Mina frågeställningar var:
1. Vilka svårigheter tampas lärare med i undervisningen av tal i bråkform?
2. Vilka undervisningsmetoder använder lärare för att komma över dessa svårigheter?
2a. Vilka undervisningsmetoder använder lärare när de undervisar om tal i bråkform?
2b. Vilka artefakter används i vilka moment av undervisningen i bråkräkningen?
4.3.1 Svårigheter i undervisningen av tal i bråkform
Den empiriska data som samlats in visar att svårigheterna i undervisningen av tal i bråkform är i hög grad att hitta strategier som kan generera elevernas förståelse. Eftersom detta
arbetsområde är komplext och brett blir undervisningen i vissa fall en utmaning för läraren. I intervjuerna har lärarna berättat att de har olika strategier som de tillämpar beroende på eleverna och deras förkunskaper. Det finns ingen universallösning i undervisningen av tal i bråkform.
Eleverna berättar att deras svårigheter är att de tycker att det är besvärligt att storleksordna talen. Ett vanligt misstag som eleverna gör är att de kopplar värdet på nämnare till värdet av naturliga tal så som att talet 9 är nära 10 och därför är 1
9 nästan det samma som 1 (McIntosh 2020, s 31). Eleverna brukar även göra misstag med omvandlingen av decimaltalet 0,5 till bråktalet 1
5 och vice versa. Detta kan undvikas genom att lära eleverna utbytbara bråk ordentligt, där talen ser olika ut men har samma värde (2
4 och 1
2).
Litteraturen synliggör att lärare som besitter ämnes- och didaktiska kunskaper samt har en kännedom om elevernas förkunskaper planerar sin undervisning utifrån dessa förhållanden.
De arbetar bland annat utifrån det sociokulturella perspektivet (Lundgren m. fl. 2017, s 258–
262). Denna undervisningsstrategi tar hänsyn till elevens förkunskaper, potentiell utveckling och förmågor som ännu inte har mognat. Litteraturen beskriver även att talen i bråkform är svåra att förmedla och ger därför många olika strategier som kan användas i undervisningen.
Det som synliggörs är vikten av att variera undervisningen samt att använda olika metoder och artefakter.
Svårighet till den tvådimensionella strukturen
I det sociokulturella perspektivet talar forskare om hur viktigt det är att bygga upp kunskaper hos eleverna som de kan relatera till (Lundgren m. fl. 2017, s 262). Därför utgör den
tvådimensionella uppbyggnaden hos bråktalen en större utmaning för läraren i dess undervisning. Bråkundervisningen kan kopplas till elevernas vardag i och med att läraren använder sig av exempelvis antalet dagar per vecka, hur långt in i veckan vi har kommit eller antalet flickor i klassen (McIntosh 2020, s 36). Lärarna som har deltagit i denna studie berättar att de kopplar undervisningen till saker som eleverna känner till. Det kan handla om
pizzabitar, kakor som delas eller vilket antal godisar en elev får då dessa delas med kamrater.
När läraren använder exempel som finns runt om eleven kan också eleven blicka tillbaka i sin kunskapsutveckling för att få en djupare förståelse av talen i bråkform. Det är viktigt att läraren tar upp exempel som en halv, en tredjedel eller en fjärdedel samtidigt som läraren skriver 1
2, 1
3 eller 1
4 på tavlan. Detta är viktigt eftersom eleverna har hört dessa uttryck flera gånger i sin uppväxt, men de har inte referenserna till notationerna av bråktalen. På detta sätt får eleverna både se hur dessa tal skrivs och uttalas (McIntosh 2020, s 33). I vardagligt tal säger vi ofta dela upp kakan i fjärdedelar eller en halv liter mjölk och detta gör vi utan att reflektera över att det är tal i bråkform vi använder när vi uttrycker det (McIntosh 2020, s 28f).
Eleverna har svårt att ta till sig av den tvådimensionella strukturen som talen i bråkform består av (Billstein 2013, s 286f). Eleverna har i introduktionen av tal i bråkform svårt att se
helheten. Ofta ser eleverna endast nämnaren eller täljaren, inte båda tillsammans. Talet 3
4 av en pizza visar att det är viktigt att ta hänsyn till både nämnaren och täljaren, annars blir inte antalet pizzabitar rätt. Detta visar eleverna på frisvarsfrågan i enkäten att de tycker det är svårt att se talets helhet. I ytterligare undervisning av tal i bråkform kommer eleverna att få en djupare förståelse av talets tvådimensionella uppbyggnad (Billstein 2013, s 288). En elev förstår inte varför en fjärdedel av en krona är 25 öre samtidigt som en fjärdedel av en timme är 15 minuter. En fjärdedel är följaktligen samma enhet för eleverna. Den tvådimensionella strukturen hos ett tal i bråkform utgör en relation till varandra, en relation mellan nämnaren och täljaren (DeWolf m. fl. 2014, s 140). Motsvarigheten till den tvådimensionella strukturen hos tal i bråkform är den endimensionella strukturen hos tal i decimalform som dessutom följer det naturliga talens struktur och uppbyggnad.
Elever och även vissa lärare har en tendens till att översätta den tvådimensionella strukturen hos ett tal i bråkform till ett endimensionellt uttryck som tal i decimalform har (DeWolf m. fl.
2014, s 130). Det finns ofta ingen anledning att gå det extra steget som det innebär att omvandla bråktal till decimaltal för att kunna jämföra eller räkna ut talet. DeWolf (2014) menar att den endimensionella uppbyggnaden ger en enklare uppfattning om storleken av talet just av den enkla anledningen att decimalformen är endimensionell. Talen i bråkform består av flera olika delar så som ekvivalenta bråk där två till synes helt skilda tal visar samma sak eller samma mängd (Nagy 2017, s19f). Även förlängning och förkortningar av talen i bråkform är komplicerade. Det är svårt för eleverna att förstå att de behöver förlänga eller förkorta talet för att de ska kunna utföra operationer på till synes enkel addition eller subtraktion.
4.3.2 Lärares undervisningsmetoder
Syftet med denna studie är att hitta arbetssätt där undervisningsmetoderna av tal i bråkform främjas i avsikt att öka elevernas förståelse.
Läraren Jonny beskriver i intervjun att han återkommer till tal i bråkform under hela elevernas utbildning. Han menar att repetition av talen ger eleverna ett effektivare tankesätt samt att kunskapen finns lagrad i närminnet och i långtidsminnet. När han undervisar på detta sätt, blir kunskapen holistisk (Zhang m. fl. 2016, s 4). Det holistiska synsättet och lärandet är ett viktigt perspektiv att ta i beaktande i undervisningen (Guvå 2014, s 8). Det är en viktig aspekt för elevernas kunskapsutveckling som i stort sett varje professionell lärare strävar efter att ge sina
elever. Därtill kan det även innebära allt från att lära eleverna att vara goda och sociala medborgare, ha en god relation till kamrater, lärare, föräldrar och personer runt omkring sig (Skolverket 2020b). Som beskrivs tidigare, lär sig eleverna bråktalens helhetsuppbyggnad på ett holistiskt sätt, men inte när de behöver dela upp talet i komponenter så som att skilja nämnare och täljare åt (Zhang m. fl. 2016, s 4). Detta betyder att när eleverna ska utföra operationer på tal i bråkform, sker inte detta med holistiska kunskaper, enligt Zhang med fleras (2016) studie. Vid olika värde på nämnaren behöver eleverna förlänga eller förkorta bråktalet och på detta sätt behöver bråktalet delas upp och helheten finns då inte kvar. När eleverna övar in talen i bråkform automatiskt, blir kunskapen holistisk (Zhang m. fl. 2016, s 4).
4.3.3 Artefakter
Artefakterna i undervisningen om tal i bråkform är många och olika. Bråkräkningskittet som illustreras i Figur 7, innehåller flera olika sorters material (Beta pedagog 2020). Detta kitt visar att det är vanligt att lärare har flera olika sorters material i sin undervisning av tal i bråkform. I intervjuerna har lärare också beskrivit hur de använder olika sorters artefakter och hur viktigt de tycker att det är att man som lärare gör detta. Om läraren bara använder
bråkcirklar i sin undervisning kan eleverna tro att cirklarna hör ihop med bråktalen (McIntosh 2020, s 33f). I introduktionen av tal i bråkform är det bra att börja med laborativa läromedel.
På detta sätt kan eleverna skapa sig en inre föreställning för att sedan avancera sin förståelse.
Det är viktigt att eleverna får klippa, rita, dela områden och experimentera med olika föremål, vilket lärarna som deltagit i denna studie gör i sin undervisning. Detta är ett effektivt sätt att bygga upp sin förståelse om bråktalen. När eleverna får laborera själva eller tillsammans med sina kamrater utvecklar de sin förståelse för bråktalen, dess storlek, begrepp och notationer.
Lärarna som deltagit i denna studie har alla använt olika artefakter till sin hjälp. Det som alla lärare har gemensamt är att de använder både bråktavla och bråkcirklar. McIntosh (2020) skriver att det är viktigt att presentera både kvadratiska och cirkulära modeller i
undervisningen om tal i bråkform. När lärare blandar dessa modeller blir det tydligare för eleverna att bråktalen inte har samma form (McIntosh 2020, s 33f). När eleverna utvecklar sina kunskaper behöver de lära sig att göra representationer av bråktalen, se Figur 8 (Roos &
Trygg 2018, s 7).
De laborativa läromedlen som används i undervisningen kan med fördel vara flera olika artefakter. I denna studie åskådliggörs vikten av att använda laborativt material. Elevernas progression sker i hög grad då de får laborera och samtala med varandra om materialet som en grund i deras reflektioner. I pragmatismen är laborativa läromedel en mycket viktig del av undervisningen (Lundgren m. fl. 2017, s 241ff).
4.3.4 Vikten av kollegialt arbete
De medverkande lärarna i denna studie samarbetar inte på samma sätt och i samma
årsarbetslag som de har gjort tidigare. Lite av kunskapen försvinner när resonemangen med kollegorna inte finns kvar. Som lärare går yrket till stor del ut på att resonera och reflektera.
Det är viktigt att reflektera över hur lektionen har varit och vad som kan förändras till det bättre samt vad som var bra. Det är enkelt att bli hemmablind och inte se vad eller hur man kan förändra sina egna lektioner till det bättre. Nagy (2018a) beskriver att samarbetet mellan lärare är en viktig framgångsfaktor i undervisningen av tal i bråkform. Reflektionen med kollegorna är viktig och gör att vi kommer vidare i vår progression och i våra tankar. Utan
resonemanget med kollegorna är det lätt att tappa bort eller glömma värdefulla undervisningsmetoder.
Elevernas progression av bråktal visas på bästa sätt när läraren vet att eleverna har utvecklat en förståelse för talen och dess uppbyggnad (Hattie 2012, s 45f). Läraren behöver även lägga fokus på vilken nivå eleven befinner sig på och vad denne kan om tal i bråkform i uppstarten av detta arbetsområde. När läraren kan inkludera dessa kriterier gör undervisningen skillnad för elevernas förståelse och fortsatta utveckling i arbetsområdet. Elevernas förkunskaper behöver kopplas till introduktionen av tal i bråkform om eleverna ska kunna ta till sig av den nya kunskapen. Det som Hattie (2012) beskriver här går som en röd tråd genom denna studie.
I det sociokulturella perspektivet finns elevernas förkunskaper med som en mycket viktig del av undervisningen.
Referenspunkter som procedur i bråkräkningen
Läraren Anne berättar hur hon använder referenspunkter i undervisningen av tal i bråkform.
Hon använder dessa referenspunkter när hon arbetar med snören. När eleverna får dela snören och använder ett av dessa som referenspunkt får eleverna en annan förståelse för bråkets uppbyggnad. Denna förståelse är värdefull då eleverna kan använda referenserna i framtida jämförelser av tal i bråkform. Dessutom tillgodoser eleverna sig en förståelse för att tal i bråkform är referenser och inte räknetal. När läraren använder sig av Singaporemodellen, undervisar läraren genom att ge eleverna referenspunkter (Agardh & Rejler 2017, s 5f).
Läraren Anne berättar om hur hon använder Cusinairestavar i egenskap att synliggöra talet i bråkform på ett abstrakt sätt. Denna metod används i första hand för att lösa operationer av bråktalen, men kan även användas för att belysa hur vissa bråktal ser ut.
4.3.5 Sociokulturella perspektivet i praktiken
I det sociokulturella perspektivet är det kommunikationen som är en av de viktigaste förutsättningarna för att lärandet ska kunna ske (Säljö 2000, s 36). Det beskrivs ofta som mediering, där vi talar med varandra och förmedlar kunskaper, erfarenheter och begrepp (Säljö 2000, s 232). Lärare talar om hur eleverna lär sig via mediering. De säger att när
eleverna klär något med ord, då gör de tanken till något åtkomligt och utvecklingsbart. Tänker du själv så stannar tanken eftersom det är i samtalen som vi lär oss. När vi resonerar förs samtalet framåt och vi får ett utbyte av hur andra ser på det, viket vi inte hade fått om vi reflekterar själva. Det är de olika infallsvinklarna som gör att samtalet och kunskapen för oss framåt både i vårt resonemang och i vår progression.
Lärarna som deltagit i denna studie beskriver också hur eleverna redan känner till tal i bråkform, speciellt om de har syskon. Det kan handla om det vi säger till vardags till våra barn, så som att dela kakan på hälften eller ta en halvliter mjölk samt hur syskon får dela upp en godispåse sinsemellan. Lundgren med flera (2017) beskriver hur elevernas
kunskapsutveckling sker i ett förhållande till hur de deltar i utvecklingen. Eleverna delar kunskapen tillsammans i skolan och med sina syskon hemma (Lundgren m. fl. 2017, s 262).
Den proximala utvecklingszonen är när eleverna får strukturerad hjälp från läraren och sedan kan klara av att utföra uppgiften själv utan hjälp från någon annan (Selander 2017, s 86f; Säljö 2000, s 66f; Lundgren m. fl. 2017, s 258–261). När eleverna är i den proximala
utvecklingszonen lär de sig på bästa sätt. De har något som de kan förankra den nya kunskapen med, alltså något som de redan känner till (Lundgren m. fl. 2017, s 258–261). I praktiken sker detta när läraren visar eleverna bråktal av olika slag med olika artefakter och
sedan ger eleverna uppgifter att lösa på egen hand. Lärarna som deltagit i studien berättar att de låter eleverna leka sig fram till olika lösningar och när de leker med tal i bråkform arbetar de fram en förståelse om talet och dess uppbyggnad. Vygotskij (1934/1978) beskriver att källan till utveckling skapas när barnet leker samt att detta leder till den proximala utvecklingszonen.
4.3.6 Pragmatism i praktiken
Empiriska data visar att artefakter används flitigt i undervisningen. Denna
undervisningsmetod går väl ihop med pragmatismens perspektiv med Learning by doing.
Pragmatismen har sin utgångspunkt i att eleverna lär sig när de gör något som är praktiskt invävt i det teoretiska (Lundgren m. fl. 2017, s 241ff). Detta kallas för learning by doing.
Pragmatismen handlar mycket om Learning by doing, att vi lär när vi praktiserar kunskapen.
Detta perspektiv framhåller vikten av artefakter och laborativa läromedel. Det är svårt att undervisa tal i bråkform utan artefakter och därför stödjer denna studie detta perspektiv.
I praktiken ska läraren ha en passiv roll i klassrummet för att utvecklingen ska kunna ske. I den praktik som lärarna i denna studie talar om, får eleverna använda sig av olika artefakter för att utveckla sina kunskaper om tal i bråkform. När eleverna klipper snören i olika längd eller använder Singaporemodellen med hjälp av Cuisenaires stavar använder de den
pragmatiska läran och dess innebörd fullt ut. I dessa exempel ovan får eleverna själva forska och reflektera sig fram till olika lösningar medan läraren faktiskt har en passiv roll i
klassrummet. I ett ytterligare steg får eleverna praktisera kunskapen när läraren använder bråktavlor, bråkcirklar och ritar upp olika modeller på tavlan. Eleverna kan utgå ifrån detta i egenskap att utveckla sina kunskaper. Den demokratiska delen är en viktig del i skolan inom pragmatismen och den delen kommer in när eleverna får använda olika material för att öka sin förståelse. Läraren Ralf berättar, att de elever som fortfarande har svårt att greppa talen i bråkform, får låna en bråktavla för att kunna utforska delarna i tavlan på egen hand. Även läraren Anne låter eleverna utforska till viss del på egen hand, men helst vill hon att de gör det tillsammans.