Lite mer om kvantifikation

NP N

inga tr¨otta hundar

λY[¬∃x[(T (x) ∧ H(x)) ∧Y (x)]]

VP P sk¨aller S

Och slutligen kan vi f¨orenklaS-uttryckets semantiska v¨arde:

λY[¬∃x[(T (x) ∧ H(x)) ∧Y (x)]](S) =

¬∃x[(T (x) ∧ H(x)) ∧ S(x)]

Detta ¨ar den korrekta analysen av Inga tr¨otta hundar sk¨aller. (Syntaxtr¨adet bakom analysen visas, som sagt, i figur 4.1.)

Med hj¨alp av dessa regler och detta lexikon kan vi nu automatiskt ber¨akna den logiska analysen av ett antal satser. Regler av denna typ kan formuleras s˚a att de t¨acker in betydligt st¨orre delar av ett spr˚ak. Eftersom de ¨ar rent mekaniska kan de l¨att till¨ampas av en dator. Denna typ av teknik spelar d¨arf¨or stor roll i datorlingvistiken.

Dessa exempel har visat lite av lambdaoperatorns anv¨andning. Den ¨ar mycket kraftfull och med dess hj¨alp kan m˚anga problem i den kompositionella seman-tiken hanteras p˚a ett elegant s¨att. Varje fras kan tilldelas ett semantiskt v¨arde och semantisk komposition kan beskrivas i termer av applikation av funktioner.

Denna modell av kompositionell semantik passar v¨al ihop med formellt defini-erade modeller av syntax. Vi har sett hur den kan kombineras med en frasstruk-turgrammatik. Den som vill f¨ordjupa sig i detta ¨amne rekommenderas att l¨asa n˚agon l¨arobok i formell semantik.¹³

4.7 Lite mer om kvantifikation

Ett av de mest betonade fenomenen i logisk semantik ¨ar kvantifikation. All-och existenskvantifikatorn ¨ar tv˚a grundl¨aggande exempel. Det finns lite olika s¨att att mer precist definiera vad man menar med kvantifikation. Om vi ser p˚a svenska spr˚aket, s˚a verkar satser av typen Alla A ¨ar B och N˚agot A ¨ar B vara typiska. I s˚a fall kan vi t¨anka oss att kvantifikation handlar om relationer mellan m¨angder.

Dessa exempel illustrerar denna id´e:

13Exempelvis Dowty, Wall & Peters (1981) eller Heim & Kratzer (1998).

Lite mer om kvantifikation

Svenska Predikatlogik M¨angdl¨ara

N˚agot/vissa/somliga A ¨ar B ∃x[A(x) ∧ B(x)] A∩ B 6= /0 Alla/varje A ¨ar B ∀x[A(x) → B(x)] A⊆ B

Ingen A ¨ar B ¬∃x[A(x) ∧ B(x)] A∩ B = /0

Det finns fler typer av kvantifikation i naturligt spr˚ak, t.ex. tv˚a A ¨ar B, m˚anga A ¨ar B och de flesta A ¨ar B.

Specifik numerisk kvantifikation (en, tv˚a, tre, o.s.v.) kan analyseras om vi inf¨or identitetsrelationen (”=”) som en logiskt best¨amd relation. Satsen en hund bet Pelle i bem¨arkelsen precis (endast) en hund bet Pelle kan inte uttryckas

”∃x[H(x) ∧ B(x, p)]”, eftersom den bara kr¨aver att minst en hund bet Pelle. Den till˚ater t.ex. att fem hundra hundar bet Pelle. Ist¨allet m˚aste vi formulera oss s˚a h¨ar:

∃x[H(x) ∧ B(x, p) ∧ ¬∃y[y 6= x ∧ H(y) ∧ B(y, p)]]

Detta kan utl¨asas: ”det finns minst en hund som bet Pelle, men det finns inte n˚agon annan hund (y) som bet Pelle” (annan: ”y6= x”). Och det betyder: precis (endast) en hund bet Pelle. Skall vi uttrycka t.ex. precis tv˚a hundar bet Pelle, s˚a kan vi formulera oss enligt m¨onstret:

∃x₁[H(x₁) ∧ B(x₁, p)∧

∃x₂[(x₁6= x₂) ∧ H(x₂) ∧ B(x₂, p)∧

¬∃y[(y 6= x1) ∧ (y 6= x2) ∧ H(y) ∧ B(y, p)]]]

Denna ganska komplicerade formel s¨ager att det finns en hund som bet Pelle (x₁) och en annan hund som bet Pelle (x₂) och ingen ytterligare hund som bet Pelle (y). Vi m˚aste uttryckligen s¨aga att de tv˚a hundarna ¨ar distinkta (x16= x2) och att y (som inte existerar) ¨ar skild fr˚an dessa (y6= x₁∧ y 6= x₂), eftersom variabler kan ta vilka individer som helst som v¨arden. Denna analys inneb¨ar att de numeriska begreppen ”analyseras bort”. Med hj¨alp av existenskvantifikation, satslogik och identitetsrelationen kan vi allts˚a hantera numerisk kvantifikation utan att referera till tal, men analysen blir v¨aldigt komplicerad. Ju st¨orre an-tal, desto mer komplicerade formler. Det verkar d¨arf¨or vara motiverat att inf¨ora kardinalitetsfunktionen (se avsnitt 3.9) direkt i semantiken. Kvantifikation av typen de flesta A ¨ar B (med synonymen flertalet A ¨ar B) skulle d¨armed ocks˚a kunna hanteras. Den kan uttryckas:

kard(A ∩ B) ≥kard(A − B)

Denna formel inneb¨ar att antalet A som ocks˚a ¨ar B, kard(A ∩ B), ¨ar st¨orre ¨an antalet A som inte ¨ar B,kard(A − B). (Denna typ av analys inneb¨ar dock att man fr˚ang˚ar f¨orsta ordningens logik, eftersom predikaten d˚a behandlas som termer.)

Kvantifikation i termer av m˚anga ¨ar problematiskt p.g.a. vaghet. Det ¨ar inte precist best¨amt hur m˚anga m˚anga ¨ar. Dessutom beror antalet p˚a vad man talar om. Den typ av kvantifikation som ¨ar aktuell i samband med massbegrepp (se avsnitt 2.2.1) ¨ar en annan komplikation (som g¨aller kvantifikatorord som lite och mycket.) Kvantifikation har under de senaste tjugo ˚aren varit ett av de mest studerade fenomenen i den logiska semantiken.

4.7.1 Tid och rum

Tidsliga och rumsliga f¨orh˚allanden f˚angas ofta av satser. Dessa aspekter kan analyseras logiskt genom att vi antar att tiden best˚ar av tidpunkter och rum-met av rumspunkter (koordinater eller lokationer). Detta s¨att att se p˚a saken f¨orekommer ¨aven i andra sammanhang. En analys uttryckt i predikatlogik kan behandla tid- och rumspunkterna som individer. De ¨ar givetvis av en annan typ

¨an materiella objekt, men denna skillnad beh¨over man inte markera i de logiska analyserna.

Tid och rum kan knytas samman med vissa predikat genom att vi antar att de har extra platser f¨or tids- och rumsargument. De predikat som vi tidigare betraktat som enst¨alliga kan s˚aledes bli trest¨alliga. Vi kan t.ex. anta att verb som f¨odas och d¨o st˚ar f¨or relationer som appliceras p˚a tre argument: en varel-se, en tidpunkt och en rumspunkt. Ordet ”punkt” b¨or inte f¨orst˚as alltf¨or strikt h¨ar, eftersom tiden och platsen kan vara utstr¨ackta. En noggrann analys skulle skilja p˚a tidpunkter och tidsintervall och p˚a rumspunkter och utstr¨ackta delar av rummet. N˚agra exempel visar id´en (”t” och ”l”: variabler f¨or tid och lokation):

Karl XII dog i Halden 1718.

D₁(k, 1718, h)

Karl XII f¨oddes (n˚agong˚ang) i Stockholm.

∃t[F(k,t, s)]

Karl XII f¨oddes (n˚agonstans) en regnig dag.

∃t[∃l[D₂(t) ∧ R(t, l) ∧ F(k,t, l)]]

Varje minut f¨ods (n˚agonstans) en valp.

∀t[M(t) → ∃l[∃x[V (x) ∧ F(x,t, l)]]]

Karl XII f¨oddes i en huvudstad en regnig dag.

∃t[∃l[D₂(t) ∧ R(t, l) ∧ H(l,t) ∧ F(k,t, l)]]

Tidpunkter f¨oljer en tidslinje och ¨ar ordnade i f¨orh˚allande till varandra. Ofta t¨anker man sig att denna liknar tallinjen och d¨arf¨or anv¨ands ”<” i betydelsen

”komma f¨ore” och ”>” i betydelsen ”komma efter”.

Lite mer om kvantifikation

F¨oljande analys ¨ar d˚a m¨ojlig f¨or en sats som Pelle bes¨okte f¨orst Marseille och sedan Nice:

∃t₁[∃t₂[t₁< t₂∧ B(p,t₁, m) ∧ B(p,t₂, n)]]

Enligt denna analys finns tv˚a tidpunkter: Den ena kommer f¨ore den andra. Vid den f¨orsta bes¨oker Pelle Marseille och vid den andra Nice. Denna id´e till˚ater oss

¨aven att analysera Pelle har alltid bes¨okt Nice efter att han har varit i Marseille:

∀t₁[B(p,t₁, m) → ∃t₂[t₁< t₂∧ B(p,t₂, n)]]

Vanligt spr˚ak markerar dock ofta att tiden och rummet har en s¨arst¨allning. Tids-och rumsadverbial verkar p˚a ytan inte fungera som kvantifierande nominal-fraser, men ofta ¨ar logiska analyser m¨ojliga som framh¨aver en likhet mellan dessa typer av uttryck. Vi kan t.ex. f¨orst˚a n˚agra tids- och rumsadverb p˚a dessa s¨att:

alltid – ”vid alla tidpunkter”

¨overallt – ”vid alla rumspunkter”

n˚agong˚ang – ”vid n˚agon tidpunkt”

n˚agonstans – ”vid n˚agon rumspunkt”

aldrig – ”inte vid n˚agon tidpunkt”

ingenstans – ”inte vid n˚agon rumspunkt”

Detta till˚ater oss att formulera t.ex. f¨oljande analyser.

Ingen ¨ar alltid glad. ¬∃x[∀t[G(x,t)]]

Det finns n˚agon som aldrig ¨ar glad. ∃x[¬∃t[G(x,t)]]

Det finns alltid n˚agon som ¨ar glad. ∀t[∃x[G(x,t)]]

Vi kan h¨ar ignorera den rumsliga dimensionen. (Om n˚agon ¨ar glad, s˚a finns denna gl¨adje s.a.s. endast d¨ar personen ifr˚aga finns.) Ofta finns allts˚a under-f¨orst˚adda tidsliga och rumsliga samband. En sats som Karl ¨ar aldrig glad n¨ar det regnar kan enklast f¨orst˚as som ”∀l[∀t[R(t, l) → ¬G(k,t)]]”. Den naturliga tolkningen ¨ar dock att det relevanta regnet ¨ar det som faller d¨ar Karl befinner sig. Vi kan f˚a med denna begr¨ansning i analysen med hj¨alp av ett predikat ”B”

som s¨ager att ett objekt befinner sig vid en given tid vid en given plats.

Karl ¨ar aldrig glad n¨ar det regnar.

∀l[∀t[(R(t, l) ∧ B(k,t, l)) → ¬G(k,t)]]

Det har h¨ant att Karl har varit glad n¨ar det regnar.

∃l[∃t[R(t, l) ∧ B(k,t, l) ∧ G(k,t)]]

Tempus inneb¨ar ofta en referens till diskursens tidpunkt. Presens inneb¨ar att n˚agot g¨aller nu (eller i framtiden) och preteritum och det g¨aller en tidpunkt i det f¨orflutna. Olika futurumkonstruktioner kan markera att n˚agot kommer att ske. Dessa fall kan vi analysera genom att vi antar att kontexten ger oss en tidpunkt (som vi kan kalla ”tnu”) som ¨ar yttrandetidpunkten, den tidpunkt d˚a en sats yttras. En sats som Alla hundar kommer att sk¨alla kan d˚a f˚a denna analys:

∀x[H(x) → ∃t[(tnu< t ∧ S(x,t))]]

Detta inneb¨ar att det f¨or varje hund finns en framtida tidpunkt vid vilken hunden ifr˚aga sk¨aller. I den svenska exempelsatsen f¨oreligger en r¨ackviddsambiguitet (se avsnitt 4.3.1): En annan tolkning av satsen ¨ar att det finns en framtida tid-punkt vid vilken varje hund sk¨aller. (I f¨orsta fallet beh¨over inte alla hundar kom-ma att sk¨alla samtidigt, men den andra l¨asningen kr¨aver samtidighet.) Denna andra l¨asning kan formaliseras som:

∃t[tnu< t ∧ ∀x[H(x) → S(x,t)]]

Dessa analyser visar att diverse subtiliteter vad g¨aller tid och rum kan hanteras inom predikatlogikens ram. Vi kan uppfatta detta som ett st¨od f¨or denna typ av semantik.