Utbytbara bråk

Utbytbara bråk är tal som är lika stora, exempelvis ¹

2, ²

4 och ³

6 som alla bildar en halv.

Notationer av tal i bråkform är hur talet skrivs så som ¹

4 eller ¼ till exempel. Utbytbara bråk är olika bråk i notationen, men det är samma tal som har samma värde (se Figur 2). I utbytbara bråk får eleverna en bättre helhetssyn om talen i bråkform visas med hjälp av figurer. Läraren behöver vara tydlig med vad utbytbara bråktal är och hur de kan användas på bästa sätt.

Läraren kan utgå från rektanglar som har delats i delar och där varje del kan delas upp ytterligare en eller två gånger. Figur 2 illustrerar detta.

Figur 2 Utbytbara bråk (McIntosh 2020, s 34).

En av det vanligaste svårigheterna eleverna hyser med tal i bråkform är att de kopplar nämnaren med värdet på det naturliga talen. Talet 9 är närmast tio i det naturliga talen och notationer som ¹

9 uppfattas som nära 1 av eleverna (McIntosh 2020, s 31). Ett annat vanligt misstag som eleverna gör i introduktionen av tal i bråkform är att uppfatta 0,5 detsamma som

1

5 (McIntosh 2020, s 30–39). Många missuppfattningar kan förhindras genom att lära eleverna de utbytbara, lika stora, bråktalen ordentligt. Om eleverna kan erhålla en god grundförståelse för dessa tal är sannolikheten för misstag i bråktal och främst i förlängning och förkortning av tal i bråkform mycket mindre. En förlängning av tal i bråkform behövs vid tal som ¹

2 + ¹

4. I detta fall behöver talet förlängas eftersom nämnaren behöver ha samma värde i båda talen, ¹

2 +

2 2 = ³

4. Talet förlängs följaktligen med 2. Det är även vanligt att elever uppfattar att de behöver göra bråken liknämniga för att kunna jämföra dem. En elev med god taluppfattning ser att det ena talet i bråkform är större än det andra utan att göra talen liknämniga.

Introduktionen av tal i bråkform bör innefatta laborativa material och artefakter där eleverna får klippa, klistra och jämföra olika tal i bråkform (McIntosh 2020, s 30–39). Samtalen kring bråken hjälper eleverna med deras förståelse av notationerna i talen, alltså hur talen skrivs.

När läraren använder laborativt material i undervisningen av tal i bråkform får eleverna en helhetssyn om hur talen ska betraktas och i notationerna.

En elev med god taluppfattning väljer det mest effektiva sättet i varje enskilt fall när denne ska jämföra tal i bråkform (McIntosh 2020, s 34). Elever med god taluppfattning jämför bråkuttryck som har samma täljare eller nämnare samt undersöker om talet är större eller minder än en halv. Undersökningar har visat att elever med god taluppfattning startar med att avgöra om talet är minder eller större än en halv (Clarke m. fl. 2010, s 4f). Det är lärorikt för eleverna att resonera och diskutera mycket om hur talen ser ut och är uppbyggda (McIntosh 2020, s 34). Eleverna kan även undersöka olika former och figurer samt mönster hos

utbytbara tal i bråkform (se Figur 2). Det är viktigt att eleverna förstår att när de multiplicerar både nämnare och täljare är bråktalet densamma, de har endast förlängt talet. Detta kan illustreras genom att dela en rektangel i tredjedelar och markera en tredjedel (se Figur 3). I nästa steg multipliceras både täljare och nämnare för att kunna dela rektangeln igen (se Figur 3). Med denna illustration kan eleverna se hur rektangeln delas i flera och mindre delar samtidigt som den har sin ursprungliga form. Figur 3 illustrerar detta.

Figur 3 (McIntosh 2020, s 34).

Många studier visar att laborativa läromedel har betydelse i undervisningen av tal i bråkform (McIntosh 2020, s 28–39; DeWolf m. fl. 2014, s 129; Nagy 2017, s 29ff). Det kan handla om Cusinairestavar, bråkcirklar, bråktavlor, laminerade former och papper som viks. Betydelsen av kongruenta tal i bråkform är att motsvarande sidor behöver vara lika stora (Mattecentrum 2019). För elevernas förståelse om att bråkdelarna behöver vara lika stora samt att lika delar behöver vara kongruenta, behöver inte färdiggjorda resurser vara lösningen (Clarke m. fl.

2010, s 4). Det är viktigt att låta eleverna laborera på egen hand samt att det är viktig att använda olika material (Clarke m. fl. 2010, s 4). I studier visar elever att de kopplar tal i bråkform till cirklar, därför behövs flera olika artefakter som visar eleverna att det även handlar om exempelvis rektangulära former (McIntosh 2020, s 34ff; Clarke m. fl. 2010, s 4f).

Läraren behöver representera tal i bråkform på olika sätt och visa eleverna olika laborativa material eftersom varje modell inte är den andre lik (Clarke m. fl. 2010, s 4f).

En elev får i uppgift att visa ¾ på så många sätt som denne kunde komma på, se Figur 4 (Clarke m. fl. 2010, s 10). Eleven visar på en stor förståelse av taluppfattning samt stor uppfinningsrikedom (se Figur 4).

Figur 4 (Clarke m. fl. 2010, s 2).

Figur 4 visar hur en elev ritar ¼ på så många olika sätt som eleven kunde komma på vid tillfället av studien (Clarke m. fl. 2010, s 4). Eleven har erhållit undervisning där de har kopplat tal i bråkform till representationer av olika slag samt använt olika resurser (Clarke m.

fl. 2010, s 4).

Stambråk

I vardagligt tal kan vi säga ”dela upp den i fjärdedelar” eller ”en halv liter mjölk”, men utan att tänka på att detta tillhör ett tal i ett större perspektiv (McIntosh 2020, s 28f). Ett stambråk är ett bråktal där täljaren alltid består av 1. Det kan handla om ½, 1/3 eller 1/5. Ett stambråk såsom en halv, en fjärdedel eller en femtedel av en hel, är en helhet som delas i lika stora delar. Omvandlingen från hela tal till tal i bråkform är ett komplicerat steg för eleverna.

Blickar vi tillbaka i tiden har eleverna inte erhållit tillräcklig med undervisning, tid eller möjlighet för att utveckla förståelse för vad bråk egentligen är för något. Många elever har fortfarande i vuxen ålder svårt att behärska tal i bråkform. Det är viktigt att eleverna ser ett tydligt samband mellan tal i bråkform och delning. Eleverna har i regel förmågan att uppfatta dimensionen av tal i bråkform utifrån en hel, en halv eller noll och där 1 är en hel som har delats i lika stora delar (McIntosh 2020, s 29). I undervisningens startskede av tal i bråkform behöver eleverna ha kunskaper om att alla delar behöver var lika stora för att kunna kallas för bråkdelar. De behöver även ha kunskaper om nämnarens betydelse och förstå att nämnaren visar hur många delar den hela har delats i som exempelvis hur många delar kakan eller tårtan har delats upp i. Dessutom behöver eleverna förstå nämnarens värde, att ju högre siffra som nämnaren har ju minder delar har skapats av kakan eller tårtan. En rektangel kan delas in i exempelvis två, fyra eller sex lika stora delar och samtidigt kan dessa delar sättas ihop så att de bildar en halv av den ursprungliga rektangeln. En halv, två fjärdedelar eller med tre sjättedelar, (¹

2 , ²

4 ,³

6) bildar hälften av ursprungsrektangeln.

Flertalet elever har erfarenheter av tal i bråkform redan innan de börjar skolan (McIntosh 2020, s 29f). Denna erfarenhet består ofta i att eleverna har kunskaper om hur en halv pizza eller en fjärdedels kaka ser ut. Det kan även handla om förhållanden för en del av en mängd, exempelvis pengar, kakor eller godis. Eleverna har inga svårigheter att förstå en halv, en fjärdedel och även en åttondel i vissa fall. Däremot när vi kommer till tredjedelar får eleverna genast svårigheter att hänga med och förstå vad som menas med en tredjedel. Detta eftersom de har erfarenheter av att en tredjedel kan kopplas ihop med ett räknetal som den tredje (första, andra, tredje). När eleverna introduceras i området har de svårigheter att förstå hur vi skriver tal i bråkform. Vi har två tal åtskilda med ett streck, vilket skiljer sig från det sätt som eleverna är vana att se tal på. Eleverna kan svara på frågor om kardinaliteten av kakor, men det blir komplicerat när de ska svara på frågor om delen av det hela. När läraren pekar på några kakor och frågar eleverna hur stor andel av kakorna detta är, kan det bli svårt för eleverna att svara. Eleverna kan i detta fall inte sortera ut talet även om de har en

grundförståelse. De behöver ha kunskaper om hur stor delen är. Det kan till exempel handla om att vi har sex kakor där en kaka utgör en sjättedel av det hela, det vill säga att sex kakor är det hela och en kaka utgör en sjättedel av det hela.