚a har en relation en extension i form av en m¨angd av alla ordnade par i vilka f¨orsta objektet st˚ar i den aktuella relationen till det andra objektet. Relationer som relaterar tv˚a objekt s¨ags vara tv ˚ast¨alliga. Det finns ¨aven trest¨alliga relatio-ner. Verbet f¨oredra kan s¨agas st˚a f¨or en trest¨allig relation: N˚agon (1) f¨oredrar en sak (2) framf¨or en annan (3). Tv˚ast¨alliga relationers extensioner ¨ar m¨angder av 2-tupler (ordnade par); trest¨alliga relationers extensioner ¨ar m¨angder av ordnade 3-tupler; eller – f¨or att vara helt generell – n-st¨alliga relationers extensioner ¨ar m¨angder av ordnade n-tupler.6
Detta inneb¨ar att en 1-tupel identifieras med objektet som intar dess enda plats. Allts˚a:hxi = x. Egenskaper uppfattas d¨arigenom som enst¨alliga relationer (men man brukar inte anv¨anda termen ”relation” s¨arskilt ofta i det fallet).
Anledningen till att n-tupler beh¨ovs ¨ar allts˚a att vi skall kunna r¨akna med att relationella begrepp har extensioner. Extensionen till begreppet far till har t.ex.
f¨oljande ordnade par som element (bland miljarder andra):
hGustav Vasa, Erik XIVi hGustav Vasa, Johan IIIi hJohan III, Sigismundi hGustav II Adolf, Kristinai
Det ¨ar h¨ar uppenbart varf¨or vi beh¨over ordnade par. Hade vi bara haft oordnade m¨angder att tillg˚a hade vi inte kunnat skilja p˚a far och barn. S˚alunda ¨ar f¨oljande ordnade par inte element i extensionen till far till:
6En relationsextension ¨ar alltid en m¨angd av ordnade n-tupler, d¨ar n ¨ar ett best¨amt tal. Vi kan allts˚a inte ha relationsextensioner som inneh˚aller, exempelvis, b˚ade ordnade 5-tupler och ordnade 3-tupler.
hErik XIV, Gustav Vasai hGustav Vasa, Kristinai hKristina, Johan IIIi hEiffeltornet, Osloi
Tre av dessa ordnade par r˚akar dock vara element i extensionen till sl¨akt med (t.ex.).
Relationers extensioner kan vara o¨andliga (precis som egenskapers). T¨ank exempelvis p˚a s˚adana matematiska relationer som ”>” och ”<” (st¨orre ¨an och mindre ¨an), i vars extensioner ett o¨andligt antal ordnade talpar ing˚ar. M¨angd-operationerna g˚ar att anv¨anda f¨or att uttrycka relationer mellan relationers ex-tensioner p˚a samma s¨att som i samband med egenskapers exex-tensioner.
N˚agra fler exempel kan illustrera detta s¨att att f¨orst˚a relationer. (Dessa exem-pel torde kr¨ava lite funderande.)
Kalle betraktar Lisa, som betraktar Pompe.
{hk, li, hl, pi} ⊆ B N˚agon betraktar Pompe.
{x | hx, pi ∈ B} 6= /0
Ingen beundrar och f¨oraktar samtidigt n˚agonting.
B∩ F =/0
Inga filosofer beundrar sig sj¨alva.
{hx, xi | x ∈ F} ∩ B = /0(eller F∩ {x | hx, xi ∈ B} = /0) Alla lingvister beundrar alla filosofer.
{hx, yi | x ∈ L och y ∈ F} ⊆ B Alla hedrar sin fader och sin moder.
F∪ M ⊆ {hx, yi | hy, xi ∈ H} (”F” – far till; ”M” – mor till.)
3.8.1 Relationers dom¨aner och komplement
I avsnitt 3.5.6 inf¨orde vi begreppen ”dom¨an” och ”komplement”, men defini-tionerna och resonemanget g¨allde endast egenskapsextensioner. N¨ar vi disku-terar tv˚a- och flerst¨alliga relationers extensioner m˚aste vi generalisera begrep-pen. Komplementet till en relation b¨or vara en relation av samma st¨allighet, som r˚ader just i de fall den f¨orsta relationen inte r˚ader. Exempelvis b¨or komplementet till en egenskapsextension inte inneh˚alla ordnade par som inf¨orts f¨or analysen av relationer. Tupler inf¨or vi i den extensionella analysen f¨or att ”f˚a ihop” rela-tioners extensioner. De ing˚ar allts˚a i det m¨angdteoretiska metaspr˚akets dom¨an, men knappast i ett vardagligt objektspr˚aks dom¨an.
Det ¨ar h¨ar l¨ampligt att t¨anka i termer av totala egenskaper och relationer. Vi kan skriva ”Dn” f¨or den totala relationen av st¨allighet n, d.v.s. den relation som
Kardinalitet
r˚ader mellan vilka n stycken ordnade objekt som helst. (F¨or varje heltal n g¨aller allts˚a att Dn ¨ar m¨angden av alla n-tupler.) Detta kan vi formulera s˚a h¨ar:
D1= D = {x | x ∈ D}
D2= {hx1, x2i | x1∈ D och x2∈ D}
D3= {hx1, x2, x3i | x1∈ D och x2∈ D och x3∈ D}
D4= {hx1, x2, x3, x4i | x1∈ D och x2∈ D och x3∈ D och x4∈ D}
Och sedan p˚a motsvarande s¨att f¨or h¨ogre st¨alligheter.
Vi b¨or h˚alla reda p˚a m¨angduttryckens st¨allighet. Ett heltal knyts allts˚a till varje m¨angduttryck. Vi kan d¨armed omdefiniera komplementoperationen s˚a att den ger oss den komplement¨ara relationen p˚a det ¨onskv¨arda s¨attet. Den generella definitionen m˚aste bli:
Om R ¨ar av st¨alligheten n, s˚a R= Dn− R.
Denna formulering t¨acker in specialfallet d˚a R ¨ar en egenskap (enst¨allig rela-tion). Detta specialfall formulerades tidigare i avsnitt 3.5.6.
Detta generaliserade komplementbegrepp kan vi anv¨anda f¨or att uttrycka san-ningsvillkor p˚a nya s¨att. N˚agra exempel:
Ingen filosof beundrar sig sj¨alv. (Alla filosofer icke-beundrar sig sj¨alva.) {hx, xi | x ∈ F} ⊆ B
Den som varken har sett eller h¨ort en sak k¨anner inte till den.
S∪ H ⊆ K (En sak – vad som helst.)
3.9 Kardinalitet
De m¨angder som inte ¨ar o¨andliga har ett best¨amt antal element. M˚anga utsagor handlar om antal. Det kan allts˚a vara anv¨andbart med en funktion som ger oss antalet element i en m¨angd. Detta drag hos en m¨angd brukar kallas f¨or dess kardinalitet (som ¨ar ett ”fint” ord f¨or antalsm¨assig storlek). Vi kan anv¨anda
”kard(M)” som beteckning f¨or kardinaliteten – antalet element – hos m¨angden M. Dessa exempel illustrerar:
kard({Paris, Berlin, London}) = 3 kard({x | x ¨ar evangelief¨orfattare}) = 4 kard(/0) = 0
Kardinalitetsoperatorn ger oss m¨ojlighet att formalisera utsagor om antal, som dessa exempel visar:
Det finns tre nordiska monarkier. kard(N ∩ M) = 3 Det finns fler fiskar ¨an valar. kard(F) >kard(V )
De flesta hundar sk¨aller. kard(H ∩ S) >kard(H − S)
Om m¨angden M ¨ar o¨andlig, s˚a ¨ar v¨ardet hos ”kard(M)” odefinierat, eftersom det d˚a inte finns n˚agot tal som anger antalet element hos M.