Utveckling av ett automatiskt lagerstyrningssystem för e-handel

lagerstyrningssystem f¨or e-handel

Institutionen f¨or teknisk ekonomi och logistik avdelningen f¨or produktionsekonomi,

Lunds Tekniska H¨ogskola Handledare: Patrik Tydesj¨o

Peter Fors

Martin Ingwall

F¨or handelsf¨oretag ¨ar lagret en av de st¨orsta investeringarna. F¨or att erh˚alla en l˚ag kapitalbindning ¨ar det viktigt med en effektiv lagerstyrning. Trots detta saknar m˚anga sm˚a- och medelstora f¨oretag bra hj¨alpmedel f¨or detta. En annan iakttagelse ¨ar att Internets betydelse som f¨ors¨aljningskanal under senare ˚ar har ¨okat. Ett lagerstyrningssystem som kan integreras med e-handelssystem ¨ar d¨arf¨or ¨onskv¨art. Denna rapport beskriver utvecklingen av ett modernt, l¨attintegrerat och au-tomatiskt lagerstyrningssystem som l¨ampar sig speciellt v¨al f¨or e-handel. De se-naste teknikerna inom mjukvaruutveckling har anv¨ants f¨or att skapa ett effektivt och flexibelt system. Kommunikation med e-handelssystem sker via en webbtj¨anst (eng. web service) vilket m¨ojligg¨or integration ¨over Internet. Automatiken uppn˚as genom att systemet anv¨ander f¨ors¨aljningshistorik f¨or att bland ett flertal olika pro-gnostiseringsmetoder v¨alja den mest l¨ampade. Tillf¨orlitligheten hos prognoserna utv¨arderas kontinuerligt och om det anses n¨odv¨andigt byter systemet till en mer l¨amplig prognostiseringsmetod. Prognoserna ligger sedan till grund n¨ar systemet utifr˚an detta rekommenderar n¨ar och i vilken kvantitet en artikel ska best¨allas fr˚an leverant¨or. Systemet erbjuder ¨aven gruppering av artiklar enligt ABC-klassificering och ¨okad kontroll av ledtider.

I rapporten f¨oresl˚as dessutom en variant av Holt-Winters s¨asongsmetod. Den-na modifiering till˚ater nollor i s¨asongsindex och kan d¨armed vara anv¨andbar f¨or artiklar som har st¨orre delen av sin f¨ors¨aljning under en kort period. Detta leder ¨aven till att kortare periodl¨angder ¨an vad som annars skulle vara fallet med den ursprungliga Holt-Winters metod kan anv¨andas.

Simulering visar att det utvecklade lagerstyrningssystemet fungerar v¨al och skulle kunna effektivisera lagerstyrningen hos m˚anga f¨oretag. Speciellt visas hur ett bes¨okt grossistf¨oretag skulle kunna f¨orb¨attra sin lagerstyrning med hj¨alp av detta system.

Inventories are one of the largest investments made by trading companies and as a result an effective inventory control is important to obtain a low opportunity cost of capital for the carried items. Despite this, many small and middle sized companies lack access to a high-quality tool for this purpose. The past few years have also showed that the Internet as a sales channel has become of greater importance. An inventory control system that can be integrated into an e-commerce system is therefore highly desirable.

This thesis describes the development of a modern, easily integrated and au-tomatic inventory control system, particularly well suited for e-commerce. The latest technologies have been used to create an efficient and flexible system. The communication with the e-commerce system is performed through the use of a web service, enabling integration over the Internet. The automatic behaviour is attained by a feature in which the system analyses the statistics of past sales to determine the most suitable among a variety of forecasting methods. The accuracy of the forecasts is continuously reviewed and the system will automatically change forecasting method if necessary. Based on the forecasts, the system will then make a recommendation for when and in what quantity an article should be ordered from its supplier. The system also offers grouping of articles according to the ABC classification or similar and provides functionality for extended control of supplier lead times.

In addition, the thesis suggests a modification of the Holt-Winters’ seasonal forecasting method. This modification allows a value of zero for the seasonal indices and can therefore be used for articles with the majority of their sales occurring during a short period of time each year. This modification also allows shorter forecasting period lengths than with the original Holt-Winters’ method.

Simulations show that the developed system works very well in practice and could be used to make the inventory control more effective at many companies. The thesis exemplifies this by exploring how the system could be used to improve the inventory control at a visited trading company.

Examensarbetet som presenteras i denna rapport ¨ar gjort som det sista mo-mentet i f¨orfattarnas civilingenj¨orsutbildning i datateknik vid Lunds Teknis-ka H¨ogskola. D˚a f¨orfattarna har f¨oljt en avslutning i industriell ekonomi var ¨onskem˚alet att f˚a utf¨ora ett tv¨arvetenskapligt examensarbete som innefattar kunskaper f¨orv¨arvade b˚ade fr˚an industriell ekonomi-avslutningen och moder-programmet datateknik. Examensarbetet uppfyller detta ¨onskem˚al genom att realisera teorier f¨or lagerstyrning med hj¨alp av kunskaper inom mjuk-varuutveckling. Tonvikten och f¨ordjupningen i examensarbetet ligger dock inom lagerstyrning. Examensarbetet har utf¨orts vid avdelningen f¨or produk-tionsekonomi i samarbete med IT-f¨oretaget Alien Interactive AB i Lund.

Arbetet har varit intressant och utmanande. Det har dessutom varit utvecklande att g¨ora ett examensarbete som resulterat i n˚agot praktiskt anv¨andbart.

M˚algruppen f¨or rapporten ¨ar studenter n¨ara civilingenj¨orsexamen med kunskaper inom lagerstyrning men ej n¨odv¨andigtvis datateknik.

Tack till v˚ar handledare vid avdelningen f¨or produktionsekonomi Patrik Tydesj¨o f¨or givande diskussioner och f¨or att du alltid tog dig tid. Tack ¨aven till Bertil I. Nilsson f¨or inspirerande samtal. Sist men inte minst ett tack till Martin Ericsson p˚a Alien Interactive AB f¨or samarbetet.

F¨orfattarna

1 Introduktion 1

1.1 Bakgrund . . . 1

1.2 Problemformulering . . . 3

1.3 Syfte med rapporten . . . 3

1.4 Disposition . . . 3

1.5 Metod . . . 5

1.6 Behovsunders¨okning . . . 6

2 Prognostisering 9 2.1 Vad ¨ar prognostisering? . . . 9

2.2 Modeller . . . 10

2.2.1 Prognostisering i lagerstyrning . . . 10

2.2.2 Pegels klassificering . . . 11

2.2.3 Enkel exponentiell utj¨amning . . . 12

2.2.4 Trigg & Leachs adaptiva metod . . . 14

2.2.5 Utj¨amning med trend och/eller s¨asong . . . 15

2.2.6 Initiering . . . 17

2.2.7 Exponentiell utj¨amning p˚a generell form . . . 19

2.2.8 Tillst˚andsmodeller . . . 19 2.3 Prognosfel . . . 23 2.3.1 Varians . . . 23 2.3.2 MAD . . . 24 2.3.3 MSE . . . 25 2.4 Optimering av modellparametrar . . . 25

2.5.1 AIC . . . 27 2.6 Prognosuppf¨oljning . . . 27 3 Lagerstyrning 29 3.1 Enkla lager . . . 29 3.2 Varf¨or lagerstyrning? . . . 30 3.3 Beordringssystem . . . 31 3.4 Wilson-formeln . . . 32 3.5 S¨akerhetslager . . . 36 3.6 Sambest¨allning . . . 40 3.7 ABC-klassificering . . . 40

4 Design och implementering 43 4.1 Teknisk plattform . . . 43 4.2 Programdesign . . . 46 4.2.1 Designlager . . . 46 4.2.2 UML-metodik . . . 47 4.2.3 Databasdesign . . . 50 4.3 Prognossystemet . . . 51 4.3.1 Prognosmetoder . . . 51

4.3.2 Gruppering av efterfr˚agan . . . 53

4.3.3 Registrering av ledtiden . . . 55

4.3.4 Efterfr˚agan under ledtiden . . . 55

4.3.5 Prognosfel . . . 57

4.3.6 Automatisering av prognostisering . . . 59

4.3.7 Att finna den b¨asta prognosmetoden . . . 61

4.4 Lageroptimeringssystemet . . . 63

4.5 Funktionalitet . . . 65

4.6 Omfattning . . . 68

5 Simulering och test 69 5.1 Avgr¨ansningar . . . 69

5.2.2 Artikel Adam . . . 70 5.2.3 Artikel Berit . . . 73 5.2.4 Artikel Caesar . . . 75 5.2.5 Byte av prognosmetod . . . 77 5.3 Lagerstyrning . . . 80 5.3.1 Inledning . . . 80 5.3.2 Simulering . . . 80 5.3.3 Resultat . . . 82 6 Analys 85 6.1 Prognostisering . . . 85

6.1.1 Adam, Berit och Caesar . . . 85

6.1.2 Byte av prognosmetod . . . 87

6.2 Lagerstyrning . . . 89

6.3 Grossistf¨oretagets situation . . . 91

7 Slutsats och vidare utveckling 93 7.1 Slutsats . . . 93

7.2 Vidare utveckling . . . 95 A ¨Ovriga figurer f¨or Adam, Berit och Caesar 99

1.1 Informationsfl¨odet genom lagerstyrningssystemet. . . 4

1.2 Den arbetsprocess som har f¨oljts under examensarbetets g˚ang och motsvarande kapitel i rapporten. . . 5

1.3 Modellbeskrivning och implementation av lagerstyrning (efter [1]). . . 6

2.1 Pegels klassificering av olika efterfr˚agem¨onster (efter [6]). . . . 12

3.1 Ett (s,S)-system vid kontinuerlig inspektion (efter [1]) . . . 32

3.2 Lagerniv˚a enligt Wilsons antaganden (efter [1]) . . . 33

3.3 Lagerniv˚an enligt Wilsons antaganden d˚a restordrar till˚ats (ef-ter [1]) . . . 35

3.4 Kostnader som funktion av orderkvantitet Q . . . 35

3.5 G-funktionen . . . 39

3.6 ABC-klassificering (efter [10]) . . . 41

4.1 Lagerstyrningssystemets interaktion med akt¨orer . . . 45

4.2 Den uppdelning i tre designlager som anv¨andes . . . 47

4.3 Exempel p˚a ett klassdiagram . . . 49

4.4 Exempel p˚a ett sekvensdiagram . . . 50

4.5 Utveckling av efterfr˚ageprognoser under ledtiden vid trend . . 56

4.6 Fl¨odesschema ¨over prognossystemets automatisering . . . 60

4.7 Tillv¨agag˚angss¨att vid s¨okning av en optimal parameter . . . . 62

5.1 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Adam under tv˚a ˚ar och med periodl¨angden 14 dagar . . . 71

ra ˚ar och med periodl¨angden 30 dagar . . . 72

5.4 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Berit under tv˚a ˚ar och med periodl¨angden 14 dagar . . . 73

5.5 S¨asongsindex f¨or Berit vid en periodl¨angd p˚a 14 dagar . . . . 74

5.6 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Berit under fyra ˚ar och med periodl¨angden 30 dagar . . . 74

5.7 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Caesar under tv˚a ˚ar och med periodl¨angden 14 dagar . . . 75

5.8 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Caesar under fyra ˚ar och med periodl¨angden 30 dagar . . . 76

5.9 F¨ors¨aljning och prognostiserad f¨ors¨aljning f¨or Caesar under fem ˚ar och med periodl¨angden 90 dagar . . . 76

5.10 Simulering av ¨andring i efterfr˚agem¨onster . . . 78

5.11 Q vid simulering av ¨andring av efterfr˚agem¨onster . . . 79

5.12 MAD vid simulering av ¨andring av efterfr˚agem¨onster . . . 79

5.13 Absolutbeloppet av sp˚arsignalen vid simulering av ¨andring av efterfr˚agem¨onster . . . 80

5.14 Lagerniv˚aer n¨ar systemets rekommendationer f¨oljs . . . 83

5.15 F¨ors¨aljning och prognoser vid simulering av lagerstyrning . . . 84

5.16 MAD vid simulering av lagerstyrning . . . 84

A.1 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Adam vid en periodl¨angd p˚a 14 dagar . . . 100

A.2 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Adam vid en periodl¨angd p˚a 30 dagar . . . 100

A.3 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Berit vid en periodl¨angd p˚a 14 dagar . . . 101

A.4 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Berit vid en periodl¨angd p˚a 30 dagar . . . 101

A.7 S¨asongsindex f¨or Caesar vid en periodl¨angd p˚a 30 dagar . . . 103 A.8 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Caesar vid en periodl¨angd p˚a

30 dagar . . . 103 A.9 S¨asongsindex f¨or Caesar vid en periodl¨angd p˚a 90 dagar . . . 104 A.10 Histogram ¨over prognosfelen f¨or Caesar vid en periodl¨angd p˚a

2.1 Formler f¨or exponentiell utj¨amning f¨or olika efterfr˚agestrukturer (k¨alla: [4]) . . . 20 2.2 Formler f¨or exponentiell utj¨amning f¨or olika efterfr˚agestrukturer

uttryckt p˚a tillst˚andsform och f¨orutsatt additivt fel (k¨alla: [4]) 22 5.1 Resultat f¨or periodl¨angd 14 respektive 30 dagar f¨or artikel Adam 72 5.2 Resultat f¨or periodl¨angd 14 respektive 30 dagar f¨or artikel Berit 74 5.3 Resultat f¨or periodl¨angd 14, 30 respektive 90 dagar f¨or artikel

Caesar . . . 77 5.4 De parametrar och v¨arden som valdes f¨or

Introduktion

1.1

Bakgrund

Varor i lager ¨ar en av de st¨orsta kapitalbindningarna f¨or m˚anga f¨oretag. En typ av f¨oretag d¨ar lager spelar en viktig roll ¨ar de s˚a kallade handelsf¨oretagen. De ¨ar f¨oretag som k¨oper varor fr˚an ett antal olika leverant¨orer och s¨aljer va-rorna vidare fr˚an sitt eget lager. De har med andra ord ingen egen produktion. Antalet olika varor som lagerh˚alls ¨ar ofta stort och det ¨ar inte ovanligt att det r¨or sig om tusentals artiklar.

Med s˚a m˚anga artiklar i lager ¨okar behovet av lagerstyrning. Lagerstyr-ningens syfte ¨ar att frig¨ora kapital och resurser genom att ge upphov till lagom stora lager. Det ¨ar viktigt f¨or lagerh˚allande f¨oretag att kunna tillgo-dose kunders efterfr˚agan och erbjuda en h¨og serviceniv˚a. Detta samtidigt som f¨oretaget inte vill binda on¨odigt mycket kapital i stora lager. Lagerstyr-ningen balanserar kostnaden f¨or lagerh˚allning mot f¨orm˚agan att kunna m¨ota kundernas efterfr˚agan.

Den uppfattning om hur lagerstyrningen praktiskt g˚ar till p˚a sm˚a- och medelstora handelsf¨oretag som f¨orfattarna utgick fr˚an kommer nu att pre-senteras. Denna uppfattning bekr¨aftades vid en djupintervju hos ett grossist-f¨oretag som senare kommer att beskrivas.

I de stora aff¨arssystemen finns det ofta hj¨alpmedel f¨or att hantera lager. H¨ar ing˚ar bland annat f¨ors¨aljningsprognoser och rekommenderade

best¨all-ningskvantiteter. Dessa aff¨arssystem ¨ar dyra och erbjuder ofta funktionalitet f¨or komplicerade lagerstrukturer och tillverkande f¨oretag. Sm˚a och medel-stora f¨oretag anv¨ander sig i regel av ekonomisystem som ¨ar billigare och d¨ar denna funktionalitet saknas. H¨ar begr¨ansas ofta lagerfunktionaliteten till att visa aktuellt lagersaldo. Samtidigt kan den formella kompetensen inom detta omr˚ade vara begr¨ansad. Det ¨ar rimligt att antaga att vissa av dessa f¨oretag idag inte har n˚agon uttalad eller avancerad strategi n¨ar det g¨aller lagerstyrning. Best¨allningar av varor sker rutinm¨assigt p˚a ett ungef¨ar, d¨ar man hellre best¨aller f¨or mycket ¨an f¨or litet, vilket leder till on¨odigt stort lager och d¨armed on¨odig kapitalbindning. ¨Aven om den person som sk¨oter orderl¨aggningen lyckas v¨al i sina ink¨op g¨or bristen p˚a systematik att stor kompetens kan g˚a f¨orlorad om personen l¨amnar f¨oretaget. Dessutom l¨agger denna person antagligen on¨odigt stora resurser p˚a att sammanst¨alla och ana-lysera beslutsunderlag.

En attraktiv f¨ors¨aljningskanal f¨or m˚anga f¨oretag ¨ar Internet. Det finns ett antal programvaror som l˚ater ett f¨oretag utg˚a fr˚an sitt ekonomisystem och fr˚an detta skapa en e-handelsl¨osning. Produkterna som redan ¨ar registrerade i ekonomisystemet blir d˚a tillg¨angliga f¨or f¨ors¨aljning i en webbaff¨ar.

Utifr˚an dessa iakttagelser identifierades ett tomrum. Vad som saknades var en lagerstyrningsl¨osning som ¨ar l¨attintegrerad med ett e-handelssystem. Genom att anv¨anda informationen i ett e-handelssystem skulle en lagerstyr-ningsapplikation kunna g¨oras mer eller mindre automatisk. En stor f¨ordel med integration med e-handelssystemet ¨ar att efterfr˚agan registreras i det ¨ogonblick den verkligen uppkommer, vilket m¨ojligg¨or en bra lagerstyrning. D¨arigenom ¨okar chanserna att systemet blir enkelt att anv¨anda och l¨att att f¨orst˚a, och d¨armed ett naturligt hj¨alpmedel f¨or f¨oretaget. Genom att integre-ra en lagerstyrningsdel i e-handelsl¨osningen kan f¨oretaget g¨ointegre-ra besparingar. F¨or de flesta praktiska sammanhang finns det bra metoder f¨or lagerstyrning och f¨or m˚anga f¨oretag kan en f¨orb¨attrad lagerstyrning ge stora besparingar [1].

1.2

Problemformulering

Syftet med examensarbetet ¨ar att utveckla ett system som ger ett kvalifice-rat beslutsunderlag f¨or lagerstyrning. Systemet ska vara l¨attintegrekvalifice-rat i en e-handelsl¨osning och/eller ett f¨oretags ekonomisystem och dessutom kr¨ava minimal arbetsinsats och kunskap om lagerstyrning av anv¨andaren.

F¨or att kunna ge kvalificerat beslutsunderlag f¨or lagerstyrning ska pro-grammet kunna producera f¨ors¨aljningsprognoser. Dessa prognoser ska grunda sig p˚a tidigare f¨ors¨aljningsdata. Systemet ska utan inblandning fr˚an anv¨and-aren sj¨alv kunna v¨alja prognostiseringsteknik. Med hj¨alp av prognoserna ska systemet kunna f¨oresl˚a n¨ar och i vilken kvantitet best¨allningar ska utf¨oras f¨or samtliga artiklar i systemet. Systemet ska kontinuerligt utv¨ardera tidiga-re prognoser f¨or att uppt¨acka d˚alig prognostisering, och i dessa fall f¨ors¨oka f¨orb¨attra sig.

F¨or att systemet ska vara l¨attintegrerat och effektivt ska det vara baserat p˚a modern teknik och moderna utvecklingsmetoder.

1.3

Syfte med rapporten

Syftet med denna rapport ¨ar att beskriva tillv¨agag˚angss¨attet vid utveckling-en av systemet och dutveckling-en funktionalitet systemet resulterade i. En ¨overblick ¨over intressanta teorier r¨orande prognostisering och lagerstyrning kommer att beskrivas. De hinder och sv˚arigheter som uppkommer vid den praktis-ka implementeringen kommer ocks˚a att f¨orklaras, samt hur dessa hanteras. Vidare kommer f¨orslag p˚a fortsatt utveckling av systemet att ges.

1.4

Disposition

Kapitel tv˚a ger en ¨oversikt av de prognostiseringsmetoder som ¨ar l¨ampliga att anv¨anda vid lagerstyrning. H¨ar presenteras ocks˚a en rad prognosfel som kan vara av intresse. Dessutom anges hur man kan uppt¨acka att en prognos-tiseringsmodell i vissa fall inte l¨angre ¨ar l¨amplig f¨or en artikel.

Optimering av lager

Prognosuppföljning Data (gamla prognoser,

efterfrågan från e-handelssystem etc.)

Prognostisering

Figur 1.1: Informationsfl¨odet genom lagerstyrningssystemet.

ett ¨annu mer kvalificerat beslutsunderlag erh˚alls om man utifr˚an prognos-erna ber¨aknar n¨ar och i vilken kvantitet en artikel b¨or best¨allas. I kapitel tre beskrivs hur man kan anv¨anda prognoserna och prognosfelen fr˚an det f¨oreg˚aende kapitlet i syfte att optimera lagret. Figur 1.1 ˚ask˚adligg¨or hur systemet anv¨ander f¨ors¨aljningsdata f¨or att skapa prognoser som i sin tur anv¨ands f¨or att optimera lagret.

Kapitel fyra beskriver sedan utvecklingen och implementeringen av sy-stemet. H¨ar beskrivs metoder som anv¨ants f¨or utvecklingen och vilken teori fr˚an de f¨oreg˚aende kapitlen som har implementerats. Praktiska sv˚arigheter och hur dessa har hanterats beskrivs ocks˚a. Dessutom presenteras den funk-tionalitet som systemet efter implementeringen erbjuder.

F¨or att unders¨oka om systemet fungerar utf¨ordes en rad simuleringar och tester. Hur dessa utf¨ordes och vad de fick f¨or resultat beskrivs mer ing˚aende i kapitel fem.

Kapitel sex analyserar sedan de resultat som erh¨olls fr˚an det tidigare kapitlet. H¨ar ing˚ar ¨aven en analys ¨over hur det bes¨okta f¨oretaget skulle kunna dra nytta av lagerstyrningssystemet.

Till sist dras n˚agra viktiga slutsatser i kapitel sju. Fr˚agest¨allningen om huruvida systemet beter sig som f¨orv¨antat besvaras. Dessutom f¨ors en diskus-sion inom vilka omr˚aden som fortsatt forskning och utveckling b¨or bedrivas.

Idéstadiet Studier Design Implemen-_tering Simulering_{och test} Analys Slutsats Kapitel 1 Kapitel 2 & 3 Kapitel 4 Kapitel 5 Kapitel 6 Kapitel 7

Figur 1.2: Den arbetsprocess som har f¨oljts under examensarbetets g˚ang och mot-svarande kapitel i rapporten.

1.5

Metod

Figur 1.2 visar den arbetsprocess som har f¨oljts under examensarbetets g˚ang. Arbetet b¨orjade med en id´e om att skapa ett automatiskt lagerstyrnings-system. F¨or att f˚a inspiration och f˚a en verklig bild av behov hos f¨oretag utf¨ordes en intervju med ett grossistf¨oretag. N¨asta steg var sedan att p˚ab¨orja litteraturstudier f¨or att f˚a en f¨ordjupad kunskap inom prognostisering och la-gerstyrning. H¨ar anv¨andes b¨ocker och tidskrifter inom dessa omr˚aden.

Efter utf¨orda litteraturstudier p˚ab¨orjades s˚aledes en design och planering av systemets uppbyggnad. Detta f¨oljdes av en implementation enligt design-en. Under en implementation uppst˚ar givetvis problem med den ursprungliga designen. Dessutom dyker ocks˚a nya fr˚agetecken upp ang˚aende teorin. D¨arf¨or ¨ar det naturligt att iterera processen och bedriva nya litteraturstudier och utf¨ora ny design. I denna fas av examensarbetet spelade handledaren Patrik Tydesj¨o en viktig roll i diskussioner om uppkomna problem.

Detta resulterade s˚a sm˚aningom i en f¨orsta version av lagerstyrnings-systemet. F¨or att unders¨oka om systemet beter sig som t¨ankt utsattes det f¨or tester. Med hj¨alp av dessa uppt¨acktes felaktigheter i programmet, vilket fick till f¨oljd att design och implementation fick revideras ytterligare.

Efter dessa itereringar fanns det en fungerande version av programmet. Simuleringar och test av systemet kunde nu utf¨oras och resultaten analyseras. Slutligen kunde slutsatser utifr˚an dessa dras.

Verkligt lagersystem Lagerstyrnings-system Lagerstyrnings-modell Lagerstyrnings-metoder Implementering Modellbeskrivning Analys

Figur 1.3: Modellbeskrivning och implementation av lagerstyrning (efter [1]).

medveten om att denna bygger p˚a en rad f¨orenklingar av verkligheten. De matematiska modeller som ligger till grund f¨or modellerna kan om¨ojligtvis beskriva alla aspekter av verkligheten. Det viktiga ¨ar att den implemen-terade lagerstyrningen ¨ar effektiv och att resultatet av styrningen ¨ar till-fredsst¨allande. Figur 1.3 visar modellbeskrivandet och implementeringen av lagerstyrning.

1.6

Behovsunders¨

okning

I b¨orjan av examensarbetet utf¨ordes en djupintervju med ett grossistf¨oretag. F¨oretaget var samarbetsvilligt men ¨onskade att dess identitet och aff¨arshem-ligheter f¨or branschen skulle skyddas. D¨arf¨or kommer f¨oretaget h¨ar att be-skrivas utan dess verkliga namn och utan att avsl¨oja vilken bransch f¨oretaget verkar i. Artiklarna som f¨oretaget handlar med kommer endast att beskrivas med vissa egenskaper, till exempel efterfr˚agestruktur och ledtid. F¨oretaget kommer forts¨attningsvis att ben¨amnas Grossistf¨oretaget.

Grossistf¨oretaget har verkat i sin bransch sedan b¨orjan av 1990-talet och ¨ar ett medelstort f¨oretag. F¨oretaget har ett eget lager i anslutning till sina administrativa lokaler. Produkterna som saluf¨ors kommer b˚ade fr˚an svenska och utl¨andska leverant¨orer. Ledtiderna f¨or vissa artiklar ¨ar mycket l˚anga, i vissa fall upp till tv˚a m˚anader. Det ¨ar ofta f¨ordelaktigt f¨or Grossistf¨oretaget

med sambest¨allning f¨or att minska transportkostnaderna. Detta g¨aller spe-ciellt vid best¨allningar fr˚an utlandet, d˚a Grossistf¨oretaget str¨avar efter att fylla ett helt antal containrar.

F¨ors¨aljningen sker uteslutande till andra f¨oretag. Marknadsf¨oringen rikt-as inte enbart mot dessa f¨oretag utan Grossistf¨oretaget f¨ors¨oker ¨aven p˚averka slutkunderna. Om en slutkund v¨ander sig till Grossistf¨oretaget f¨or att k¨opa en artikel ombeds denna att v¨anda sig till n˚agon av dess ˚aterf¨ors¨aljare.

Grossistf¨oretaget har ett stort sortiment, d¨ar vissa av produkterna inte ¨ar speciellt l¨onsamma men tillhandah˚alls f¨or att m¨ota kundernas ¨onskem˚al. Det framkom ¨aven att ett f˚atal produkter st˚ar f¨or en stor del av oms¨attningen. Produkterna s¨aljs normalt i f¨orpackningar inneh˚allande flera exemplar av samma artikel, men om en kund s˚a vill kan enskilda enheter levereras.

Idag anv¨ander sig Grossistf¨oretaget av SPCS Administration 2000, som ¨ar ett av de enklare och vanligare ekonomisystemen f¨or sm˚a- och medelstora f¨oretag. Det st¨orsta anv¨andningsomr˚adet ¨ar fakturahantering, redovisning och bokf¨oring. Detta system har ingen funktionalitet f¨or lagerstyrning. Vidare beklagade sig orderl¨aggaren ¨over att programmet var l˚angsamt n¨ar det g¨allde att f˚a ut vissa uppgifter om historisk f¨ors¨aljning etcetera. Grossistf¨oretaget har anv¨ant sig av SPCS produkter under en l¨angre tid, vilket medf¨or att det finns gott om f¨ors¨aljningsstatistik f¨or de ¨aldre produkterna.

Idag ¨ar best¨allningsf¨orfarandet manuellt d¨ar beslutsunderlag h¨amtas fr˚an ekonomisystemet. Beslutsunderlaget ¨ar till st¨orsta delen baserat p˚a historisk f¨ors¨aljning, vilket g¨or att l˚angsamheten i det befintliga systemet upplevs som v¨aldigt frustrerande. Grossistf¨oretaget uppgav ocks˚a att best¨allningarna till stor del utf¨ors med ”fingertoppsk¨ansla”, det vill s¨aga erfarenhet och f¨orm˚aga att kunna k¨anna av aktuella trender och s¨asongsvariationer. Eftersom allt detta arbete ¨ar manuellt kr¨avs mycket tid och energi f¨or att administrera orderl¨aggningen. Pappershanteringen ¨ar stor. En av orderl¨aggarna ber¨attade att han kan vakna p˚a natten och fundera ¨over om han verkligen har utf¨ort alla best¨allningar. De l˚anga ledtiderna f¨or vissa produkter g¨or att planering ¨ar av stor vikt f¨or att kunna m¨ota kundernas efterfr˚agan. Situationen kompliceras ytterligare av att m˚anga av produkterna ¨ar s¨asongsberoende.

sk¨al. F¨orutom att minska kapitalbindningen i lagret ¨ar sk¨alet att lagerut-rymmet b¨orjar ta slut. F¨or att kunna expandera kr¨avs att f¨oretaget antingen ut¨okar sitt lagerutrymme eller minskar sitt lager genom effektivare lagerstyr-ning.

Prognostisering

Detta kapitel besvarar fr˚agan vad prognostisering ¨ar och hur det i praktiken kan g˚a till att skapa en prognos. Ett antal viktiga prognostiseringsmetoder kommer att presenteras. Sedan f¨oljer en beskrivning av n˚agra s¨att att m¨ata prognosfel samt metoder f¨or att utv¨ardera prognosers tillf¨orlitlighet.

2.1

Vad ¨

ar prognostisering?

Prognostisering handlar om att f¨ors¨oka f¨orutsp˚a en framtida utveckling. En prognos kan vara kvalitativ eller kvantitativ. En kvalitativ prognos bygger p˚a subjektiva uppfattningar fr˚an en eller flera personer som besitter djup kunskap om prognostiseringsobjektet. Kvantitativ prognostisering d¨aremot bygger p˚a historisk data och kan anv¨andas n¨ar [6]:

1. Historisk information finns tillg¨anglig.

2. Denna information kan kvantifieras som numerisk data.

3. Man kan anta att vissa aspekter av historiska m¨onster kommer att forts¨atta i framtiden.

Det som ¨ar intressant att prognostisera i detta fall ¨ar framtida efterfr˚agan. Eftersom efterfr˚agan kan anses uppfylla villkoren ovan och prognossystemet i st¨orsta m˚an ska vara automatiserat s˚a kommer kvantitativ prognostisering

h¨ar att behandlas. Dessa bygger p˚a statistiska metoder som analyserar hi-storisk data f¨or att bygga en modell som sedan anv¨ands f¨or att f¨orutsp˚a en framtida utveckling, s˚a kallad tidsserieanalys. F¨orutom att prognostisera ett v¨arde p˚a efterfr˚agan ¨ar man ¨aven intresserad av att veta vilken os¨akerhet prognosen ¨ar beh¨aftad med. Denna prognosos¨akerhet kan uttryckas som en f¨ordelning, men vanligare ¨ar att man n¨ojer sig med att ange till exempel variansen och g¨or antaganden om f¨ordelningen.

En prognostiseringsmetod kan vara antingen manuell, adaptiv eller auto-matisk. En manuell metod kr¨aver att anv¨andaren av ett prognossystem sj¨alv v¨aljer metod och tillh¨orande parametrar. Manuell prognostisering kr¨aver stor kunskap av anv¨andaren om de tillg¨angliga metoderna, och vilka av dessa som ¨ar l¨ampliga. Vidare kr¨avs kunskap och erfarenhet om rimliga parametrar och kunskap f¨or att utv¨ardera prognoserna som erh˚alles. F¨or att slippa bekym-ret att v¨alja parametrar kan en adaptiv metod anv¨andas. En s˚adan metod f¨or¨andrar sj¨alv parametrarna utifr˚an prognoserna och ny indata. Slutligen finns automatiska metoder. En automatisk metod v¨aljer en l¨amplig metod f¨or en artikel och optimerar parametrarna f¨or denna automatiskt. Prognosti-seringen utv¨arderas sedan och om tr¨oskelv¨arden ¨overstigs ompr¨ovas metod-och parameterval. N¨ar parametrarna ska skattas f¨or en automatisk metod kr¨avs tillg˚ang till historisk data. En adaptiv metod har f¨ordelen att kunna anv¨anda sig av en initialgissning och sedan anpassa parametrarna vartefter nya observationer sker.

N¨ar man ¨agnar sig ˚at prognostisering ¨ar det viktigt att f¨orst˚a att prog-noser ytterst s¨allan tr¨affar r¨att. Det finns alltid en slumpm¨assig faktor som man inte kan prognostisera. Det ligger d¨arf¨or i prognosernas natur att de i b¨asta fall ¨ar oprecisa och i s¨amsta fall missledande [10].

2.2

Modeller

2.2.1

Prognostisering i lagerstyrning

En tidsserie ¨ar en i tiden ordnad serie av observationer. De tidsserier som ¨ar intressanta i detta examensarbete ¨ar efterfr˚agan f¨or de artiklar som

lager-h˚alls. Som beskrevs tidigare ¨ar det kvantitativ prognostisering som ¨ar av intresse och detta utf¨ors med hj¨alp av s˚a kallad tidsserieanalys av observerad efterfr˚agan. D¨ar f¨ors¨oker man hitta samband som beskriver tidsserien och anv¨anda dessa f¨or uppskatta en framtida utveckling.

De modeller som kommer att presenteras i detta kapitel har valts ut d¨arf¨or att de ¨ar de mest vanligt f¨orekommande i lagerstyrningslitteraturen och v¨al bepr¨ovade (se till exempel [1], [10]). Modellerna som kommer att presenteras bygger p˚a s˚a kallad exponentiell utj¨amning som i praktiken ¨ar en effektiv metod som l¨ampar sig v¨al n¨ar efterfr˚agan f¨or ett stort antal artiklar ska prognostiseras.

Ett mycket vanligt tillv¨agag˚angss¨att f¨or tidsserieanalys ¨ar Box-Jenkins-metodiken fr˚an tidigt 1970-tal (se [6], [8]). Vid lagerstyrning anses dock inte denna metodik s¨arskilt l¨amplig d˚a den ¨ar mer komplicerad och d¨arigenom kr¨aver mer datakraft ¨an de metoder som bygger p˚a exponentiell utj¨amning. Vidare ¨ar metoden sv˚arare att automatisera. Metoden l¨ampar sig b¨attre f¨or analys av enstaka tidsserier ¨an f¨or rutinm¨assig prognostisering av tusentals artiklar. Se till exempel [10] som avr˚ader fr˚an Box-Jenkins vid lagerstyrning. Ett stort test av olika prognostiseringsmetoder som utf¨orts (se [9]) visade dessutom att de metoder som bygger p˚a exponentiell utj¨amning ofta presterar lika bra som de mer statistiskt avancerade metoderna i till exempel Box-Jenkins metodik [5].

2.2.2

Pegels klassificering

Om efterfr˚agan antages f¨olja vissa historiska m¨onster ¨ar det ¨onskv¨art att hitta en modell som beskriver denna historiska process, med f¨orhoppning om att man ska kunna anv¨anda denna f¨or att ¨aven beskriva framtiden.

Det finns olika komponenter som kan ing˚a i ett efterfr˚agem¨onster, till ex-empel trend och s¨asongsvariationer. Trend kan beskrivas som en l˚angsiktig systematisk ¨okning eller minskning av efterfr˚agan. S¨asongsvariationer be-tyder att en artikels efterfr˚agan varierar kraftigt med s¨asong. Ett intuitivt exempel p˚a detta kan vara glass som har st¨orre efterfr˚agan p˚a sommaren.

N Ingen säsongseffekt A Additiv säsong M Multiplikativ säsong N Ingen trendeffekt A Additiv trend M Multiplikativ trend D Dämpad trend

Figur 2.1: Pegels klassificering av olika efterfr˚agem¨onster (efter [6]).

i efterfr˚agan m˚aste man ¨aven best¨amma om dessa ¨ar additiva (linj¨ara) eller multiplikativa (olinj¨ara). Ett s¨att att beskriva olika efterfr˚agem¨onster ¨ar Pe-gels klassificering fr˚an 1969. N˚agot ut¨okat kan den sammanfattas i figur 2.1, d¨ar skillnaden mellan multiplikativ och additiv framg˚ar. Trenden kan ¨aven vara d¨ampad, vilket inneb¨ar att en trend p˚a sikt kommer att avtaga.

F¨or att f˚a bra prognoser ¨ar det viktigt att man v¨aljer r¨att efterfr˚ age-m¨onster f¨or sin produkt. Det kan finnas sk¨al att vara restriktiv n¨ar man v¨aljer att antaga att en artikel f¨oljer en trend eller en s¨asongsvariation. S˚adana antaganden b¨or man endast g¨ora om man har mycket historisk data eller om man tydligt vet eller kan f¨orklara ett s˚adant m¨onster, som i fallet med glass ovan. Trendmodeller kan inte heller rekommenderas f¨or l˚agfrekventa artiklar d¨ar slumpen har stor inverkan, och l¨att kan tolkas som en trend [1].

2.2.3

Enkel exponentiell utj¨

amning

Enkel exponentiell utj¨amning ¨ar troligtvis en av de mest vanligt f¨orekomman-de prognosmetof¨orekomman-derna. I praktiken anv¨ands f¨orekomman-den ofta tack vare sin enkelhet. Den ¨ar dessutom l¨att att f¨orst˚a och kr¨aver liten lagringskapacitet av historisk data, men ger trots detta ofta ett acceptabelt resultat [7].

Metoden anv¨ands n¨ar en artikel kan antages ha en konstant eller l˚ ang-samt varierande medelefterfr˚agan. Det finns allts˚a varken trendm¨onster eller s¨asongskomponenter i efterfr˚agan. Detta m¨onster k¨anns igen fr˚an cell NN i figur 2.1.

Exponentiell utj¨amning bygger p˚a att man bildar ett viktat medelv¨arde av observationer. Vikterna f¨or dessa v¨aljs s˚a att de ¨ar exponentiellt avtagan-de, d¨ar den senaste observationen har h¨ogst vikt. Man uppdaterar prognosen genom att anv¨anda sig av f¨oreg˚aende prognos och en vikt 0 < α < 1 multi-plicerat med det f¨oreg˚aende prognosfelet.

L˚at Ft+1 beteckna prognosen som g¨ors vid tiden t f¨or tiden t + 1 och Yt

vara den observerade efterfr˚agan vid tiden t. D˚a g¨aller f¨or enkel exponentiell utj¨amning:

Ft+1= Ft+ α(Yt− Ft) (2.1)

Denna ekvation kan ¨aven uttryckas som

Ft+1 = αYt+ (1 − α)Ft (2.2)

Uttryckt p˚a denna form ¨ar det l¨attare att se att observationernas vikt i prognostiseringen minskar exponentiellt.

Ett stort v¨arde p˚a α g¨or att prognostiseringen reagerar snabbare p˚a f¨or-¨andringar i medelefterfr˚agan, men samtidigt blir den k¨ansligare f¨or tillf¨alliga slumpm¨assiga avvikelser. Om α v¨aljs litet kommer ist¨allet mer h¨ansyn tas till historisk efterfr˚agedata och detta resulterar i att processen reagerar l˚angsamt p˚a f¨or¨andringar, men mer effektivt reducerar inverkan av slumpen. Vilket α som ska v¨aljas ¨ar d¨arf¨or en avv¨agningsfr˚aga. Vid manuell prognostisering ¨ar en generell regel att α b¨or ligga mellan 0.01 och 0.3 [7].

I exponentiell utj¨amning ¨ar vikten f¨or data observerad f¨or k perioder sedan α(1-α)k_{, s˚a medel˚aldern f¨or den data prognosen baseras p˚a ¨ar [7]}

α ∞ X k=0 (1 − α)kk = 1 − α α (2.3)

Detta uttryck kan anv¨andas f¨or att f˚a en uppfattning om i vilken omfattning historisk data p˚averkar prognosen f¨or ett visst α.

Om man saknar historisk efterfr˚agedata ¨ar det l¨ampligt att initialt an-v¨anda en gissning p˚a medelefterfr˚agan och ett h¨ogt v¨arde p˚a α f¨or att l˚ata processen sv¨anga in sig. Har man d¨aremot tillg˚ang till historisk data ¨ar det vettigt att anv¨anda ett medelv¨arde f¨or att skapa en uppfattning om den initiala prognosen.

2.2.4

Trigg & Leachs adaptiva metod

Ett problem med enkel exponentiell utj¨amning ¨ar som tidigare n¨amnts anta-gandet att medelefterfr˚agan ¨ar konstant. Om medelefterfr˚agan f¨or en artikel skulle ¨andras till en ny niv˚a, s˚a kallat l¨agesskift, kommer visserligen enkel exponentiell utj¨amning att s˚a sm˚aningom anpassa sig till detta. Hur l˚ang tid detta tar beror p˚a utj¨amningskonstanten α. Ett s¨att att snabbare anpassa prognostiseringen till den nya niv˚an ¨ar att anv¨anda sig av en adaptiv metod. Trigg och Leach presenterade 1967 en adaptiv ut¨okning av enkel expo-nentiell utj¨amning [13]. Den bygger p˚a att en sp˚arsignal anv¨ands f¨or att kontrollera prognosernas systematiska fel. Om prognossystemet uppf¨or sig bra kommer denna signal variera kring noll. Om d¨aremot ett systematiskt prognosfel finns kommer signalen att ligga n¨armare extremv¨ardena ±1. Sp˚ ar-signalen uttrycks som

Qt

ˆ ∆t

(2.4) d¨ar Qt ¨ar ett exponentiellt utj¨amnat prognosfel, ˆ∆t ¨ar motsvarande f¨or

ab-solutbeloppet av prognosfelet och 0 < γ < 1 ¨ar en utj¨amningskonstant enligt

Qt = γet+ (1 − γ)Qt−1 (2.5)

ˆ

∆t = γ |et| + (1 − γ) ˆ∆t−1 (2.6)

et = Yt− Ft (2.7)

N¨ar absolutbeloppet av sp˚arsignalen ¨ar n¨ara ett betyder det att det finns ett systematiskt prognostiseringsfel. F¨or att f˚a processen att snabbt reagera

¨ar det d˚a l¨ampligt att h¨oja v¨ardet p˚a α. Omv¨ant, om sp˚arsignalen ligger n¨ara noll, ¨ar det rimligt att basera prognoserna p˚a data l˚angt tillbaka i tiden. α b¨or allts˚a i detta fall vara l˚agt. Ett enkelt s¨att att adaptivt ˚astadkomma ovanst˚aende ¨ar att s¨atta

αt = ¯ ¯ ¯ ¯Q_∆ˆt t ¯ ¯ ¯ ¯ (2.8)

Med denna metod beh¨over man inte best¨amma ett optimalt α. D¨aremot m˚aste man ange ett γ. Ett l˚agt γ g¨or att metoden reagerar l˚angsammare p˚a f¨or¨andringar. Ett riktv¨arde kan vara att Trigg och Leach skriver i sin artikel att de har anv¨ant modellen med γ = 0,05 f¨or korttidsprognoser.

Trigg och Leachs metod kan vara bra att anv¨anda n¨ar man inte har tillg˚ang till historisk data. Trots en felaktig initialgissning kommer processen n¨amligen snabbt att sv¨anga in sig kring den r¨atta l¨agesniv˚an.

Studier har visat att enkel exponentiell utj¨amning med optimalt α skapar b¨attre prognoser ¨an Trigg & Leachs adaptiva metod [6]. En f¨ordel med Trigg & Leachs metod ¨ar dock att den minskar risken f¨or stora fel vid eventuella l¨agesskift och stora f¨or¨andringar i efterfr˚agans struktur.

Ett problem med metoden ¨ar att den ¨ar k¨anslig f¨or enstaka slumpm¨assiga impulser. Dessa kan av metoden uppfattas som ett l¨agesskift till vilken me-toden f¨ors¨oker anpassa sig. En modifiering f¨or att f˚a den mindre k¨anslig f¨or detta ¨ar att f¨ordr¨oja sp˚arsignalen en tidsenhet [11].

2.2.5

Utj¨

amning med trend och/eller s¨

asong

Inte alla artiklar kan antagas ha en konstant efterfr˚agan utan som tidigare n¨amnts kan det ¨aven finnas eventuella trender och s¨asonger att ta h¨ansyn till. Ett s¨att att hantera trendm¨onster ¨ar med Holts linj¨ara metod fr˚an 1957 som bygger p˚a exponentiell utj¨amning [3]. I Holts metod ska inte endast l¨agesniv˚an lt prognostiseras utan ¨aven hur trenden bt utvecklas. Dessa

kom-bineras f¨or att g¨ora k-stegs prognosen Ft+k enligt

lt = αYt+ (1 − α)(lt−1+ bt−1) (2.9) bt = β(lt− lt−1) + (1 − β)bt−1 (2.10)

Ft+k = lt+ btk (2.11)

Observera i ekvation 2.9 och 2.10 att b˚ade l¨agesniv˚an och trenden be-r¨aknas med exponentiell utj¨amning, d¨ar (lt−1+ bt−1) ¨ar f¨oreg˚aende prognos

och (lt−lt−1) ¨ar ett m˚att den aktuella trenden. Utj¨amningskonstanterna ¨ar α

och β, och b˚ada ligger i intervallet noll till ett. Som vanligt vid exponentiell utj¨amning s˚a leder h¨oga v¨arden p˚a utj¨amningskonstanterna till en snabb reaktion men ¨aven till h¨og k¨anslighet f¨or slumpm¨assig variation. Vid flerstegs-prognoser ¨ar valet av β extra kritiskt, d˚a trenden multipliceras med antal prognossteg k i ekvation 2.11.

F¨or de artiklar som ¨aven har en s¨asongsvariation i sin efterfr˚agan kan en utveckling av Holts trendmetod anv¨andas vid prognostisering. En s˚adan gjordes 1960 av Winters [14]. I den har man ett s¨asongsindex Stsom

beskriv-er hur eftbeskriv-erfr˚agan vid given tidpunkt skiljer sig fr˚an det som annars skulle prognostiseras med niv˚a och trend. Uppdatering av s¨asongsindex sker ¨aven den med exponentiell utj¨amning. Variabeln m betecknar antalet perioder p˚a ett ˚ar och St−mbetecknar s¨asongsindexet f¨or nuvarande period men ber¨aknad

f¨or ett ˚ar sedan. Antalet s¨asongsindex ¨ar lika med antalet perioder p˚a ett ˚ar. Holt-Winters multiplikativa metod ger k-stegs prognosen Ft+k enligt

lt = α Yt St−m + (1 − α)(lt−1+ bt−1) (2.12) bt = β(lt− lt−1) + (1 − β)bt−1 (2.13) St = γ Yt lt + (1 − γ)St−m (2.14) Ft+k = (lt+ btk)St−m+k (2.15)

Vid ber¨akning av den nya l¨agesniv˚an lt i ekvation 2.12 r¨aknar man f¨orst

bort den aktuella s¨asongens inverkan genom att dividera observerad efter-fr˚agan Yt med aktuellt s¨asongsindex. Detta f¨or att den exponentiella

ut-j¨amningen av l¨agesniv˚an inte ska p˚averkas av s¨asongsfluktuationer. N¨ar s¨a-songsindexet St ber¨aknat i ekvation 2.15 byter ut det tidigare indexet St−m

antal perioder p˚a ett ˚ar, det vill s¨aga m.

2.2.6

Initiering

Prognostiseringsmetoder som bygger p˚a exponentiell utj¨amning utnyttjar f¨oreg˚aende prognos vid ber¨akning av den nya prognosen. Den f¨orsta pro-gnosen som g¨ors har dock ingen ¨aldre prognos att utg˚a fr˚an. D¨arf¨or m˚aste n˚agon form av initialisering ske. D˚a uppskattas de ing˚aende komponenterna i aktuell modell. Dessa komponenter kan till exempel vara niv˚a och trend. Hur dessa uppskattas har naturligtvis betydelse f¨or hur v¨al modellen progno-stiserar, och detta g¨aller speciellt i inledningsskedet. Efter ett tag kommer den exponentiella utj¨amningen g¨ora att den initiala uppskattningen p˚a des-sa v¨arden har liten betydelse. Det g¨aller d¨arf¨or att skattningarna av desdes-sa v¨arden ligger n˚agorlunda i n¨arheten av de verkliga v¨ardena. Grovt felaktiga skattningar leder till att det tar l˚ang tid att korrigera dessa. F¨or att g¨ora bra skattningar kr¨avs dock i regel att mycket historisk data anv¨ands. Det-ta inneb¨ar att modellen inte kan anv¨andas innan en viss m¨angd historisk data finns tillg¨anglig. Det blir d¨arf¨or en avv¨agningsfr˚aga. Initieringen f¨or en-kel exponentiell utj¨amning, Holts linj¨ara metod och Winters s¨asongsmetod kommer nu att beskrivas.

F¨or enkel exponentiell utj¨amning ¨ar det endast niv˚an som ska skattas. H¨ar kan man antingen utg˚a fr˚an den senast observerade efterfr˚agan eller ber¨akna ett medelv¨arde ¨over ett antal perioder.

I fallet med Holts linj¨ara metod ¨ar det tv˚a komponenter som ska skattas, n¨amligen niv˚an a och trenden b. I v˚ar implementering valdes att anv¨anda linj¨ar regression p˚a de sex f¨orsta perioderna enligt den s˚a kallade minsta kvadratmetoden. D¨ar anpassas en r¨at linje till observationerna s˚a att summan av de kvadratiska felen minimeras. Betrakta n observationer vid tidpunkterna

X1, . . . , Xn och med observerade efterfr˚agan Y1, . . . , Yn. D˚a ges en punkt

p˚a den skattade linjen av ˆYi = a + bXi. Felet ges av det skattade v¨ardet

subtraherat med det observerade v¨ardet, det vill s¨aga ei = ˆYi− Yi. Det g¨aller

allts˚a att finna a och b s˚a att summan Pn_i=1e2

i minimeras. Detta uttryck

kan ¨aven skrivas Pn_i=1e2

i =

P_n

i=1(Yi − ˆYi)2 =

P_n

omskrivningar ges niv˚an a och trenden b enligt [6] b = P_n i=1_P(Xi− ¯X)(Yi− ¯Y ) n i=1(Xi− ¯X)2 (2.16) a = ¯Y − b ¯X (2.17)

d¨ar ¯X betecknar genomsnittliga v¨ardet p˚a X och ¯Y det genomsnittliga v¨ardet

p˚a Y .

F¨or att anv¨anda Holt-Winters beh¨ovs initiala v¨arden p˚a niv˚a, trend och s¨asongsindex. Den initiala niv˚an Ls r¨aknas ut genom att ta medelv¨ardet av

efterfr˚agan under ett helt ˚ar. Eftersom medelv¨ardet tas ¨over alla perioder s˚a f¨orsvinner inverkan fr˚an s¨asongvariationer. Niv˚an ges av [6]

Ls= 1

s(Y1+ Y2+ . . . + Ys) (2.18)

F¨or att ber¨akna trendens storlek j¨amf¨ors tv˚a v¨arden p˚a efterfr˚agan som avser samma period men under olika ˚ar, till exempel Y1 och Ys+1. Denna f¨or¨andring

avser ett helt ˚ar, och d¨arf¨or ber¨aknas den genomsnittliga trenden per peri-od. Detta g¨ors sedan f¨or samtliga perioder, varefter medelv¨ardet f¨or dessa anv¨ands som den initiala trenden. Trenden bs ges allts˚a av [6]

bs = 1 s · Ys+1− Y1 s + Ys+2− Y2 s + . . . + Ys+s− Ys s ¸ (2.19) Slutligen ber¨aknas s¨asongernas index. Dessa ber¨aknas genom att anv¨anda f¨orh˚allandet mellan efterfr˚agan under en period och den genomsnittliga niv˚an, enligt [6] S1 = Y1 Ls , S2 = Y2 Ls , . . . , Ss= Ys Ls (2.20) Normalisering beh¨ovs inte eftersom summan av dessa index nu ¨ar lika med antalet perioder under ett ˚ar, ty

s X i=1 Si = s X i=1 µ Yi Ls ¶ = 1 Ls s X i=1 Yi = 1 1 s P_s i=1Yi s X i=1 Yi = s (2.21)

kr¨aver tv˚a ˚ars historisk data.

2.2.7

Exponentiell utj¨

amning p˚

a generell form

F¨or alla m¨onster i klassificeringen i figur 2.1 g˚ar det att skapa prognoser

k perioder fram˚at, Ft+k, med motsvarande exponentiell utj¨amningsmodell

genom f¨oljande ekvationer [4]

lt = αPt+ (1 − α)Qt (2.22) bt = βRt+ (φ − β)bt−1 (2.23) st = γTt+ (1 − γ)st−m (2.24)

d¨ar lt beskriver seriens niv˚a, bt beskriver lutningen (trend), st beskriver

s¨asongskomponenten och m beskriver cykeltiden f¨or en s¨asong, samtliga vid tiden t. Variablerna P , Q R och T har olika v¨arden beroende p˚a vilken metod som anv¨ands, se tabell 2.1.

De metoder som tidigare n¨amnts kan alla placeras inom denna klassifi-cering. Enkel exponentiell utj¨amning h¨or till cell NN och Holts trendmetod till cell AN. F¨or att senare kunna skriva om ekvationerna p˚a tillst˚andsform skiljer sig dock Holt-Winters metod n˚agot fr˚an den som anges i cell AM.

2.2.8

Tillst˚

andsmodeller

Antag att en process drivs av ett antal faktorer som p˚averkar processen i olika utstr¨ackning. Om beroendet ¨ar linj¨art kan en process Yt uttryckas som

en funktion av variablerna X1,t, X2,t, . . . , Xn,t enligt

Yt= h1X1,t + h2X2,t+ · · · + hnXn,t+ zt (2.25)

d¨ar zt ¨ar en stokastisk st¨orning. Denna form kallas tillst˚andsform och

vari-ablerna X1,t, . . . , Xn,t kallas tillst˚andsvariabler. Uttryckt p˚a matrisform blir

detta

Tabell 2.1: Formler f¨or exponentiell utj¨amning f¨or olika efterfr˚agestrukturer (k¨alla: [4]) Trend-komponent S¨asongskomponent N A M

(ingen) (additiv) (multiplikativ)

N Pt= Yt Pt= Yt− st−m Pt= Yt/st−m (ingen) Qt= lt−1 Qt= lt−1 Qt= lt−1 Tt= Yt− Qt Tt= Yt/Qt φ = 1 φ = 1 φ = 1 Ft+k= lt Ft+h= lt+ st+k−m Ft+h= ltst+k−m A Pt= Yt Pt= Yt− st−m Pt= Yt/st−m (additiv) Qt= lt−1+ bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Rt= lt− lt−1 Rt= lt− lt−1 Rt= lt− lt−1 Tt= Yt− Qt Tt= Yt/Qt φ = 1 φ = 1 φ = 1 Ft+k= lt+ kbt Ft+k= lt+ kbt+ Ft+k= (lt+ kbt)st+k−m + st + k − m M Pt= Yt Pt= Yt− st−m Pt= Yt/st−m (multiplikativ) Qt= lt−1bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Rt= lt/lt−1 Rt= lt/lt−1 Rt= lt/lt−1 Tt= Yt− Qt Tt= Yt/Qt φ = 1 φ = 1 φ = 1 Ft+k= ltbkt Ft+k= ltbht + st+k−m Ft+k= ltbhtst+k−m D Pt= Yt Pt= Yt− st−m Pt= Yt/st−m (d¨ampad) Qt= lt−1+ bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Qt= lt−1+ bt−1 Rt= lt− lt−1 Rt= lt− lt−1 Rt= lt− lt−1 Tt= Yt− Qt Tt= Yt/Qt β < φ < 1 β < φ < 1 β < φ < 1 Ft+k= lt+ Ft+k= lt+ Ft+k= [lt+ (1 + φ + · · · + φk−1_{)bt (1 + φ + · · · + φ}k−1_{)bt+ (1 + φ + · · · +} st+k−m +φk−1)bt]st+k−m

Ett antagande ¨ar att Xt beror p˚a tidigare tillst˚and, det vill s¨aga

Xt= F Xt−1+ G²t (2.27)

d¨ar F och G inneh˚aller parametrar och ²t ¨ar vitt brus. Anv¨andandet av

tillst˚andsformen leder till en rad f¨ordelar [7]:

• Modeller p˚a tillst˚andsform kan anv¨anda sig av Kalmanfilter, vilket ger generella rekursiva ekvationer f¨or prediktionen. Alla prognostiserings-metoder uttryckta p˚a tillst˚andsform kan hanteras p˚a ett standardiserat s¨att, vilket underl¨attar utvecklingen av datorprogram f¨or

prognosti-sering. Ekvationerna m¨ojligg¨or ¨aven ber¨akning av likelihood som kan anv¨andas f¨or att optimera modellparametrar. Hur detta g˚ar till kom-mer att f¨orklaras senare. Dessutom finns det generella metoder f¨or hur man ber¨aknar prediktionsintervall f¨or en prognos.

• Alla modeller uttryckta p˚a tillst˚andsform kan g¨oras adaptiva.

• Tillst˚andsformen g¨or det l¨attare att hantera saknade v¨arden i tids-serien.

I tabell 2.1 presenterades ett generellt s¨att att uttrycka exponentiell ut-j¨amning f¨or olika efterfr˚agestrukturer enligt Pegels klassificering. Det visar sig att samtliga dessa g˚ar att skriva p˚a tillst˚andsform [4]. F¨or att nu f¨olja notationen i [4] kan ekvationerna 2.26 och 2.27 f¨or processen Yt som ska

prognostiseras skrivas p˚a tillst˚andsform som

Yt = h(xt−1) + k(xt−1)²t (2.28) xt = f (xt−1) + g(xt−1)²t (2.29)

d¨ar ²t antages vara vitt brus, och ¨ar observerbart genom att studera

pro-gnosfelet. Vidare ¨ar tillst˚andsvektorn xt = (lt, bt, st, st−1, . . . , st−(m−1)).

Defi-niera sedan et= k(xt−1)²t och µt= h(xt−1). D˚a g¨aller

Yt = µt+ et (2.30)

d¨ar µt ¨ar prognosen f¨or t gjord vid t − 1. Ekvationen s¨ager i ord att det

observerade v¨ardet Yt ¨ar lika med prognosen f¨or samma tidpunkt plus ett

prognosfel.

F¨or en modell med additivt fel ¨ar Yt = µt+ ²t och allts˚a k(xt−1) = 1,

och d¨arav f¨oljer att ²t= Yt− µt. En modell med multiplikativt fel skrivs som Yt= µt(1 + ²t), vilket ger k(xt−1) = µt och ²t = (Yt− µt)/µt.

I tabell 2.2 ¨ar samtliga exponentiella utj¨amningsmetoder fr˚an tabell 2.1 uttryckta i tillst˚andsform n¨ar additivt fel f¨oruts¨atts. Modeller f¨or multiplika-tivt fel erh˚alles genom att ers¨atta ²t med µt²t.

Tabell 2.2: Formler f¨or exponentiell utj¨amning f¨or olika efterfr˚agestrukturer ut-tryckt p˚a tillst˚andsform och f¨orutsatt additivt fel (k¨alla: [4])

Trend-komponent

S¨asongskomponent

N A M

(ingen) (additiv) (multiplikativ)

N µt= lt−1 µt= lt−1+ st−m µt= lt−1st−m (ingen) lt= lt−1+ α²t lt= lt−1+ α²t lt= lt−1+ α²t/st−m st= st−m+ γ²t st= st−m+ γ²t/lt−1 A µt= lt−1+ bt−1 µt= lt−1+ bt−1+ st−m µt= (lt−1+ bt−1)st−m (additiv) lt= lt−1+ bt−1+ α²t lt= lt−1+ bt−1+ α²t lt= lt−1+ bt−1+ +α²t/st−m bt= bt−l+ αβ²t bt= bt−1+ αβ²t bt= bt−1+ αβ²t/st−m st= st−m+ γ²t st= st−m+ +γ²t/(lt−1+ bt−1) M ut= lt−1bt−1 µt= lt−1bt−1+ st−m µt= (lt−1bt−1)st−m (multiplikativ) lt= lt−1bt−1+ α²t lt= lt−1bt−1+ α²t lt= lt−1bt−1+ α²t/st−m bt= bt−1+ αβ²t/lt−1 bt= bt−1+ αβ²t/lt−1 bt= bt−1+ αβ²t/(st−mlt−1) st= st−m+ γ²t st= st−m+ γ²t/(lt−1bt−1) D µt= lt−1+ bt−1 µt= lt−1+ bt−1+ st−m µt= (lt−1+ bt−1)st−m (d¨ampad) lt= lt−1+ bt−1+ α²t lt= lt−1+ bt−1+ α²t lt= lt−1+ bt−1+ α²t/st−m bt= φbt−1+ αβ²t bt= φbt−1+ αβ²t bt= φbt−1+ αβ²t/st−m st= st−m+ γ²t st= st−m+ γ²t(lt−1+ bt−1)

Processernas utseende f¨or de olika klassificeringarna har nu beskrivits. F¨or att anv¨anda detta ramverk f¨or att g¨ora k-stegsprognosen utg˚ar man fr˚an processbeskrivningen i ekvation 2.30 och utf¨or v¨antev¨ardesber¨akningen

E[Yt+k] = E[µt+k + et+k] = E[µt+k+ k(xt−1)²t+k] =

= E[µt+k] + E[k(xt−1)²t+k] =

= µt+k+ E[k(xt−1)] E[²_{| {z }}t+k

=0

] = µt+k (2.31)

som utnyttjar att ²t+k ¨ar vitt brus och d¨armed har v¨antev¨arde 0.

F¨or att ¨overtyga sig om att tillst˚andsmodellerna p˚a denna form ger samma resultat som tidigare kan man betrakta det enklaste fallet utan trend- och s¨asongskomponenter, det vill s¨aga cell NN i tabell 2.2. L˚at Ft+1 beteckna

prognosen f¨or t + 1 gjord vid tiden t. Allts˚a ¨ar Ft+1= µt+1. Enligt tabell 2.2

¨ar

och

lt = lt−1+ α²t (2.33)

I fallet med additivt fel ¨ar ²t= Yt− Ft. Prognosen Ft+1 blir

Ft+1 = µt+1 = lt = lt−1+α(Yt−Ft) = Ft+α(Yt−Ft) = αYt+(1−α)Ft (2.34)

Resultatet k¨anns igen fr˚an ekvation 2.2.

2.3

Prognosfel

Under tidigare rubriker i detta kapitel har olika prognosmetoder behandlats. Tillf¨alliga slumpm¨assiga inslag i efterfr˚agan kan dock inte prognostiseras. Det ¨ar viktigt att bilda sig en uppfattning om hur stora avvikelserna ¨ar mellan prognostiserad och verklig f¨ors¨aljning, dels f¨or att kunna utv¨ardera modell-och parameterval modell-och dels ¨ar det, som senare kommer att framg˚a, viktigt vid lagerstyrning.

Definiera prognosfelet et som skillnaden mellan den observerade

efter-fr˚agan vid tiden t och den prognostiserade f¨or samma tid enligt

et= Yt− Ft (2.35)

Det finns ett antal olika m˚att f¨or att specificera prognosfelets spridning, varav n˚agra vanligt f¨orekommande nu kommer att f¨orklaras.

2.3.1

Varians

Ett mycket vanligt statistiskt spridningsm˚att ¨ar variansen σ2_{. Den definieras}

som

σ2 _{= E[(X − m)}2_{] (2.36)}

d¨ar X ¨ar den stokastiska variabel med v¨antev¨arde m som man ska m¨ata avvikelsen fr˚an. Definiera ¨aven standardavvikelsen σ som kvadratroten ur

variansen. Ett annat s¨att att uttrycka variansen p˚a ¨ar

σ2 = E[X2] − E[X]2 (2.37) Man kan skatta variansen fr˚an en datam¨angd genom

b σ2 ₌ 1 N − 1 N X i=1 (xi− x)2 (2.38)

d¨ar xi ¨ar observationerna av X, x ¨ar medelv¨ardet av observationerna och N

¨ar antalet observationer.

2.3.2

MAD

Enligt tidigare notation definieras MAD (mean absolute deviation) som

∆ = E[|X − m|] (2.39)

MAD ¨ar allts˚a den absoluta avvikelsen fr˚an medelv¨ardet man kan f¨orv¨anta sig. Om X ¨ar normalf¨ordelad g¨aller f¨oljande samband mellan MAD och stan-dardavvikelsen [7]

σ =

r

π

2∆ (2.40)

Ofta antar man att absolutfelet f¨oljer en konstant modell och g¨or en upp-skattning av prognosfelet n¨astkommande period med exponentiell utj¨amning enligt

ˆ

∆t= γ |et| + (1 − γ) ˆ∆t−1 (2.41)

Den observanta l¨asaren m¨arker att detta ¨ar exakt samma ekvation som anv¨andes f¨or att ber¨akna sp˚arsignalen i Trigg & Leachs adaptiva metod, j¨amf¨or ekvation 2.6.

Historiskt har MAD varit ett vanligt m˚att av ber¨akningstekniska sk¨al, och det ¨ar fortfarande vanligt inom lagerstyrning [1].

2.3.3

MSE

MSE (mean squared error) ber¨aknar v¨antev¨ardet av prognosfelet i kvadrat.

MSE = E£e2 t ¤ = E£(Yt− Ft)2 ¤ (2.42) Om v¨antev¨ardet av prognosfelet et ¨ar lika med noll ¨ar MSE ekvivalent

med variansen av et. Detta inses genom att anv¨anda sig av ekvation 2.37

enligt σ2 et = E[e 2 t] − E[e_{| {z }}t]2 =0 = E[e2 t] = MSE (2.43)

MSE kan ur N observationer skattas genom

MSE = 1 N N X t=1 e2 t (2.44)

2.4

Optimering av modellparametrar

Gemensamt f¨or alla metoder som bygger p˚a exponentiell utj¨amning ¨ar att de inneh˚aller parametrar som beh¨over estimeras f¨or att erh˚alla bra prognos-er. Historiskt sett har lite tonvikt lagts vid valet av parametrar eftersom datakraften inte har varit tillr¨acklig f¨or mer avancerad estimation [6]. Idag kan man ist¨allet anv¨anda sig av n˚agon optimeringsalgoritm som provar olika v¨arden, och kombinationer av v¨arden, p˚a parametrarna. Man v¨aljer sedan de parametrar som ger det minsta prognosfelet, i n˚agot av de tidigare n¨amnda m˚atten, f¨or en given tidsserie. Vanligast ¨ar att man anv¨ander sig av m˚attet MSE [6].

2.4.1

Maximum likelihood

Antag att det finns observationer fr˚an en k¨and f¨ordelning men med ok¨anda parametrar och att man utifr˚an dessa observationer vill skatta parametrar-na. Ett mycket vanligt s¨att att ˚astadkomma detta ¨ar genom den s˚a kallade maximum likelihood-metoden. Likelihoodfunktionen uttrycker ett m˚att p˚a

sannolikheten att observationerna uppkommer f¨or givna parametrar. F¨or att hitta skattningen p˚a f¨ordelningens parametrar g¨aller det allts˚a att hitta de parametrar som maximerar funktionens v¨arde.

L˚at θ beteckna de ok¨anda parametrarna som ska skattas och bθ skattningen

av dessa. Beteckna f¨ordelningsfunktionen f¨or den stokastiska variabeln Y f¨or

fY och observationerna y1, . . . , yn. D˚a ¨ar likelihoodfunktionen

L(θ; y1, . . . , yn) = fY1,...,Yn(y1, . . . , yn; θ) (2.45)

Om observationerna ¨ar oberoende kan likelihoodfunktionen skrivas som

L(θ; y1, . . . , yn) = n

Y

i=1

fY(yi; θ) (2.46)

F¨or samtliga exponentiella utj¨amningsmetoder i avsnitt 2.2.8 kan f¨oljande likelihoodfunktion anv¨andas [4] L∗(θ,x0) = n log à _n X t−1 e2 t k2_(x t−1) ! + 2 n X t=1 log |k(xt−1)| (2.47)

d¨ar θ = (α, β, γ, φ) och x0 = (l0, b0, s0, s−1, . . . , s−m+1) ¨ar den initiala

till-st˚andsvektorn. Uttryckt p˚a denna form ska funktionen dock minimeras ist¨allet f¨or maximeras d˚a den anv¨ands f¨or parameterskattning.

2.5

Modellval

I den situation d¨ar man har ett antal modeller som alla ¨ar t¨ankbara kandi-dater f¨or att beskriva efterfr˚agan m˚aste man ha en metod f¨or att v¨alja bland dessa. Ett s¨att ¨ar att v¨alja den modell som ger prognoser med l¨agst MSE. Ett annat s¨att skulle kunna vara att v¨alja den som ger st¨orst v¨arde p˚a like-lihoodfunktionen. Problemet med dessa tv˚a metoder ¨ar att de ofta f¨oredrar modeller med m˚anga parametrar. Ofta kan man minska MSE respektive ¨oka likelihood genom att ¨oka antalet parametrar [6].

2.5.1

AIC

En metod som inte har problemet beskrivet ovan ¨ar Akaikes informations-kriterium (AIC). Den bestraffar ist¨allet anv¨andandet av m˚anga parametrar. AIC anv¨ander likelihoodfunktionen f¨or att rangordna, men om inte en ¨okning i antal parametrar leder till en tillr¨ackligt stor ¨okning i likelihood f¨oredras modellen med f¨arre parametrar. Po¨angteras b¨or att v¨ardet p˚a AIC inte har n˚agon st¨orre betydelse i sig sj¨alvt, utan endast ¨ar ett j¨amf¨orande v¨arde.

F¨or ramverket beskrivet i avsnitt 2.2.8 ska den metod som ger l¨agst AIC enligt f¨oljande v¨aljas [4]

AIC = L∗_(bθ,bx

0) + 2p (2.48)

¨ar bx0 och bθ ¨ar skattningar av x0 respektive θ och p ¨ar antalet parametrar i θ.

2.6

Prognosuppf¨

oljning

N¨ar man under en tid har anv¨ant en prognosmetod f¨or att prognostisera efter-fr˚agan f¨or en artikel ¨ar det intressant att utv¨ardera metodens tillf¨orlitlighet.

¨

Aven om metoden var den mest optimala vid en tidigare tidpunkt kan efter-fr˚agestrukturen f¨or artikeln ha ¨andrats. Den metod som anv¨ands kan nu vara ol¨amplig och b¨or d¨arf¨or bytas. En annan m¨ojlighet ¨ar att prognosmetoden fortfarande ¨ar l¨amplig, men att parametrarna f¨or denna inte l¨angre ¨ar opti-mala och b¨or skattas p˚a nytt. Tv˚a krav som kan st¨allas p˚a bra prognoser ¨ar att de ska vara medelv¨ardesriktiga och att prognoserna inte har osannolikt stora fel.

Medelv¨ardesriktigheten inneb¨ar att man kontrollerar att prognosmetoden inte ger systematiska fel, det vill s¨aga att E[et] = 0. Som tidigare n¨amnts

¨ar ett m˚att p˚a det systematiska felet ekvation 2.8. Hypotesen att prognosen inte ¨ar beh¨aftad med systematiska fel ska f¨orkastas om f¨oljande villkor ¨ar

uppfyllt [7] _¯ ¯ ¯ ¯Q_∆ˆt t ¯ ¯ ¯ ¯ > k1 (2.49)

vid tv˚a efterf¨oljande uppdateringar ¨ar det en stark indikation p˚a att pro-gnosmetoden ger systematiska fel och b¨or bytas.

N¨ar man vill kontrollera att inte onormalt stora prognosfel f¨orekommer kan man utnyttja att MAD beskriver det genomsnittliga prognosfelet. San-nolikheten att ett prognosfel ¨ar m˚anga g˚anger st¨orre ¨an MAD ¨ar mycket liten f¨orutsatt att korrekt prognostiseringsmetod anv¨ands. Ett test f¨or att kontrollera ovanst˚aende ¨ar [1]

|et| < k2∆t−1 (2.50)

V¨aljer man k2 = 4 ska villkoret ovan g¨alla med sannolikhet 99,8% under

antagandet att prognosfelet ¨ar normalf¨ordelat. Om villkoret ovan inte g¨aller b¨or en varningsflagga hissas. Prognosen ¨ar troligtvis inte korrekt och kan kr¨ava manuell uppdatering.

Lagerstyrning

F¨oljande kapitel kommer att behandla problemet att erh˚alla en bra lagerstyr-ning. F¨or att uppn˚a detta kr¨avs att man p˚a n˚agot s¨att best¨ammer n¨ar och i vilken kvantitet artiklar ska best¨allas fr˚an leverant¨or. De tekniker och teorier f¨or detta som h¨ar kommer att presenteras anv¨ander sig av f¨ors¨aljningspro-gnoser som beslutsunderlag. F¨orst kommer ett avsnitt d¨ar vikten av lager-optimering diskuteras, och d¨ar de olika kostnadsbegreppen specificeras samt begreppet optimal lagerh˚allning definieras. Sedan f¨oljer avsnitt d¨ar teori pre-senteras f¨or hur lagerh˚allning kan g˚a till i de enkla lagerstrukturer som ¨ar av intresse i detta examensarbete.

3.1

Enkla lager

Ett f¨oretag kan ha sin lagerstruktur utformad p˚a olika s¨att. En vanlig lager-struktur ¨ar det enkla lagret som k¨annetecknas av f¨oljande

• Artiklar som kan lagerstyras oberoende av varandra. • Artiklar lagerh˚alls p˚a ett enda st¨alle.

Ett annat exempel p˚a lagerstruktur ¨ar kopplade lager med centralla-ger och distributionslacentralla-ger, men dessa strukturer kommer inte att behandlas n¨armare i detta examensarbete.

Exempel p˚a typer av f¨oretag d¨ar man ofta finner enkla lager ¨ar handels-f¨oretag. Tv˚a olika typer av handelsf¨oretag ¨ar grossistf¨oretag och detaljhan-delsf¨oretag. Grossistf¨oretag s¨aljer varorna vidare till andra f¨oretag, medan detaljhandelsf¨oretag s¨aljer varorna direkt till slutkund.

Den teori som nu kommer att beskrivas i detta kapitel g¨aller f¨or dessa enkla lager. De enkla lagren passar v¨al f¨or de f¨oretag som beskrevs i pro-blemformuleringen i avsnitt 1.2.

3.2

Varf¨

or lagerstyrning?

F¨oretag som inte anv¨ander sig av n˚agon uttalad lagerstyrningsstrategi risk-erar att dra p˚a sig on¨odigt stora kostnader. Ett f¨oretag m¨arker snabbt om man har ett f¨or litet lager d˚a det ger upphov till brist. R¨adslan f¨or brist kan d¨arf¨or leda till att lagerh˚allningen blir f¨or stor och att on¨odigt mycket kapital binds i lagret.

Syftet med lagerstyrning ¨ar att frig¨ora kapital som f¨oretaget kan anv¨anda f¨or att g¨ora f¨oretaget mer konkurrenskraftigt.

Ett naturligt f¨orsta steg i lagerstyrning ¨ar att identifiera de kostnader som uppkommer i samband med lagerh˚allning. Dessa ¨ar

Lagerh˚allningskostnaden ¨ar kostnaden som uppst˚ar f¨or att lagerh˚alla en artikel. Kostnaden specificeras per tidsenhet. Av praktiska sk¨al kan man specificera lagerh˚allningskostnaden som en schablonm¨assig pro-centsats av varans ink¨opspris. Den st¨orsta kostnaden f¨or lagerh˚allning ¨ar bindandet av kapital, som ist¨allet skulle kunna anv¨andas till investe-ring eller ˚aterbetalning av l˚an. D¨arav f¨oljer att kapitalbindningskostna-den kan ber¨aknas med hj¨alp av f¨oretagets kalkylr¨anta. I lagerh˚ allnings-kostnaden ing˚ar ¨aven kostnader f¨or den fysiska lagerh˚allningen, det vill s¨aga lagerlokalhyra, f¨ors¨akringar, administration, svinn etcetera. Totalt brukar den ˚arliga lagerh˚allningskostnaden vara ungef¨ar 20% av lager-v¨ardet [1].

Orders¨arkostnad ¨ar den kostnad som uppkommer vid varje enskild order-l¨aggning. Denna kostnad ¨ar oberoende av orderkvantitet. I

orders¨ar-kostnaden ing˚ar kostnaden f¨or tiden det tar att l¨agga ordern och ¨ovrig administration och hantering av orderl¨aggningen.

Bristkostnaden uppst˚ar n¨ar f¨oretaget inte har lager f¨or att t¨acka efter-fr˚agan. I denna ing˚ar utebliven int¨akt f¨or den f¨ors¨aljning f¨oretaget g˚ar miste om, men ¨aven en kostnad f¨or f¨orlorat anseende hos kunderna. Detta ¨ar en kostnad som ¨ar sv˚ar att specificera, men som det kommer att framg˚a senare g˚ar det att ber¨akna den genom att ist¨allet specificera en s˚a kallad serviceniv˚a.

Den optimala lagerh˚allningsstrategin ¨ar den lagerh˚allning som minimerar summan av lagerh˚allningskostnaden, orders¨arkostnaden och bristkostnaden.

3.3

Beordringssystem

Syftet med lagerstyrning ¨ar som tidigare n¨amnts att hitta en optimal strategi f¨or att minimera kostnaderna f¨or att h˚alla ett lager. F¨or att kunna uppn˚a detta kr¨avs det att man har kontroll p˚a sin lagerposition. I lagerpositionen ing˚ar fysiskt lager och redan gjorda best¨allningar fr˚an f¨oretagets leverant¨orer som ¨annu inte levererats. Eventuella restordrar till kund r¨aknas bort, det vill s¨aga

lagerposition = fysiskt lager + uteliggande ordrar - restordrar

Att r¨akna med lagerposition ist¨allet f¨or till exempel det fysiska lagret ¨ar l¨ampligt d¨arf¨or att man inte vill g¨ora best¨allningar fr˚an leverant¨or dubbelt. Motsvarande g¨aller f¨or restordrarna. De betecknar redan s˚alda artiklar som ¨annu inte levererats.

Kontrollen av nuvarande lagerposition kan ske antingen kontinuerligt eller periodiskt. Vid kontinuerlig inspektion uppdateras lagerpositionen vid varje enskild f¨or¨andring av lagret och ¨ar d¨armed alltid k¨and. Periodisk inspektion inneb¨ar att lagerpositionen endast uppdateras vid specifika tidpunkter, oftast i periodiska intervall. Periodisk inspektion anv¨ands f¨or att g¨ora arbetsbelast-ningen mer hanterlig om inspektionen sker manuellt.

s Tid Ledtid Lagerposition Fysiskt lager S

Figur 3.1: Ett (s,S)-system vid kontinuerlig inspektion (efter [1])

Lagerstyrningsstrategin ska ge svar p˚a hur mycket som ska best¨allas och vid vilken tidpunkt detta ska ske. N˚agra olika utformningar av denna s˚a kallade best¨allningsstrategi finns att tillg˚a och de vanligaste ¨ar

(R,Q)-system inneb¨ar att d˚a lagerpositionen ¨ar lika med best¨allningspunkt-en R s˚a best¨aller man kvantiteten Q. Om lagerpositionen ¨ar mindre ¨an best¨allningspunkten vid inspektionen leder strategin allts˚a inte till att lagerpositionen blir R + Q.

(s,S)-system har best¨allningspunkten s men man best¨aller alltid upp till niv˚an S. Efter p˚afyllnad ¨ar lagerpositionen alltid S, enligt figur 3.1. I fallet med kontinuerlig inspektion och d¨ar efterfr˚agan avser en enhet i taget blir ett (R,Q)-system ekvivalent med ett (s,S)-system, d¨ar R = s och

Q = S − s. Detta eftersom lagerpositionen i (R,Q)-systemet aldrig kommer

att n˚a under R. Det kan visas att det b¨asta (s,S)-systemet alltid ¨ar minst lika bra som det b¨asta (R,Q)-systemet [1].

3.4

Wilson-formeln

En vanlig metod f¨or att ber¨akna orderkvantiteten Q i ett (R,Q)-system ¨ar Wilson-formeln. Den bygger p˚a f¨oljande antaganden

Q

Lagernivå

Tid Q/d

Figur 3.2: Lagerniv˚a enligt Wilsons antaganden (efter [1])

1. Efterfr˚agan ¨ar konstant och kontinuerlig.

2. Orderkvantiteten beh¨over inte vara ett helt antal enheter.

3. Ledtiden f¨or p˚afyllning av lagret ¨ar noll, det vill s¨aga lagret fylls p˚a direkt vid leverans.

4. En artikel behandlas helt oberoende av andra artiklar. F¨ordelar med eventuell sambest¨allning tas inte med i ber¨akningarna.

5. Inga brister ¨ar till˚atna.

6. Hela orderkvantiteten levereras samtidigt.

7. Orders¨arkostnad och lagerh˚allningkostnad ¨ar konstanta oavsett best¨alld kvantitet.

Ett antal av antagandena kan verka problematiska, men som senare kom-mer att framg˚a finns det s¨att att hantera dessa.

Anv¨and f¨oljande beteckningar: h=lagerh˚allningskostnad per enhet och tidsenhet, A=orders¨arkostnad och d=efterfr˚agan per tidsenhet. Variabeln d beskriver allts˚a med vilken hastighet lagret f¨orbrukas, det vill s¨aga den ne-gativa lutningen p˚a lagerniv˚alinjen i figur 3.2.

Lagerh˚allningskostnaden per tidsenhet blir medellagret Q/2 multiplice-rat med lagerh˚allningskostnaden per tidsenhet h. Antalet beordringar per